Материал: Частина 3

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

“Курс вищої математики. Частина 3.”

= t;

v = ut;

′

+ t; при підстановці у вираз,

Замінюємо змінну u

записаний вище,

= t u

маємо:

2 + t

′

t u + t =

2t −1

Розділяємо змінні:

= −

1 − 2t

dt;

∫

= −

∫

(1 − 2t)dt

;

1 + t −t

−

1 + t −t 2

= ln

+ ln C

1 + t −t 2

= −2ln

C u

1+ t −t 2

; 1+ t −t 2 =

= ln

;

u 2

Переходимо тепер до первинної функції у і змінній х.

y − 7 / 5

5y − 7

; u = x +1/ 5;

5x +1

x +1/ 5

5y −7

5y −

7 2

25C

;

−

5x +1

(5x

+1)2

5x +

(5x +1)2

+ (5y − 7)(5x +1) − (5y − 7)2

= 25C2

25x2 +10x +1+ 25xy + 5y −35x − 7 − 25y2 + 70y − 49 = 25C2

25x2 − 25x + 25xy + 75y − 25y2 = 25C2 + 49 −1+ 7

x2 − x + xy + 3y − y2 = C2

= C;

Разом,

вираз

− x + xy + 3y − y2

= C

загальним

інтегралом

початкового

диференціального рівняння.

′

ax +by + c

випадку

якщо

початковому

рівнянні

вигляду y

f a x +b y + c

визначник

= 0, те змінні можуть бути розділені підстановкою

ax + by = t.

Приклад. Вирішити рівняння 2(x + y)dy + (3x + 3y −1)dx = 0.

Отримуємо 2(x + y)

= −3x −3y +1;

= −3x −3y +1 = −

3x + 3y −1

;

2x + 2y

Знаходимо значення визначника

−3

= −6 + 6 = 0;

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Застосовуємо підстановку 3x + 3y = t.

t′

−1;

Підставляємо цей вираз в початкове рівняння:

t′

3(t −1)

; 2t(t

′

= −9t

+ 9; 2tt

′

= 6t −9t + 9; 2tt

′

= −3t + 9;

3 −1 = −

−3)

Розділяємо змінні:

∫ 1 +

= −

∫dx;

t −3

t + 3ln

t −3

= −

x + C

Далі повертаємося до первинної функції у і змінній х.

2x + 2y + 2ln 3(x + y −1) = −x +C2 ;

3x + 2y + 2ln 3 + 2ln x + y −1 = C2 ;

3x + 2y + 2ln x + y −1 = C;

таким чином, ми отримали загальний інтеграл початкового диференціального рівняння.

Лінійні рівняння.

Визначення. Диференціальне рівняння називається лінійним щодо невідомої функції і її похідної, якщо воно може бути записане у вигляді:

y′+ P(x) y = Q(x),

при цьому, якщо права частина Q(x) рівна нулю, то таке рівняння називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням, якщо права частина Q(x) не рівна нулю, то таке рівняння називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням.

P(x) і Q(x) - функції безперервні на деякому проміжку а < x < b.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння.

Розглянемо методи знаходження загального вирішення лінійного однорідного диференціального рівняння першого порядку вигляду

y′+ P(x) y = 0 .

Для цього типу диференціальних рівнянь розділення змінних не представляє складнощів.

= −P(x)dx

= −∫P(x)dx + ln

;

= −∫P(x)dx;

Загальне рішення:

y = Ce−∫P( x)dx

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Для інтеграції лінійних неоднорідних рівнянь (Q(x)≠0) застосовуються в основному два методи: метод Бернуллі і метод Лагранжа.

Метод Бернуллі.

(Якоб Бернуллі (1654-1705) – швейцарський математик.)

Суть методу полягає в тому, що шукана функція представляється у вигляді твору двох функцій y = uv .

При цьому очевидно, що y′ = u dvdx + v dudx - диференціювання по частинах.

Підставляючи в початкове рівняння, отримуємо:


u		dv	+ v	du	+ P(x)uv = Q(x)
		dx		dx

	dv		du
u			+ v		+ P(x)u	= Q(x)
	dx
			dx

Далі слідує важливе зауваження – оскільки первинна функція була представлена нами у вигляді твору, то кожен із співмножників, що входять в цей твір, може бути довільним, вибраним по нашому розсуду.

Наприклад, функція y = 2x2 може бути представлена як y =1 2x2 ; y = 2 x2 ; y = 2x x; і тому подібне

Таким чином, можна одну з складових твір функцій вибрати так, що вираз dudx + P(x)u = 0 .

Таким чином, можливо отримати функцію u, проінтегрував, отримане співвідношення як однорідне диференціальне рівняння по описаній вище схемі:

= −P(x)dx;

∫

= −∫P(x)dx;

u = Ce−∫P( x)dx ; C =1/ C1;

+ ln

= −∫P(x)dx;

Для знаходження другої невідомої функції v підставимо повчений вираз для

функції u в початкове рівняння

+ v

+ P(x)u

= Q(x) з урахуванням того, що

вираз, що стоїть в дужках, рівний нулю.

