Материал: Частина 3

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

“Курс вищої математики. Частина 3.”

 

 

 

 

 

 

y

dp

p − p2 = 0; p

= 0; y

= C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ydp

= p;

 

 

 

dp

=

dy

;

∫

dp

=

∫

dy

;

ln

 

p

 

= ln

 

y

 

+ ln C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

p

 

 

y

 

p

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p = Cy;

 

 

 

 

 

y′ = Cy;

 

 

dy

= dx;

∫

dy

= ∫dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

Сy

Сy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ln

 

Cy

 

= x + ln C2 ;

 

 

Cy = eCx eC ln C2 = C3eCx ;

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточно отримуємо: y = C1eCx ;

Цей вираз буде загальним вирішенням початкового диференціального рівняння. Отримане вище вирішення у1 = С1 виходить із загального рішення при З = 0.

Приклад. Вирішити рівняння 3yy′′+ y′2

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проводимо заміну змінною: y′ =

p; y′′

 

dp

′ =

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

y

p

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3yp

dp

 

+ p2 = 0; p = 0; y = C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3y

 

dp

= −p;

 

 

 

 

dp

 

= −

dy

;

 

 

∫

dp

= −

1

∫

dy

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

3y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

3

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

ln

 

p

 

= −

ln

 

y

 

 

+ ln C;

 

 

 

p3 =

;

 

 

 

y′ = C1 y−

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

dy = C1dx;

 

 

∫y

 

 

dy = C1 ∫dx;

 

 

 

 

 

 

y

 

= C1 x + C2 ;

 

3

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

3

= C3 x + C4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Загальне рішення

: y = (C3 x + C4 )

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з довільними коефіцієнтами.

Розглянемо рівняння вигляду y(n)

 

 

+ p (x) y(n−1) +... + p

n

(x) y = f (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З урахуванням позначення y (n) + p (x) y (n−1) +... + p

n

(x) y = L(x)

можна записати:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(x) = f (x).

При цьому вважатимемо, що коефіцієнти і права частина цього рівняння безперервні на деякому інтервалі ( кінцевому або нескінченному).

Теорема. Загальне вирішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння в деякій області є сума будь-якого його рішення і загального вирішення відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння.

Доказ. Хай Y – деяке вирішення неоднорідного рівняння.

Тоді при підстановці цього рішення в початкове рівняння отримуємо тотожність:

L(Y ) ≡ f (x).

41

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Хай y1 , y2 ,..., yn - фундаментальна система вирішень лінійного однорідного рівняння L( y) = 0 . Тоді загальне вирішення однорідного рівняння можна записати у вигляді:

y = C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn ; Ci = const.

Далі покажемо, що сума Y +C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn є загальним вирішенням

неоднорідного рівняння.

L(Y +C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn ) = L(Y ) + L(C1 y1 ) + L(C2 y2 ) +... + L(Cn yn ) = L(Y ) = f (x)

Взагалі кажучи, вирішення Y може бути отримане із загального рішення, оскільки є приватним рішенням.

Таким чином, відповідно до доведеної теореми, для вирішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння необхідно знайти загальне вирішення відповідного однорідного рівняння і какимте образом відшукати одне приватне вирішення неоднорідного рівняння. Зазвичай воно знаходиться підбором.

На практиці зручно застосовувати метод варіації довільних постійних.

Для цього спочатку знаходять загальне вирішення відповідного однорідного рівняння у вигляді:

n

y = C1 y1 + C2 y2 +... + Cn yn = ∑Ci yi ;

i=1

Потім, вважаючи коефіцієнти Ci функціями від х, шукається вирішення неоднорідного рівняння:

y= ∑Ci (x) yi ;

i=1n

Можна довести, що для знаходження функцій Ci(x) треба вирішити систему рівнянь:

 

 

n

 

 

 

 

∑Ci′(x) yi = 0

 

 

i=1

 

 

 

 

 

n

i

i

 

 

 

∑

 

 

 

C′(x) y′ = 0

 

 

i=1

 

 

 

 

..........................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

∑Ci′(x) yi(n−1) = f (x)

 

 

i=1

 

 

 

Приклад. Вирішити рівняння

 

 

 

Вирішуємо лінійне однорідне рівняння y′′+ y = 0.

