Материал: Частина 3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Ряди.

Основні визначення.

Визначення. Сума членів нескінченної числової послідовності u1 ,u2 ,...,un ,...

називається числовим поряд.

∞

u1 + u2 + ... + un + ... = ∑un

n =1

При цьому числа u1 ,u2 ,... називатимемо членами ряду, а un – загальним членом ряду.

Таким чином, можливо розглядати послідовності часткових сум ряду S1, S2 .,Sn,

.

∞

Визначення. Ряд u1 + u2 +... + un +... = ∑un називається таким, що сходиться,

n =1

якщо сходиться послідовність його приватних сум. Сума ряду, що сходиться, – межа послідовності його приватних сум.

Визначення. Якщо послідовність приватних сум ряду розходиться, тобто не має межі, або має нескінченну межу, то ряд називається таким, що розходиться і йому не ставлять у відповідність ніякої суми.

Властивості рядів.

1)Збіжність або расходимость ряду не порушиться якщо змінити, відкинути або додати кінцеве число членів ряду.

2)Розглянемо два ряди ∑un і∑Cun , де З – постійне число.

Теорема. Якщо ряд сходиться і його сума рівна S, то ряд теж сходиться, і його сума рівна Сs. (C ≠ 0)

3) Розглянемо два ряди ∑un і ∑vn . Сумою або різницею цих рядів називатиметься ряд∑(un ± vn ) , де елементи отримані в результаті складання (віднімання) початкових елементів з однаковими номерами.

Теорема. Якщо ряди і сходяться і їх суми рівні відповідно S і, то ряд ∑(un ± vn )

теж сходиться і його сума рівна S + σ.

∑(un + vn ) = ∑un + ∑vn = S + σ

Різниця двох рядів, що сходяться, також буде такою, що сходиться поряд.

61

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Сума рядів, що сходяться і розходяться, буде такою, що розходиться поряд. Про суму двох рядів загального твердження, що розходяться, зробити не можна.

При вивченні рядів вирішують в основному два завдання: дослідження на збіжність і знаходження суми ряду.

Критерій Коші.

(необхідні і достатні умови збіжності ряду)

Для того, щоб послідовність була такою, що сходиться, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε > 0 існував такий номер N, що при n > N і будь-якому p > 0, де р – ціле число, виконувалася б нерівність:

an+ p − an < ε.

Доказ. (необхідність)

Хайan → a , тоді для будь-якого числа ε > 0 знайдеться номер N такий, що нерівність a − an < 2ε виконується при n>N. При n>N і будь-якому цілому p>0 виконується також нерівність a − an+ p < 2ε . Враховуючи обидві нерівності, отримуємо:

Необхідність доведена. Доказ достатності розглядати не будемо. Сформулюємо критерій Коші для ряду.

Для того, щоб ряд був таким, що сходиться необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε > 0 існував номер N такий, що при n>N і будь-якому p>0 виконувалася б нерівність

un+1 + un+2 +... + un+ p < ε.

Проте, на практиці використовувати безпосередньо критерій Коші не дуже зручно. Тому як правило використовуються простіші ознаки збіжності:

1) Якщо ряд ∑un сходиться, то необхідно, щоб загальний член un прагнув до

нуля. Проте, ця умова не є достатньою. Можна говорити тільки про те, що якщо загальний член не прагне до нуля, то ряд точно розходиться. Наприклад, так званий

означає ряд розходиться.

2) Якщо ряд сходиться, то послідовність його приватних сум обмежена.

62

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Проте, ця ознака також не є достатньою.

Наприклад, ряд 1-1+1-1+1-1+ . +(-1)n+1+. розходиться, оскільки розходиться

Проте, при цьому послідовність приватних сум обмежена, оскільки Sn < 2 при будь-якому n.

Ряди з ненегативними членами.

При вивченні знакопостійних рядів обмежимося розглядом рядів з ненегативними членами, оскільки при простому множенні на –1 з цих лав можна отримати ряди з негативними членами.

Теорема. Для збіжності ряду з ненегативними членами необхідно і достатньо, щоб приватні суми ряду були обмежені.

Ознака порівняння рядів з ненегативними членами.

Хай дано два ряди ∑un і ∑vn при un, vn ≥ 0.

Теорема. Якщо un≤ ≤ vn при будь-якому n, то із збіжності ряду ∑vn виходить збіжність ряду∑un , а з расходимости ряду ∑un виходить расходимость ряду ∑vn .

Доказ. Позначимо через Sn і σn приватні суми рядів ∑un і ∑vn . Оскільки по умові теореми ряд ∑vn сходиться, то його приватні суми обмежені, тобто при всіх n σn

<M, де М – деяке число. Але оскільки un≤ ≤ vn, то Sn ≤ n те приватні суми ряду

∑un теж обмежені, а це досить для збіжності.

ведуть однаково в сенсі збіжності.

Ознака Даламбера.

63

“Курс вищої математики. Частина 3.”

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французький математик)

Якщо для ряду ∑un з позитивними членами існує таке число q<1, що для всіх достатньо великих n виконується нерівність

un+1 ≤ q, un

то ряд ∑un сходиться, якщо ж для всіх достатньо великих n виконується умова

un+1 ≥1, un

то ряд ∑un розходиться.

Гранична ознака Даламбера.

Гранична ознака Даламбера є наслідком з приведеної вище ознаки Даламбера.

Якщо існує межа, то при ρ < 1 ряд сходиться, а при ρ > 1 – розходиться. Якщо ρ = 1, то на питання про збіжність відповісти не можна.

Вивід: ряд сходиться.

Ознака Коші. (радикальна ознака)

Якщо для ряду з ненегативними членами існує таке число q<1, що для всіх достатньо великих n виконується нерівність

n un ≤ q ,

то ряд сходиться, якщо ж для всіх достатньо великих n виконується нерівність n un ≥1,

то ряд розходиться.

Слідство. Якщо існує межаlim n un = ρ, то при <ρ1 ряд сходиться, а при >ρ1 ряд

n→∞

розходиться.

64

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Тобто ознака Коші не дає відповіді на питання про збіжність ряду. Перевіримо виконання необхідних умов збіжності. Як було сказано вище, якщо ряд сходиться, то загальний член ряду прагне до нуля.

таким чином, необхідна умова збіжності не виконується, значить, ряд розходиться.

Інтегральна ознака Коші.

Якщо (х) – безперервна позитивна функція, що убуває на проміжку [1;∞), то ряд

збіжності.

65