Сe	−∫P( x)dx	dv	= Q(x);	Cdv = Q(x)e∫P( x)dx dx;
		dx

Інтегруючи, можемо знайти функцію v:

Cv =	∫	Q(x)e∫P( x)dx dx +C	;	v =	1	Q(x)e∫P( x)dx dx + C ;
					C ∫
		1				2

Тобто була отримана друга складова твору y = uv , який і визначає шукану

функцію.

Підставляючи набутих значень, отримуємо:

y = uv = Ce	−∫P( x)dx	1	∫Q(x)e	∫P( x)dx	dx +C2


		C

Остаточно отримуємо формулу:

						“Курс вищої математики. Частина 3.”
y = e	−∫P( x)dx	∫Q(x)e	∫P( x)dx	dx + C2	С2 - довільний коефіцієнт.
y = e		∫Q(x)e		dx + C2	С2 - довільний коефіцієнт.

Це співвідношення може вважатися вирішенням неоднорідного лінійного диференціального рівняння в загальному вигляді за способом Бернуллі.

Метод Лагранжа.

( Ларганж Жозеф Луї (1736-1813) - французький математик, през. Берлінською АН поч. чл. Пет. АН (1776)).

Метод Лагранжа вирішення неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь ще називають методом варіації довільної постійної.

Повернемося до поставленого завдання:

y′+ P(x) y = Q(x)

Перший крок даного методу полягає у відкиданні правої частини рівняння і заміні її нулем.

y′+ P(x) y = 0

Далі знаходиться вирішення однорідного диференціального рівняння, що вийшло:

y = C1e−∫P( x)dx .

Для того, щоб знайти відповідне вирішення неоднорідного диференціального рівняння, вважатимемо постійну С1 деякою функцією від х.

Тоді по правилах диференціювання твору функцій отримуємо:

y′ = dy = dC1 (x) e−∫P( x)dx +C1 (x)e−∫P( x)dx (−P(x)); dx dx

Підставляємо отримане співвідношення в початкове рівняння

dC1 (x)e−∫P( x)dx −C1 (x)P(x)e−∫P( x)dx + P(x)C1 (x)e−∫P( x)dx = Q(x)

dC1 (x) e−∫P( x)dx = Q(x);

З цього рівняння визначимо змінну функцію С1(х):

dC1 (x) = Q(x)e∫P( x)dx dx;

Інтегруючи, отримуємо:

C1 = ∫Q(x)e∫P( x)dx dx +C;

Підставляючи це значення в початкове рівняння, отримуємо:

y = e	−∫P( x)dx	∫Q(x)e	∫P( x)dx
y = e		∫Q(x)e		dx +C .

Таким чином, ми отримали результат, повністю співпадаючий з результатом

розрахунку по методу Бернуллі.
При	виборі методу вирішення лінійних диференціальних рівнянь	слід
керуватися	простотою інтеграції функцій, що входять в початковий інтеграл.

Далі розглянемо приклади вирішення різних диференціальних рівнянь різними методами і порівняємо результати.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Приклад. Вирішити рівняння x2 y′+ y = ax2e x .

Спочатку приведемо дане рівняння до стандартного вигляду:

Застосуємо отриману вище формулу:

y = e−∫x12 dx ∫ae 1x e∫x12 dx dx + C

y′+	1		1
		y = ae x .
	x2

	1		1	−	1	1	(∫adx + C)
y = e x		∫ae x e			x dx + C = e x		(∫adx + C)

y = e x (ax + C).

Рівняння Бернуллі.

Визначення. Рівнянням Бернуллі називається рівняння вигляду y′+ Py = Q yn ,

де P і Q – функції від х або постійних чисел, а n – постійне число, не рівне 1.

Для вирішення рівняння Бернуллі

застосовують

підстановку z =

, за

y n−1

допомогою якої, рівняння Бернуллі приводиться до лінійного.

Для цього розділимо початкове рівняння на yn.

y′

+ P

= Q;

y n

y n−1

′

(n −1) yn−2

′

(n −1) y′

Застосуємо підстановку, врахувавши, що z

= − y2n−2

= − yn .

−

z′

+ Pz = Q

n −1

z′− (n −1)Pz = −(n −1)Q

Тобто вийшло лінійне рівняння щодо невідомої функції z.

Вирішення цього рівняння шукатимемо у вигляді:

z = e

−∫Pdx

∫P1dx

dx +C

∫Q1e

Q1 = −(n −1)Q;

P1 = −(n −1)P.

Приклад. Вирішити рівняння xy′+ y = xy2 ln x.

Розділимо рівняння на xy2: yy2′ + 1x 1y = ln x.

Вважаємо

			1			1
		− z′	+		z = ln x;	z′−		z = −ln x .
	1	− z′	+	x	z = ln x;	z′−	x	z = −ln x .
Вважаємо P = −	1	, Q = −ln x.
Вважаємо P = −	x	, Q = −ln x.
	x

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных