Материал: Частина 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

			“Курс вищої математики. Частина 3.”
u = y;	dv = cos ydy;	= y sin y − ∫sin ydy = y sin y + cos y
∫y cos ydy =		= y sin y − ∫sin ydy = y sin y + cos y
du = dy; v = sin y

y sin y + cos y = −x2 + C y sin y + cos y + x2 +C = 0

-це є загальний інтеграл початкового диференціального рівняння, оскільки шукана функція і не виражена через незалежну змінну. У цьому і полягає відмінність загального (приватного) інтеграла від загального (приватного) рішення.

Щоб перевірити правильність отриманої відповіді продиференціюємо його по змінній х.

y′sin y + yy′cos y − y′sin y + 2x = 0 yy′ = − cos2xy - вірно

Приклад. Знайти вирішення диференціального рівняння yy′ = ln y за умови у(2)=

ydx

= ln y

dx =

ln ydy

∫dx = ∫

ln ydy

x + C = ∫ln yd (ln y)

x + C =

ln2 y

при у(2)= 1 отримуємо

2 + C =

2 1

;

2 + C = 0;

C = −2;

Разом: 2(x − 2) = ln2

або y = e± 2x−4 - приватне рішення;

Перевірка: y

′

= e

± 2 x−4

± 2 2x − 4 , разом

e± 2 x−4

(± 2x − 4)

= ± 2x − 4

= ln y - вірно.

y′

e±

2 x−4

Приклад. Вирішити рівняння y′ = y 23 . dydx = y 23

y−23 dy = dx ∫y −23 dy = ∫dx 3y 13 = x + C

“Курс вищої математики. Частина 3.”

27 y = (x + C)3 - загальний інтеграл

y =

(x + C)3

- загальне рішення

Приклад. Вирішити рівняння y′ = x( y2 +1).

= dx;

∫

= ∫dx;

arctgy =

+C;

y = tg

+C ;

Приклад. Вирішити рівняння

yy′

+ e

= 0 за умови у(1)= 0.

ydy

+ xe y

= 0

ydy + xe y dx = 0;

dy = −xdx;

e y

∫

dy = −∫xdx;

Інтеграл, що стоїть в лівій частині братимемо по частинах (див. Интегрирование по частям. ).

−y

u = y; e

dy = dv;

∫ye−y dy =

= −e y y − ∫− e y dy = −e−y y − e−y

= −e−y ( y +1);

v = −e ;

du = dy;

e−y ( y +1) =

+ C0 ;

2e−y ( y +1) = x2 + C

Якщо у(1)= 0, то 2e0 (0 +1) =1+ C;

2 =1+ C;

C =1;

Разом, приватний інтеграл: 2e−y ( y +1) =x2 +1.

Приклад. Вирішити рівняння y′+ sin(x + y) = sin(x − y) .

y′+ sin(x + y) −sin(x − y) = 0

y′− 2sin

x − y − x − y

cos

x − y + x + y

= 0

y′− 2sin(−y) cos x = 0

y′+ 2sin y cos x = 0

= −2cos xdx;

∫

= −2∫cos xdx;

sin y

Для знаходження інтеграла, що стоїть в лівій частині рівняння див. п.16. Отримуємо загальний інтеграл:

“Курс вищої математики. Частина 3.”

ln tg 2y = −2sin x + C

Приклад. Вирішити рівняння 2xe−x2 + yy′ = 0

Перетворимо задане рівняння:

2xe−x2 + ydxdy = 0 2xe−x2 dx + dyy = 0

∫2xe−x2 dx + ∫dyy = C

− e−x2 + ln y = C

Отримали загальний інтеграл даного диференціального рівняння. Якщо з цього співвідношення виразити шукану функцію, то отримаємо загальне рішення.

Приклад. Вирішити рівняння y′ = x( y2 +1) .

= x( y 2

+1)

= xdx

y 2

∫

∫xdx ;

arctgy =

+C ;

y = tg

Допустимо, задані деякі початкові умови х0 і у0. Тоді:

arctgy0

+ C0 ;

= arctgy0 −

;

Отримуємо приватне рішення

+ arctgy0

−

y = tg

Однорідні рівняння.

Визначення. Функція f(x, у) називається однорідною n – го вимірювання

щодо своїх аргументів х і у, якщо для будь-якого значення параметра t (окрім нуля) виконується тотожність:

f (tx,ty) = t n f (x, y).

Приклад. Чи є однорідною функція f (x, y) = x3 + 3x2 y ?

f (tx,ty) = (tx)3 +3(tx)2 ty = t 3 x3 + 3t 3 x2 y = t 3 (x3 + 3x2 y) = t 3 f (x, y)

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Таким чином, функція f(x, у) є однорідною 3- го порядку.

Визначення. Диференціальне рівняння вигляду y′ = f (x, y) називається

однорідним, якщо його права частина f(x, у) є однорідна функція нульового вимірювання щодо своїх аргументів.

Будь-яке рівняння вигляду P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 є однорідним, якщо функції P(x, у) і Q(x, у) – однорідні функції однакового вимірювання.

Вирішення будь-якого однорідного рівняння засноване на приведенні цього рівняння до рівняння із змінними, що розділяються.

Розглянемо однорідне рівняння y′ = f (x, y).

Оскільки функція f(x, у) – однорідна нульового вимірювання, то можна записати: f (tx,ty) = f (x, y).

Оскільки параметр t взагалі кажучи довільний, припустимо, що t = 1x . Отримуємо:

f(x, y) = f 1, y

Права частина отриманої рівності залежить фактично тільки від одного аргументуu = xy , тобто

f(x, y) = ϕ y = ϕ(u);

Початкове диференціальне рівняння таким чином можна записати у вигляді:

y′ = ϕ(u)

Далі замінюємо у = ux y

′

= u x + ux

′

= ϕ(u);

′

ϕ(u) −u

;

u x + ux

u x + u = ϕ(u);

таким чином, отримали рівняння із змінними, що розділяються, щодо невідомої функції u.

du	=	dx	;	∫	du	= ∫	dx	+ C;
ϕ(u) −u		x			ϕ(u) −u		x

Далі, замінивши допоміжну функцію u на її вираз через х і у і знайшовши інтеграли, отримаємо загальне вирішення однорідного диференціального рівняння.

			y′ =	y		y
Приклад. Вирішити рівняння					ln		+1 .
						x
				x
Введемо допоміжну функцію u.	y
u =		;	y = ux;			y	′	′
	x
								= u x + u .

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Відзначимо, що введена нами функція u завжди позитивна, оскільки інакше втрачає сенс початкове диференціальне рівняння, що містить ln u = ln xy .

Підставляємо в початкове рівняння:

′

u x + u = u(ln u +1);

u x + u = u ln u + u; u x = u ln u;

Розділяємо змінні:

;

∫

;

u ln u

Інтегруючи, отримуємо:

ln u

= ln

+C;

ln u = Cx; u = eCx ;

Переходячи від допоміжної функції назад до функції у, отримуємо загальне рішення:

y = xeCx .

Рівняння, що приводяться до однорідних.

Окрім рівнянь, описаних вище, існує клас рівнянь, які за допомогою певних підстановок можуть приведені до однорідних.

	′			ax +by + c
Це рівняння вигляду y		=		ax +by + c

			f a x +b y + c				.
				1	1	1

Якщо визначник

≠ 0,

те змінні можуть бути розділені підстановкою

x = u + α;

y = v +β;

де α і β - вирішення системи рівнянь ax + by + c = 0

a1 x + b1 y + c1 = 0

Приклад. Вирішити рівняння (x − 2y + 3)dy + (2x + y −1)dx = 0.

Отримуємо (x − 2y +3)

= −2x − y +1;

= − 2x − y +1

;

x − 2y +3

Знаходимо значення визначника

− 2

−1

= 4 +1 = 5 ≠ 0 .

− 2

Вирішуємо систему рівнянь

− 2x − y +1 = 0

y =1− 2x

;

x = −1/ 5

;

x − 2y + 3 =

x − 2 + 4x +

3 = 0

y = 7 / 5

Застосовуємо підстановку x = u −1/ 5; y = v + 7 / 5; в початкове рівняння:

(u −1/ 5 − 2v −14 / 5 + 3)dv + (2u − 2 / 5 + v + 7 / 5 −1)du = 0; (u − 2v)dv + (2u + v)du = 0;

dv	=	2u + v	=	2 + v / u	;
du
		2v −u 2v / u −1

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных