Материал: Частина 3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

На довільний елемент довжини нитки (х, х + ∆х) діють дві сили натягнення AD і BC . При цьому:

Якщо вважати коливання малими, то можна прийняти: tgα ≈ sin α

Тоді проекція сили BC на вісь u:

Вираз, що стоїть в правій частині рівності отримано в результаті застосування теореми Лагранжа ( див. Теорема Лагранжа ) до виразу, що стоїть зліва.

Твір маси на прискорення даного елементу струни рівний:

ρ∆x ∂2u(x,t) ,

∂t 2

де ρ - щільність струни.

Прирівнюючи отриманий вираз до значення проекції сили, отримаємо:

Для повного визначення руху струни отриманого рівняння недостатньо. Функція u(x, t) повинна ще задовольняти граничним умовам, що описують перебування струни на кінцях (в точках x = а і x = b) і початковим умовам, що описують стан струни у момент часу t = 0.

Сукупність граничних і початкових умов називається краєвими умовами. Таким чином, завдання Коші полягає в знаходженні вирішення лінійного

диференціального рівняння з приватними похідними другого порядку за початкових умов

і краєвих умовах

u(0,t) = u(l,t) = 0 .

56

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Початкові умови показують, в якому положенні знаходиться струна в початковий момент часу і швидкість кожної її крапки в початковий момент часу.

Функції f(x) і F(x) задані.

Краєві умови показують, що кінці струни закріплені в крапках а = 0, b = l

Рішення задачі Коші методом розділення змінних. (Метод Фурье.)

Всі вирішення початкового диференціального рівняння, що задовольняють граничним умовам, можна записати у вигляді:

Остаточне вирішення рівняння коливань струни можна записати у вигляді:

У випадку якщо довжина струни дуже велика, то на коливання, струни, що виникають в середині, кінці струни впливу практично не надають. Тому, розглядаючи коливання нескінченної струни, рівняння

57

“Курс вищої математики. Частина 3.”

u(x,0) = f (x)

ut′(x,0) = F (x)

Для знаходження рішення введемо нові змінні:

Вирішенням цього рівняння буде функціяu = ϕ(α) + ψ(β) , де ϕ і ψ - деякі функції, які вважатимемо такими, що двічі диференціюються.

Отримуємо: u(x,t) = ϕ(x − at) + ψ(x + at).

Якщо продиференціювати отриману відповідь, отримаємо: u′x = ϕ′(x − at) + ψ′(x + at)

ut′ = −aϕ′(x − at) + aψ′(x + at) u′xx′ = ϕ′′(x − at) + ψ′′(x + at) utt′′ = a2 ϕ′′(x − at) + a2 ψ′′(x + at)

Тобто a 2u′xx′ = utt′′ .

Далі з використанням початкових умов знаходимо функції ϕ і ψ.

ϕ(x) + ψ(x) = f (x)

− aϕ′(x) + aψ′(x) = F(x)

Проінтегрував останню рівність на відрізку [0, x], отримуємо:

Ця формула називається формулою Даламбера.

Рівняння теплопровідності.

Температуру фізичного тіла в довільній крапці з координатами (x, у, z) у момент часу t можна представити у вигляді функції:

u = u(x, y, z)

58

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Складемо диференціальне рівняння:

Тоді складене нами диференціальне рівняння приймає вигляд:

∂dtu = a2 ∆u

і називається рівнянням теплопровідності в просторі.

Як окремі випадки розглядають:

У разі розгляду рівняння теплопровідності в стрижні шукана функція u(x, t) повинна задовольняти записаному вище диференціальному рівнянню, початковій умові u(x,0) = f (x) 0 ≤ x ≤ πі граничним умовам u(0,t) = u(π,t) = 0, t ≥ 0 .

В результаті вирішення диференціального рівняння методом Фурье отримаємо:

Відзначимо, що розповсюдження тепла в тілі називається стаціонарним, якщо функція u не залежить від часу t.

Рівняння Лапласа.

Визначення. Функція u(x, y, z) називається гармонійною на областіσ, якщо

вона має безперервні приватні похідні другого порядку на області σ і задовольняє умові

Якщо на деякій межі Г тіла підтримувати постійну температуруuГ = f (x, y, z) ,

де f – задана функція, то усередині тіла встановиться єдина постійна температура. З фізичної точки зору це твердження очевидне, проте, даний факт може бути доведений математично.

Математичний доказ цього факту називається завданням Дирихле. (Петер Густав Дирихле (1805 – 1859) – німецький математик)

Рішення задачі Дирихле для круга.

59

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Хай в площині XOY є круг радіусу R з центром на початку координат і на його колі задана функція f(ϕ), де ϕ - полярний кут.

Потрібно знайти функціюu(r,ϕ) , яка задовольняє рівнянню Лапласа

Таким чином, маємо два рівняння:

Φ′′(ϕ) + k 2Φ(ϕ) = 0

r 2 R′′(r) + rR′(r) − k 2 R(r) = 0

Загальне вирішення першого рівняння має вигляд: Φ = Acos kϕ + B sin kϕ

Вирішення другого рівняння шукаємо у вигляді: R = r m . При підстановці отримаємо: r 2 m(m −1)r m−2 + rmr m−1 − k 2 r m = 0

m2 − k 2 = 0

Загальне вирішення другого рівняння має вигляд: R = Cr k + Dr −k . Підставляючи отримані рішення в рівнянняu = Φ(ϕ)R(r) , отримаємо:

uk = (Ak cos kϕ + Bk sin kϕ)(Ck r k + Dk r −k )

Ця функція буде вирішенням рівняння Лапласа при будь-якому до ≠ 0.

Якщо до = 0, то Φ′′ = 0; rR′′+ R′ = 0 отже u0 = (A0 + B0ϕ)(C0 + D0 ln r) . Рішення повинне бути періодичним, оскільки одне і те ж значення повторюватиметься через 2π. (Тоді розглядається одна і та ж точка круга.) Тому В0 = 0.

Рішення повинне бути кінцевим і безперервним, тому D0 = 0.

Остаточно отримуємо:

При цьому:

1 π

Bn = πRn −π∫ f (t)sin ntdt

Якщо підставити ці коефіцієнти в отриману вище формулу і провести спрощення, отримуємо остаточний результат рішення задачі Дирихле, який називається

інтегралом Пуассона.

(Сімеон Подіни Пуассон (1781 – 1840) – французького математика)

60