Материал: Частина 3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

2

-0.5

Приклад. Знайти загальний інтеграл рівняння x( y2

−1)dx + y(x2

−1)dy = 0 .

Це рівняння із змінними, що розділяються.

xdx

+

ydy

= 0;

∫

xdx

= −∫

ydy

;

x

2

−

1

y

2

−

1

x

2

−

1

y

2

−

1

ln x2 −1 + ln y 2 −1 = ln C;

Загальний інтеграл має вигляд:

Побудуємо інтегральні криві диференціального рівняння при різних значеннях С.

З = - 0,5

З = -0,02

З = -1

З = -2

2

1.5

1

0.5

-2

-1

1

2

-0.5

-1

-1.5

-2

З = 0,02

З = 0,5З = 1

З = 2

Приклад. Знайти вирішення диференціального рівняння, що задовольняє

заданим початковим умовам.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

y′cos x = ( y +1)sin x;

y(0) = 0.

Це рівняння із змінними, що розділяються.

y′

=

sin x

;

dy

= tgxdx;

y +1

y +

1

cos x

∫

dy

= ∫tgxdx;

ln

y +1

= −ln

cos x

+ ln C;

y +

1

ln

(y +1) cos x

= ln C;

(y +1) cos x = C;

Загальне рішення має вигляд

: y =

C

−1.

cos x

0 =

С

−1;

C =1.

1

Остаточно отримуємо: y

=

1

−1.

cos x

Дійсно, рівняння y′cos x = ( y +1) sin x

може

бути

розглянуте як лінійне

неоднорідне диференціальне рівняння.

y′cos x − y sin x = sin x.

Вирішимо відповідне йому лінійне однорідне рівняння.

′

cos x − y sin x = 0;

′

cos x

= y sin x;

dy

= tgxdx;

y

y

y

∫

dy

= ∫tgxdx + ln C;

ln

y

= −ln

cos x

+ ln C;

y cos x = C;

y

y =

C

.

cos x

′

C(x)sin x

[C (x) cos x + C(x)sin x] cos x

−

= sin x;

′

cos2 x

cos x

′

C (x) cos x

C(x) = ∫sin xdx = −cos x + C;

= sin x;

C x)

= sin x;

cos x

−cos x +C

Разом y =

;

y =

C

−1;

cos x

cos x

Приклад. Вирішити рівняння

′

1

y

+ y cos x

= 2 sin 2x з початковою умовою у(0)=

0.

Це лінійне неоднорідне рівняння. Вирішимо відповідне йому однорідне рівняння.

y′+ y cos x = 0;

dy

= −cos xdx;

ln

y

= −sin x +C1 ;

y

y = e−sin x eC1 ;

y = Ce−sin x ;

y

′

= C

′

−sin x

−C

(x)e

−sin x

cos x;

(x)e

′

−sin x

−C(x)e

−sin x

cos x +C(x)e

−sin x

cos x = sin x cos x;

C (x)e

′

−sin x

= sin x cos x;

′

sin x

sin x cos x;

C (x)e

C (x) = e

= e

sin x

;

dU = cos xdx;

С(x) = ∫esin x sin x cos xdx

V

∫esin x cos xdx =

=

sin x

= esin x sin x −

cos xdx;

dV = e

U = sin x;

=esin x sin x − esin x + C.

Разом y = e−sin x (esin x sin x −esin x

+C);

y = sin x −1+Ce−sin x ;

Знайдемо приватне рішення при у(0)= 0.

0 = sin 0 −1+Ce0 ;

C =1.

20x −

3yy

′

= 3x

2

yy

′

−5xy

2

;

′

2

+1) = 5x( y

2

+ 4);

3yy

(x

y′

3y

5x

3y

5x

=

;

dy =

dx;

y 2 + 4

x2 +1

y 2 + 4

x2 +1

∫

3y

dy = ∫

5x

dx;

y

2

+ 4

x

2

+

1

3

ln( y 2

+ 4) =

5

ln(x2

+

1) + ln C

2

2

1

( y 2 + 4)3 = C (x2 +1)5 ;

y 2 + 4 = C 3 (x2 +1)2 ;

5

y2 = C(x2 +1)

3

− 4;

5

125 = 8C 3 4; C 3 =

125

1 = С 2

3

− 4 =

С3

32 − 4;

1 = 2C3 4 − 4;

5 = 2C3

4;

;

5 .

32

C =

23

4

5

2

+1

3

Остаточно

y =

x

− 4.

5

2

Приклад.

Вирішити

диференціальне

рівняння

xy′+ y = x +1 з початковою

“Курс вищої математики. Частина 3.”

C обліком початкової умови у(1)= 0:

0 =

1

+1+ C;

C = −

3

;

2

2

Приватне рішення

: y =

x

−

3

+1;

2x

2

y

Приклад. Знайти

вирішення

диференціального

рівняння

xy′ = y ln

з

початковою умовою у(1)= е.

x

Це рівняння може бути приведене до виду рівняння із змінними, що

розділяються, за допомогою заміни змінних.

Позначимо:

Рівняння приймає вигляд:

′ u

+ e

u

= e

u

u;

xu

′

+1 = u;

xu

′

= u −1;

xu e

x

du

= u −1;

du

=

dx

;

du

dx

dx

u −

1

x

∫

=

∫

;

ln

u −1

= ln

x

+ ln C;

u −1 = Cx;

u −1

x

Зробимо зворотну заміну:

y

y

y

Cx+1

Cx = ln

−1;

ln

= Cx

+1;

= e

;

x

x

x

Загальне рішення

: y = xeCx+1;

e = eC+1;

C = 0;

C обліком початкової умови у(1)= е:

Приватне рішення

: y = ex;

Другий спосіб рішення.

′

y

xy

= y ln x ;

xy′ = y ln y − y ln x;

y′

y

y

−

ln y = −

ln x;

x

x

Отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння. Відповідне однорідне:

y′−

y

ln y = 0;

x

d(ln y)

y′ =

y

ln y;

dy

=

dx

;

∫

= ∫

dx

;

y ln y

x

x

ln y

x

ln

ln y

= ln

x

+ ln C;

ln y = Cx;

y = eCx ;

Вирішення початкового рівняння шукаємо у вигляді:

y = eC ( x) x ;

Тоді y

′

= e

C ( x) x

′

(C (x)x +C(x));