 

 

k 2 +1 = 0; k1 = i; k2 = −i.

y = eαx (Acosβx + B sin βx); α = 0; β =1;

 

 

y = Acos x + B sin x;

 

Вирішення неоднорідного рівняння матиме вигляд:

 

 

y = A(x) cos x + B(x) sin x;

Складаємо систему рівнянь:

 

 

 

 

 

A′(x) cos x + B′(x)sin x = 0

 

 

′

 

 

′

−sin 2x

− A (x)sin x + B (x) cos x = x

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Вирішимо цю систему:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

′

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

B (x) = −A (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− A (x)

= x −sin 2x

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

 

 

− A′(x)sin x − A′(x)

 

 

 

 

 

 

= x −sin 2x

B (x)

= cos x(x −sin 2x)

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

2sin

2

x cos x − x sin x знайдемо функцію А(х).

 

 

 

 

Із співвідношення A (x) =

 

 

 

 

 

 

 

A(x) = ∫(2sin 2 x cos x − x sin x)dx = 2∫sin 2

x cos xdx − ∫x sin xdx =

2

sin3 x − ∫x sin xdx =

 

u = x;

dv = sin xdx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

sin3 x + x cos x − ∫cos xdx =

2

sin3 x + x cos x −sin x +C1.

=

 

=

 

3

 

du = dx;

v = −cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Тепер знаходимо В(х).

 

 

 

 

 

 

u = x;

dv = cos xdx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

B(x) = ∫x cos xdx − 2∫cos2 x sin xdx =

 

 

 

 

= x sin x − ∫sin xdx

+

cos3 x =

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du = dx; v = sin x;

 

 

 

 

 

 

 

= 23 cos3 x + x sin x + cos x + C2 .

Підставляємо набутих значень у формулу загального вирішення неоднорідного рівняння:

y =

2

sin3 x cos x + x cos2 x −sin x cos x + C cos x +

2

sin x cos3 x + x sin 2 x + sin x cos x + C

2

sin x =

 

 

 

 

 

3

1

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

=

sin x cos x(sin 2 x + cos2 x) + x(sin 2 x + cos2 x) + C cos x + C

2

sin x.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточна відповідь: y = 13 sin 2x + x + C1 cos x +C2 sin x;

Таким чином, вдалося уникнути знаходження приватного вирішення неоднорідного рівняння методом підбору.

Взагалі кажучи, метод варіації довільних постійних придатний для знаходження вирішень будь-якого лінійного неоднорідного рівняння. Але оскільки знаходження фундаментальної системи вирішень відповідного однорідного рівняння може бути достатньо складним завданням, цей метод в основному застосовується для неоднорідних рівнянь з постійними коефіцієнтами.

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами.

Рівняння з правою частиною спеціального вигляду.

Представляється можливим представити вид приватного рішення залежно від виду правої частини неоднорідного рівняння.

Розрізняють наступні випадки:

I. Права частина лінійного неоднорідного диференціального рівняння має вигляд:

f (x) = P(x)eαx ,

де P(x) = A0 xm + A1 xm−1 +... + Am - многочлен ступеня m. Тоді приватне рішення шукається у вигляді:

43

“Курс вищої математики. Частина 3.”

y = xr eαxQ(x)

Тут Q(x)- многочлен того ж ступеня, що і P(x), але з невизначеними коефіцієнтами, а r

– число, що показує скільки разів число α є коренем характеристичного рівняння для відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння.

Приклад. Вирішити рівняння y′′′− 4 y′ = x .

 

Вирішимо відповідне однорідне рівняння:

y′′′− 4 y′ = 0.

k 3 − 4k = 0; k(k 2 − 4) = 0; k1 = 0; k2 = 2; k3 = −2;

y = C + C

2

e2 x + C

e−2 x ;

1

3

 

Тепер знайдемо приватне вирішення початкового неоднорідного рівняння. Зіставимо праву частину рівняння з виглядом правої частини, розглянутим вище.

P(x) = x; α = 0.

Приватне рішення шукаємо у вигляді: y = xr eαxQ(x) , де r =1; α = 0; Q(x) = Ax + B. Тобто y = Ax2 + Bx.

Тепер визначимо невідомі коефіцієнти А і В.

Підставимо приватне рішення в загальному вигляді в початкове неоднорідне диференціальне рівняння.

y′ = 2Ax + B; y′′ = 2A; y′′′

= 0;

0 −8Ax − 4B = x; −8A =1; A = −

1

; B = 0;

 

 

 

8

 

Разом, приватне рішення: y = −

x2

.

 

 

8

 

 

 

 

 

 

Тоді загальне вирішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння:

y= − x82 +C1 +C2e2 x +C3e−2 x .

II.Права частина лінійного неоднорідного диференціального рівняння має вигляд:

f (x) = eαx [P1 (x) cosβx + P2 (x)sin βx]

Тут Р1(х) і Р2(х) – многочлени ступеня m1 і m2 відповідно. Тоді приватне вирішення неоднорідного рівняння матиме вигляд:

 

y = xr eαx [Q (x) cosβx +Q

2

(x)sin βx]

 

 

1

 

 

 

де число r показує скільки разів число

α + iβ є коренем характеристичного рівняння

для відповідного однорідного рівняння, а Q1(x) і Q2(x) – многочлени ступеня не вище m, де m- велика із ступенів m1 і m2.

Відмітимо, що якщо права частина рівняння є комбінацією виразів розглянутого вище вигляду, то рішення знаходиться як комбінація вирішень допоміжних рівнянь, кожне з яких має праву частину, відповідну виразу, що входить в комбінацію.

Тобто якщо рівняння має вигляд: L(y) = f1 (x) + f2 (x) , то приватне вирішення цього рівняння буде y = y1 + y2 , де у1 і у2 – приватні вирішення допоміжних рівнянь

L( y) = f1 (x) і L( y) = f2 (x)

44

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Для ілюстрації вирішимо рассмотренный выше приклад іншим способом.

Приклад. Вирішити рівняння y′′+ y = x −sin 2x.

 

Праву частину диференціального рівняння представимо у вигляді суми двох

функцій f1(x)+ f2(x)= x + (-sinx).

 

 

 

 

 

 

 

 

Складемо і вирішимо характеристичне рівняння: k 2 +1 = 0;

k = ± i;

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

 

1.

Для функції f1(x) рішення шукаємо у вигляді y = xr eαx Q(x) .

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Отримуємо: α = 0,

r = 0, Q(x) = Ax + B; Тобто

y1

= Ax + B;

 

 

 

 

 

y ′ = A;

y ″ = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax + B = x; A =1; B = 0;

 

 

 

 

 

 

Разом:

 

 

 

 

 

 

2.

Для функції f2(x) рішення шукаємо у вигляді: y

2

= xr eαx (Q (x) cosβx +Q

2

(x)sin βx) .

 

 

 

 

 

1

 

 

Аналізуючи функцію f2(x), отримуємо:

P1 (x) = 0;

P2 (x) = −1; α = 0;

β = 2; r = 0;

 

Таким чином y2 = C cos 2x + D sin 2x;

 

 

 

 

 

 

 

y2

′ = −2C sin 2x + 2D cos 2x;

 

 

 

 

 

 

 

y2

″ = −4C2cos x − 4D sin 2x;

 

 

 

 

 

 

−4C cos 2x − 4D sin 2x +C cos 2x + D sin 2x = −sin 2x;

−3C cos2x −3Dsin 2x = −sin 2x

A = 0; B =

1

;

 

3

 

Разом: y2 = 13 sin 2x;

Тобто шукане приватне рішення має вигляд: y = y1 + y2 = 13 sin 2x + x;

Загальне вирішення неоднорідного диференціального рівняння:

y = 13 sin 2x + x + C1 cos x + C2 sin x;

Розглянемо приклади застосування описаних методів.

Приклад. Вирішити рівняння y′′− 2y′+ y = 3ex .

Складемо характеристичне рівняння для відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння:

45

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных