Материал: Частина 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		“Курс вищої математики. Частина 3.”
hf (x0 , y0 ) = h(x0 + y0 ) = 0,1;
y1	= y0 + hf (x0 , y0 ) =1+ 0,1 =1,1.
x1 = 0,1 y0 =1,1	f (x1 , y1 ) = x1 + y1 =1,2;

hf (x1 , y1 ) = h(x1 + y1 ) = 0,12;

y2 = y1 + hf (x1 , y1 ) =1,1+ 0,12 =1,22.

Проводячи аналогічні обчислення далі, отримуємо таблицю значень:

i		0	1	2	3	4	5
xi		0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
yi		1	1,1	1,22	1,362	1,528	1,721
	Застосуємо тепер уточнений метод Ейлера.
						4
i		0	1	2	3	4	5
xi		0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
yi		1	1,1	1,243	1,400	1,585	1,799

Для порівняння точності приведених методів чисельного вирішення даного рівняння вирішимо його аналітично і знайдемо точні значення функції у на заданому відрізку.

Рівняння y′− y = x

є лінійним

неоднорідним диференціальним рівнянням

першого порядку. Вирішимо відповідне йому однорідне рівняння.

y′− y = 0;

y′ = y;

= y;

= dx;

∫

= ∫dx;

= x;

= x + ln C;

y = Cex ;

Вирішення неоднорідного рівняння має вигляд y = C(x)ex .

′

+C(x)e

;

= C (x)e

′

+C(x)e

= x +C(x)e

;

′

= x;

′

−x

;

C (x)e

(x)e

C (x) = xe

dv = e

−x

u = x;

dx;

С(x) = ∫xe−x dx =

−x

= −xe−x + ∫e−x dx = −xe−x − e−x + C;

v = −e ;

du = dx;

Загальне рішення

y = Cex

− x −1;

C обліком початкової умови: 1 = C − 0 −1;

C = 2;

Приватне рішення

: y = 2ex

− x −1;

Для порівняння отриманих результатів складемо таблицю.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

		Метод	Уточнений	Метод Рунге	Точне
		Ейлера	метод	- Кутта	значення
			Ейлера
0	0	1	1	1	1
1	0,1	1,1	1,1	1,1104	1,1103
2	0,2	1,22	1,243	1,2429	1,2428
3	0,3	1,362	1,4	1,3998	1,3997
4	0,4	1,528	1,585	1,5838	1,5837
5	0,5	1,721	1,799	1,7976	1,7975

Як видно з отриманих результатів метод Рунге – Кутта дає найбільш точну відповідь. Точність досягає 0,0001. Крім того, слід звернути увагу на те, помилка (розбіжність між точним і наближеним значеннями) збільшується з кожним кроком обчислень. Це обумовлено тим, що в – перших набутого наближеного значення округляється на кожному кроці, а в – других – тим, що як основа обчислення приймається значення, отримане на попередньому кроці, тобто наближене значення. Таким чином відбувається накопичення помилки.

Це добре видно з таблиці. З кожним новим кроком наближене значення все більш відрізняється від точного.

При використанні кмпьютерной версії “Курсу вищої математики” можливо запустити програму, яка вирішує будь-яке диференціальне рівняння першого порядку розглянутим вище методом РунгеКутта. Програма детально виводить результати обчислень на кожному кроці.

Примітка: Для запуску програми необхідно щоб на комп'ютері була встановлена програма Maple (© Waterloo Maple Inc.) будь-якій версії, починаючи з MAPLEV Release 4.

Диференціальні рівняння вищих порядків.

Визначення. Диференціальним рівнянням порядку n називається рівняння вигляду:

		F(x, y, y		′		(n)	) = 0
		F(x, y, y		,..., y			) = 0
В деяких випадках це рівняння можна вирішити відносно у(n):
	y	(n)			′		y	(n−1)	).
	y		= f (x, y, y ,...,				y		).
Так само як і рівняння першого порядку, рівняння вищих порядків мають
нескінченну кількість рішень.
Визначення.	Рішення				y = ϕ(x) задовольняє					початковим
умовамx0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) , якщо ϕ(x0 ) = y0 ,					ϕ′(x0 ) = y0′, .... , ϕ(n−1) (x0 ) = y0(n−1) .
Визначення.	Знаходження		вирішення						′	(n)	) = 0 , що
Визначення.	Знаходження		вирішення					рівнянняF(x, y, y ,..., y			) = 0 , що

задовольняє початковим умовамx0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) , називається рішенням задачі Коші.

Теорема Коші. (Теорема про необхідні і достатні умови існування рішення задачі Коші).

Якщо функція (n-1) -ої змінних вигляду в деякій області D (n-1) - мірного простору безперервна і має безперервні приватні похідні по, то яка б не була крапка

( x0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) ) у цій області, існує єдине вирішення y = ϕ(x) рівняння, визначеного

“Курс вищої математики. Частина 3.”

в деякому інтервалі, що містить точку х0, що задовольняє початковим умовам

x0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) .

Диференціальні рівняння вищих порядків, вирішення яких може бути знайдене аналітично, можна розділити на декілька основних типів.

Розглянемо докладніше методи знаходження вирішень цих рівнянь.

Рівняння, що допускають пониження порядку.

Пониження порядку диференціального рівняння – основний метод вирішення рівнянь вищих порядків. Цей метод дає можливість порівняно легко знаходити рішення, проте, він застосовний далеко не до всіх рівнянь. Розглянемо випадки, коли можливе пониження порядку.

Рівняння вигляду у(n)= f(x).

Якщо f(x) – функція безперервна на деякому проміжку а < x < b, те рішення може бути знайдене послідовною інтеграцією.

y(n−1) = ∫ f (x)dx + C1 ;

y(n−2) = ∫(∫ f (x)dx + C1 )dx + C2 = ∫dx∫ f (x)dx + C1 x + C2 ;

........................

y = ∫dx∫dx....∫ f (x)dx +C1

xn−1

+C2

xn−2

+... +Cn ;

(n −1)!

(n − 2)!

Приклад

. Вирішити рівняння y′′′ = e2x з початковими умовами x0 =

0; y0 = 1;

y0′ = −1; y0′′ = 0.

y′′ = ∫e

2 x dx + C1

1 e2 x

+ C1 ;

y′ =

∫

2 x

+ C

dx =

+ C x + C

;

y =

∫

2 x

+ C x + C

2 x

C x

+ C

x + C

;

Підставимо початкові умови:

1 =

1 + С

; −1 =

1 + C

; 0 = 1 + C ;

C = −

; C

= −

; C

;

Отримуємо приватне рішення (рішення задачі Коші): y = 18 e2 x − 14 x2 − 54 x + 78 .

Нижче показана інтегральна крива даного диференціального рівняння.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

7.5

2.5

-10

-8

-6

-4

-2

-2.5

-5

-7.5

Рівняння, що не містять явно шуканої функції і її похідних до порядку до – 1 включно.

Це рівняння вигляду: F(x, y(k ) , y(k +1) ,..., y(n) ) = 0.

У рівняннях такого типу можливе пониження порядку на до одиниць. Для цього проводять заміну змінною:

y	(k )	= z;		y	(k +1)	′	y	(n)	= z	(n−k )	.
y		= z;		y		= z ; ...	y		= z		.
′			(n−k )	) =	0.
Тоді отримуємо: F(x, z, z ,..., z				) =	0.

Тепер допустимо, що отримане диференціальне рівняння проінтегрувало і сукупність його рішень виражається співвідношенням:

z = ψ(x,C1 ,C2 ,...,Cn−k ).

Роблячи зворотну підстановку, маємо:

y(k ) = ψ(x,C1 ,C2 ,..., Cn−k )

Інтегруючи отримане співвідношення послідовно до раз, отримуємо остаточну відповідь:

y = ϕ(x,C1 ,C2 ,...,Cn ).

Приклад. Знайти загальне вирішення рівняння y′′′ = yx′′ .

Застосовуємо підстановку

′′

′

= y

′′′

z = y ;

;

z′ =

;

∫

;

= ln

+ ln C1 ;

z = C1 x;

Провівши зворотну заміну, отримуємо:

y′′ = C1 x;

y′ = ∫C1 xdx =

x2 +C2 ;

y = ∫ C21 x2 +C2 dx = C61 x3 +C2 x +C3 ;

Загальне вирішення початкового диференціального рівняння:

y = Cx3 + C2 x + C3 ;

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Відзначимо, що це співвідношення є вирішенням для всіх значень змінної х окрім значення х =0.

Рівняння, що не містять явно незалежної змінної.

Це рівняння вигляду F( y, y′,..., y(n) ) = 0.

Порядок таких рівнянь може бути знижений на одиницю за допомогою заміни змінних

y′ = p.

y′′

dy′

dy′′

y′′′ =

p =

p; і так далі

Підставляючи ці значення в початкове диференціальне рівняння, отримуємо:

	dp		d	n−1		p

F1 y, p,		,...,					= 0
	dy		dy		n−1

Якщо це рівняння проінтегрувати, і Ф(y, p,C1 ,C2 ,...,Cn−1 ) = 0 - сукупність його

рішень, то для вирішення даного диференціального рівняння залишається вирішити рівняння першого порядку:

Ф( y, y′,C1 ,C2 ,...,Cn−1 ) = 0.

Приклад. Знайти загальне вирішення рівняння yy′′−( y′)2 − 4yy′ = 0.

′

′′

= dy

Заміна змінною: p = y ;

− p2 − 4yp =

p y

− p − 4y

= 0;

− p − 4y = 0;

= 4 +

;

Для вирішення отриманого диференціального рівняння проведемо заміну змінною:

u =

u +

y = 4 +u;

du = 4

;

∫

du = 4

∫

;

u = 4ln

+ 4ln C ;

u = 4ln

C y

;

p= 4y ln C1 y ;

Зурахуванням того, що p = dydx , отримуємо:

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных