Документ: Частина 3, страницы 51-55 | Студенческое хранилище

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Теорія стійкості вирішень диференціальних рівнянь є одним з розділів якісної теорії диференціальних рівнянь, яка присвячена не знаходженню якого – або вирішення рівняння, а вивченню характеру поведінки цього рішення при зміні початкових умов або аргументу.

Цей метод особливо важливий, оскільки дозволяє робити вивід про характер рішення без безпосереднього знаходження цього рішення. Тобто навіть в тих випадках, коли вирішення диференціального рівняння взагалі не може бути знайдене аналітично.

Хай є деяке явище, описане системою диференціальних рівнянь:

dyi	= f	i	(t, y , y	2	,..., y	n	);	(i =1,2,..., n)	(1)

dt			1

і початкові умови: yi (t0 ) = yi0 .

Для конкретного явища початкові умови визначаються досвідченим шляхом і тому неточні.

Теорема. (про безперервну залежність рішення від початкових умов)

Якщо права частина диференціального рівняння безперервна і по змінній у має обмежену приватну похідну (f y′ ≤ N ) на області прямокутника, обмеженого, то

рішення

y(t) = y(t,t0 , y0 ) що задовольняє початковим умовам, безперервно залежить від початкових даних, тобто для будь-якого, при якому якщо

y0 − y0 < 0, то y(t,t0 , y0 ) − y(t,t0 y0 ) < ε за умови, що


		t0 −t			< T;		T < T0 , де
		t0 −t			< T;		T < T0 , де
			1		b
			1		b
T0	= min a,			,		,	M = max	f (t, y)	.
T0	= min a,			,		,	M = max	f (t, y)	.
			N		M		(t, y) D

Ця теорема справедлива як для одного диференціального рівняння, так і для системи рівнянь.

Визначення. Якщо ϕ(t) = {ϕ1 (t),ϕ2 (t),...,ϕn (t)} - вирішення системи

диференціальних рівнянь, то це рішення називається стійким по Ляпунову, якщо для будь-якогоε > 0 ∆ > 0 , таке, що для будь-якого вирішення y(t) = {y1 (t), y2 (t),..., yn (t)} тієї ж системи, початкові умови якого задовольняють нерівностям


	yi (t0 ) −ϕi (t0 )		< ∆
				i = (1, n	)
				i = (1, n	)
справедливі нерівності				t [t0 ,∞)
	yi (t) −ϕi (t)	< ε
	yi (t) −ϕi (t)	< ε

(Ляпунов Олександр Михайлович (1857 – 1918) академік Петерб. АН)

Тобто можна сказати, що рішення (t) ϕстійке по Ляпунову, якщо близькі до

нього за початковими умовами рішення залишаються близькими і при t ≥ t0.

Якщоlim

yi (t) −ϕi (t)

то рішення (t) ϕназивається асимптотика

= 0, i = (1, n

) ,

t→∞

стійким.

Дослідження

на

стійкість

по

Ляпунову

довільного

вирішення

ϕ(t) = {ϕ (t),ϕ

2

(t),...,ϕ

n

(t)}

системи

dyi

= f

i

(t, y , y

2

,..., y

n

);

(i =1,2,..., n) можна

1

dt

1

звести до дослідження на стійкість рівного нулю рішення деякій іншої системи, яка отримана з даною заміною невідомих функцій:

51

“Курс вищої математики. Частина 3.”

xi (t) = yi (t) −ϕi (t),

i =1,..., n.

Тоді:

dyi

dxi

dϕi

=

+

dt

dxi

dt

= f

[t, x

+ ϕ (t),..., x

n

+ ϕ

n

(t)]− f

[t,ϕ (t),...,ϕ

n

(t)],

i =1,..., n.

(2)

dt

i

1

i

1

Система (2) має тривіальне (рівне нулю) рішення xi (t) = 0.

Теорема. Вирішення ϕ(t) = {ϕ1 (t),ϕ2 (t),...,ϕn (t)} системи (1) стійке по Ляпунову

тоді і тільки тоді, коли стійко по Ляпунову тривіальне вирішення системи (2).

Це тривіальне рішення називається положенням рівноваги або точкою спокою.

Визначення. Точка спокою

xi (t) = 0 системи (2) стійка по Ляпунову, якщо для

будь-якого ε > 0 ∆(ε) > 0 таке, що з нерівності

слідує

xi (t0 )

< ∆(ε)

(i =1,...,n)

xi (t)

(i =1,...,n)

t ≥ t0 .

< ε

Теорема. (Теорема Ляпунова). Хай задана система

dyi

= f

(t, y , y

2

,..., y

n

);

(i =1,2,..., n)

dt

i

1

що має тривіальне рішення yi (t) = 0 .

Хай існує функція, що диференціюється, задовольняє умовам:

1)v( y1 ,..., yn ) ≥0 і v = 0 тільки при у1 = у2 = . = уn =0, тобто функція v має мінімум на початку координат.

2)Повна похідна функції v уздовж фазової траєкторії (тобто уздовж вирішення yi(t) системи (1)) задовольняє умові:

dv

n

∂v

∂yi

n

∂v

=

∑

= ∑

fi (t, yi ,..., yn ) ≤ 0

при

∂t

dt

=

∂y

i

=

∂y

i

i 1

Тоді точка спокою yi ≡ 0,

i =1,..., n

стійка по Ляпунову.

Якщо ввести додаткову вимогу, щоб зовні скільки завгодно малій околиці

початку координат (y12 +... + yn2

≥ ∆) виконувалася умова

∂v

≤ −β < 0, (t ≥ t0 ),

∂t

де β - постійна величина, то точка спокою yi ≡ 0, i =1,..., n

асимптотика стійка.

Функція v називається функцією Ляпунова.

Класифікація точок спокою.

Розглянемо систему двох лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами

dxdt = a11 x + a12 y

dy = a21 x + a22 ydt

Характеристичне рівняння цієї системи має вигляд:

52

“Курс вищої математики. Частина 3.”

a11 −λ	a12	= 0
a11 −λ	a12	= 0
a21	a22 −λ

Розглянемо наступні можливі випадки:

1) Коріння характеристичного рівняння дійсне, негативне і різне.

λ1 < 0, λ2 < 0, λ1 ≠ λ2 .

Точка спокою x = y ≡ 0 буде стійка. Така точка спокою називається стійким вузлом.

2) Коріння характеристичного рівняння дійсне і

λ1 = 0, λ2 < 0 або λ1 = λ2 < 0 .

В цьому випадку точка спокою також буде стійка.

3) Хоч би один з коріння λ1 ,λ2 позитивний.

В цьому випадку точка спокою x = y ≡ 0 нестійка, і таку крапку називають нестійким сідлом.

4) Обидва корені характеристичного рівняння позитивні λ1 > 0, λ2 > 0 .

В цьому випадку точка спокою x = y ≡ 0 нестійка, і таку крапку називають нестійким вузлом.

		λ1t				λ2t
Якщо отриманого вирішення	x = C1α1e	λ1t		+ C2	β1e	λ2t		системи виключити параметр t, то
	x = C1α1e			+ C2	β1e
			λ1t				λ2t

	y = C1α2 e			+ C2β2 e
	y = C1α2 e			+ C2β2 e
отримана функція y = ϕ(t) дає траєкторію руху в системі координат XOY.
Можливі наступні випадки:
β							β

α α

Стійкий вузол. Нестійкий вузол. Сідло.

5) Коріння характеристичного рівняння комплексне λ1 = p +iq, λ2 = p −iq .

Якщо р = 0, тобто коріння чисто уявне, то точка спокою (0, 0) стійка по Ляпунову. Така точка спокою називається центром.

Якщо p< 0, то точка спокою стійка і називається стійким фокусом. Якщо p > 0, то точка спокою нестійка і називається нестійким фокусом.

Рівняння математичної фізики.

Рівняння в приватних похідних.

53

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Визначення. Диференціальним рівнянням в приватних похідних називається рівняння щодо невідомої функції декілька змінних, її аргументів і її приватних похідних різних порядків.

∂u

∂k u

F x

, x

,..., x

,

,...,

= 0

∂x

∂

1

2

n

2

n

k1

kn

1

x1

...

xn

Порядком диференціального рівняння в приватних похідних називається порядок старшої похідної, що входить в це рівняння. Вирішенням рівняння буде деяка функціяu = u(x1 , x2 ,..., xn ) , яка обертає рівняння в тотожність.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння в приватних похідних першого порядку.

Диференціальне рівняння в приватних похідних першого порядку від функції u = u(x1 , x2 ,..., xn ) можна в загальному вигляді записати як

∂u

, x2

,..., xn ,

,

,...,

= 0

∂x

F x1

2

1

n

Лінійне рівняння в приватних похідних має вигляд:

X		(x , x		,..., x	n	)	∂u	+ X		(x , x		,..., x	n	)	∂u		+... + X	n	(x , x		,..., x	n	)	∂u		= 0 ,	(1)
							∂x								∂x									∂x
	1	1	2						2	1	2					2			1	2					n
							1

де Xi – деякі задані функції.

Очевидно, що одним з вирішень такого рівняння буде функція u = C.

Розглянемо систему рівнянь:

dx1

dx2

dxn

=

= ... =

;

(2)

X 2

X1

X n

або

dx1

=

X1

;

dx2

=

X 2

; ...

dxn−1

=

X n−1

- така система називається нормальною.

dxn

X n

Загальне вирішення цієї системи має вигляд:

x

= f

(x

n

,C ,C

2

,...,C

n−1

)

1

x2

= f2 (xn ,C1 ,C2 ,...,Cn−1 )

..........................................

x

n

−1

=

f

n−1

(x

n

,C ,C

2

,...,C

n−1

)

1

Якщо вирішити ці рівняння щодо постійних З, отримаємо:

ϕ

(x , x

2

,..., x

n

)

= C

1

ϕ2 (x1 , x2 ,..., xn ) = C2

.................................

ϕ

n−1

(x , x

2

,..., x

n

) = C

n−1

1

Кожна з функцій ϕ є інтегралом системи (2).

Теорема.

Якщо ϕ(x1 , x2 ,..., xn )

-

інтеграл

системи (2), то функція

u = ϕ(x1 , x2 ,..., xn ) - вирішення рівняння (1).

54

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Класифікація основних типів рівнянь математичної фізики.

1) Хвилеве рівняння. (Рівняння коливань струни, електроколивання, крутильні коливання валу і ін.) Це просте рівняння гіперболічного типу.

∂2u	= a	2 ∂2u
∂t 2		∂x2

2) Рівняння теплопровідності. (Рівняння Фурье) Це просте рівняння параболічного типу. Описує процеси теплопровідності, фільтрації рідини і газу, деякі питання теорії вірогідності.

∂u = a2 ∂2u ∂t ∂x2

3) Рівняння Лапласа. Це просте рівняння еліптичного типу. Описує магнітні і електричні поля, гідродинаміку, дифузію і ін.

∂2u	+	∂2u	= 0
∂x2		∂y2

У цих рівняннях функція u залежить від двох змінних, проте, завдання може бути розширена для випадку три змінних:

1)

Хвилеве рівняння:

∂2u

= a

2 ∂2u

+ a

2

∂2u

;

∂t 2

∂x

2

∂y2

2)

Рівняння теплопровідності:

∂u

= a

2

∂2u

+ a

2

∂2u

;

∂t

∂x2

∂y2

3)

Рівняння Лапласа:

∂2u

+

∂2u

+

∂2u

= 0

∂x2

∂y

2

∂z 2

Розглянемо докладніше кожне з цих рівнянь.

Рівняння коливань струни.

Визначення. У математичній фізиці струною називається тонка нитка, в якій можливе виникнення напруги тільки в подовжньому, але не в поперечному напрямі.

Хай кінці натягнутої струни закріплені в точках х = а і x = b, напругу, що виникає в ній, позначимо Т. Будем також вважати, що щільність струни постійна на всьому її протязі.

Допустимо, що у момент t0 = 0 струна виведена із стану рівноваги і здійснює малі коливання.

Відхилення струни в кожній крапці з координатою х у момент часу t позначимо

як

u = u(x,t)

a ≤ x ≤ b, t ≥ 0

u

C

55

Материал: Частина 3

Смотрите также: