Материал: Частина 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		“Курс вищої математики. Частина 3.”
k 2 − 2k +1−0;	k1 = k2 =1;

Загальне вирішення однорідного рівняння: y = C1ex +C2 xex .

Тепер знайдемо приватне вирішення неоднорідного рівняння у вигляді: y = xr eαxQ(x)

α =1; r = 2; Q(x) = C; y = Cx2ex .

Скористаємося методом невизначених коефіцієнтів.

y′ = 2Cxex +Cx2 ex ; y′′ = 2Cex + 2Cxex + 2Cxex +Cx2ex .

Підставляючи в початкове рівняння, отримуємо:

2Ce x + 4Cxe x + Cx 2 e x − 4Cxe x − 2Cx 2 e x + Cx 2 e x = 3e x .

	2C = 3;		C =	3 .
	3			2
Приватне рішення має вигляд: y =	3	x2ex .
Приватне рішення має вигляд: y =	2	x2ex .
	2

Загальне вирішення лінійного неоднорідного рівняння: y = C1ex +C2 xex + 32 x2 ex . Приклад. Вирішити рівняння y′′′− y′ = x2 −1.

Характеристичне рівняння: k 3 − k = 0; k(k 2 −1) = 0; k1 = 0; k2 =1; k3 = −1; Загальне вирішення однорідного рівняння: y = C1 + C2 e x + C3e−x .

Приватне вирішення неоднорідного рівняння: y = xr eαxQ(x) .

α = 0; r =1; Q(x) = Ax2 + Bx +C.

y = Ax3 + Bx2 +Cx

Знаходимо похідні і підставляємо їх в початкове неоднорідне рівняння: y′ = 3Ax2 + 2Bx +C; y′′ = 6Ax + 2B; y′′′ = 6A;

6A −3Ax2 − 2Bx −C = x2 −1;

−3A =1; − 2B = 0; 6A −C = −1;

A = −13 ; B = 0; C = −1;

Отримуємо загальне вирішення неоднорідного диференціального рівняння:

y = C1 + C2 ex + C3e−x − 13 x3 − x.

Нормальні системи звичайних диференціальних рівнянь.

Визначення. Сукупність співвідношень вигляду:

F	(x, y , y		2	,..., y	n	, y′, y′		,..., y′ ) = 0
1	1		2		n	1	2	n
F2 (x, y1						′	′	′
F2 (x, y1		, y2 ,..., yn , y1					, y2	,..., yn ) = 0
......................................................

	(x, y1	, y2				′	′	′
Fn	(x, y1	, y2		,..., yn , y1			, y2	,..., yn ) = 0

де х- незалежна змінна, у1, у2.,уn – шукані функції, називається системою диференціальних рівнянь першого порядку.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Визначення. Система диференціальних рівнянь першого порядку, дозволених відносно похідних від невідомих функцій називається нормальною системою диференціальних рівнянь.

Така система має вигляд:

dy1

= f (x, y , y ,..., y

)

dy2

= f2 (x, y1

, y2

,..., yn )

(1)

........................................

dyn

= f

(x, y

, y

,..., y

)

Для прикладу можна сказати, що графік вирішення системи двох

диференціальних рівнянь є інтегральною кривою в тривимірному просторі.

Теорема. (Теорема Коші). Якщо в деякій області (n-1) – мерного простору

функції f1 (x, y1 , y2 ,..., yn ), f2 (x, y1 , y2 ,..., yn ), .

fn (x, y1 , y2 ,..., yn ) безперервні і мають

безперервні приватні похідні по, то для будь-якої точки (x0 .y10 , y20 ,..., yn0 ) цієї області

існує єдине рішення

y1 = ϕ1 (x), y2 = ϕ2 (x), ... yn = ϕn (x)

системи диференціальних рівнянь вигляду (1), визначене в деякій околиці точки х0 і таке, що задовольняє початковим умовам x0 .y10 , y20 ,..., yn0 .

Визначення. Загальним вирішенням системи диференціальних рівнянь

вигляду	(1)	буде	сукупність		функцій
. y1 = ϕ1 (x,C1 ,C2 ,...,Cn ) y2		= ϕ2 (x,C1 ,C2 ,...,Cn )	yn = ϕn (x,C1 ,C2 ,...,Cn ) ,	які	при
підстановці в систему (1) обертають її в тотожність.

Нормальні системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.

При розгляді систем диференціальних рівнянь обмежимося випадком системи трьох рівнянь (n = 3). Все нижческазане справедливо для систем довільного порядку.

Визначення. Нормальна система диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами називається лінійною однорідною, якщо її можна записати у вигляді:

dy		= a y + a z + a u

dx
	11		12	13


dz		= a21 y + a22 z + a23u			(2)


dx
du		= a31 y + a32 z + a33u


dx

Вирішення системи (2) володіють наступними властивостями:

1) Якщо у, z, u – вирішення системи, то Cy, Cz, Cu, де C = const – теж є вирішеннями цієї системи.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

2) Якщо y1, z1, u1 і y2, z2, u2 – вирішення системи, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – теж є вирішеннями системи.

Вирішення	системи	шукаються	у	вигляді:
y = αekx ; z = βekx ;	u = γekx , α,β, γ, k = const

Підставляючи ці значення в систему (2) і перенісши всі члени в один бік і скоротивши на ekx, отримуємо:

(a11 − k)α + a12β+ a13 γ = 0a21α + (a22 − k)β+ a23 γ = 0a31α + a32β+ (a33 − k)γ = 0

Для того, щоб отримана система мала ненульове рішення необхідно і достатньо, щоб визначник системи був рівний нулю, т.е.:

a11 − k	a12	a13
a11 − k	a12	a13
a21	a22 − k	a23	= 0
a31	a32	a33 − k

В результаті обчислення визначника отримуємо рівняння третього ступеня відносно до. Це рівняння називається характеристичним рівнянням і має три корені k1, k2, k3. Кожному з цього коріння відповідає ненульове вирішення системи (2):

y = α	1	ek1x ,	z = β		ek1x ,	u = γ		ek1x ,
1			1	1		1	1
y2 = α2ek2 x ,			z2 = β2 ek2 x ,			u2 = γ2 ek2 x ,
y3 = α3ek3 x ,			z3 = β3ek3 x ,			u3 = γ3ek3 x .

Лінійна комбінація цих рішень з довільними коефіцієнтами буде вирішенням системи (2):

y = C1α1ek1x + C2 α2 ek2 x + C3α3ek3 x ; z = C1β1ek1x + C2β2 ek2 x + C3β3ek3 x ; u = C1γ1ek1x + C2 γ2 ek2 x + C3 γ3ek3 x .

Приклад. Знайти загальне вирішення системи рівнянь:

x′ = 5x + 2yy′ = 2x + 2y

Складемо характеристичне рівняння:

5 − k

= 0;

(5 − k)(2 − k) − 4 = 0;

10 −5k − 2k + k 2 − 4 = 0;

2 − k

k 2 −7k + 6 = 0;

k1 =1;

k2 = 6;

Вирішимо систему рівнянь:

− k)α + a β = 0

a21α + (a22 − k)β = 0

Для k1:

(5 −

1)α

+ 2β

= 0

4α

2β

= 0

2α1

+ (2 −1)β1 = 0

2α1 +β1 = 0

Вважаючи α1

=1(приймається будь-яке значення), отримуємо: β1

= −2.

Для k2:

(5 − 6)α2 + 2β2 = 0

−

1α

2 + 2β2 = 0

+ (2 − 6)β2 = 0

− 4β2 = 0

2α2

Вважаючи α2

= 2 (приймається будь-яке значення), отримуємо: β2

=1.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

	t				6t
x = C1e	t	+		2C2 e	6t
x = C1e		+		2C2 e
Загальне вирішення системи:
			t	+ C2 e		6t
y = −2C1e				+ C2 e

Цей приклад може бути вирішений іншим способом:

Продиференціюємо перше рівняння: x′′ = 5x′+ 2 y′; Підставимо в цей вираз похідну у′=2x + 2y з другого рівняння.

x′′ = 5x′+ 4x + 4 y;

Підставимо сюди у, виражене з першого рівняння:

x′′ = 5x′+ 4x + 2x′−10x x′′−7x′+ 6x = 0

k1 = 6;

x = Aet + Be6t ;

x′ = Aet + 6Be6t ;

2y = x′−5x = Aet + 6Be6t −5Aet −5Be6t ;

y = −2Aet + 1

Be6t ;

Позначивши A = C1 ;

B = C2

, отримуємо вирішення системи:

x = C1e

2C2 e

+ C2 e

y = −2C1e

Приклад. Знайти вирішення системи рівнянь

y′ =

y + z

z′ = y + z + x

Ця система диференціальних рівнянь не відноситься до розглянутого вище типу, оскільки не є однорідним (у рівняння входить незалежна змінна х).

Для вирішення продиференціюємо перше рівняння по х. Отримуємо: y′′ = y′+ z′.

Замінюючи значення z’ з другого рівняння отримуємо: y′′ = y′+ y + z + x .

З урахуванням першого рівняння, отримуємо:		y′′ = 2y′+ x.
Вирішуємо отримане диференціальне рівняння другого порядку.
y′′− 2y′ = x;	y′′− 2y′ = 0;	k 2 − 2k = 0; k1 = 0; k2 = 2.

Загальне вирішення однорідного рівняння: y = C1 +C2e2 x .

Тепер знаходимо приватне вирішення неоднорідного диференціального рівняння по

формулі y = xr eαxQ(x); α = 0; r =1;		Q(x) = Ax + B;
y = Ax2 + Bx; y′ = 2Ax + B; y′′ = 2A;
2A − 4Ax − 2B = x;				A = −			1	; B = −	1	;
2A − 4Ax − 2B = x;				A = −				; B = −	4	;
Загальне вирішення неоднорідного рівняння:				4					4
Загальне вирішення неоднорідного рівняння:
	y = C + C		e2 x	−	1	x(x +1).
	y = C + C		e2 x	−		x(x +1).
1		2		4
				4

Підставивши набутого значення в перше рівняння системи, отримуємо:

“Курс вищої математики. Частина 3.”

z = −C1 + C2 e2 x + 14 (x2 − x −1).

Приклад. Знайти вирішення системи рівнянь:

y′ = z + wz′ = 3y + w

w′ = 3y + z

Складемо характеристичне рівняння:

− k

3 1

3 − k

= 0;

− k

−

= 0;

− k

3 1

− k(k 2 −1) + 3k + 3 + 3 + 3k = 0;

k 3 − 7k − 6 = 0;

k1 = −1; k2 = −2; k3 = 3;

до = -1.

α +β+ γ = 0

α = 0; β = −γ;

3α +β+ γ = 0;

3α +β+ γ = 0

Якщо прийняти γ = 1, то рішення в цьому випадку отримуємо:

y = 0;

z = −e−x ;

w = e−x ;

k2 = -2.

2α +β+ γ = 0

α = −γ; β = γ;

3α + 2β+ γ = 0;

3α +β+ 2γ = 0

Якщо прийняти γ = 1, то отримуємо:

= −e−2 x ;

= e−2 x ;

w = e−2 x ;

k3 = 3.

−3α +β+ γ = 0

3α −3β+ γ = 0 ;

α =

γ;

β = γ;

3α +β−3γ = 0

Якщо прийняти γ = 3, то отримуємо:

y	3	= 2e3x ; z	3	= 3e3x ; w = 3e3x ;
	3		3	3

Загальне рішення має вигляд:

y = −C2 e−2 x + 2C3e3x

z = −C1e−x +C2 e−2 x +3C3e3xw = C1e−x +C2 e−2 x +3C3e3x

Елементи теорії стійкості.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных