Материал: Частина 3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Якщо замкнутий контур має вигляд, показаний на малюнку, то криволінійний інтеграл по контуру L можна записати у вигляді:

∫P(x, y)dx = ∫ + ∫ + ∫ + ∫

Якщо ділянки АВ і CD контура прийняти за довільні криві, то, провівши аналогічні перетворення, отримаємо формулу для контура довільної форми:

Ця формула називається формулою Остроградського – Гріна.

Формула Остроградського – Гріна справедлива і у разі багатозв'язкової області, тобто області, усередині якої є виключені ділянки. В цьому випадку права частина формули буде сумою інтегралів по зовнішньому контуру області і інтегралів по контурах всіх виключених ділянок, причому кожен з цих контурів інтегрується в такому напрямі, щоб область ∆ весь час залишалася ліворуч лінії обходу.

Приклад. Вирішимо приклад, розглянутий вище, скориставшись формулою Остроградського – Гріна.

Формула Остроградського – Гріна дозволяє значно спростити обчислення криволінійного інтеграла.

Криволінійний інтеграл не залежить від форми шляху, якщо він уздовж всіх шляхів, що сполучають початкову і кінцеву точку, має одну і ту ж величину.

Умовою незалежності криволінійного інтеграла від форми шляху рівносильно рівності нулю цього інтеграла по будь-якому замкнутому контуру, що містить початкову і кінцеву точки.

Ця умова виконуватиметься, якщо подынтегральное вираз є повним диференціалом деякої функції, тобто виконується умова тотальності.

∂∂Py = ∂∂Qx

106

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Поверхневі інтеграли першого роду.

z

∆Si

0

у

∆

x

Поверхневий інтеграл є таким же узагальненням подвійного інтеграла, яким криволінійний інтеграл є по відношенню до певного інтеграла.

Розглянемо поверхню в просторі, яка довільно розбита на n частин.

Розглянемо твір значення деякої функції F в довільній крапці з координатами

(α,β, γ) на площу часткової ділянки Si, що містить цю крапку.

F(α,β, γ)∆Si

Визначення. Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття λ поверхні існує

5)ЯкщоF1 (x, y, z) ≤ F2 (x, y, z) , то

∫∫F1 (x, y, z)dS ≤ ∫∫F2 (x, y, z)dS

S S

7) Теорема про середній.

Якщо функція F(x, у, z) безперервна в будь-якій точці поверхні S, то існує крапка (α,β, γ) така, що

107

“Курс вищої математики. Частина 3.”

∫∫F(x, y, z)dS = F(α,β, γ) S

S

S – площа поверхні.

Провівши міркування, аналогічні тим, які використовувалися при знаходженні криволінійного інтеграла, отримаємо формулу для обчислення поверхневого інтеграла першого роду через подвійний інтеграл по за площею проекції поверхні на площину

XOY.

Якщо на поверхні S є хоч би одна крапка і що не хоч би один перетинає межу поверхні контур, при обході по якому напрям нормалі в крапці міняється на протилежний, то така поверхня називається односторонньою.

Якщо за цих умов напрям нормалі не міняється, то поверхня називається

двосторонньою.

Вважатимемо позитивним напрямом обходу контура L, що належить поверхні, такий напрям, при русі по якому по вибраній стороні поверхні сама поверхня залишається зліва.

Двостороння поверхня зі встановленим позитивним напрямом обходу називається орієнтованою поверхнею.

Розглянемо в просторі XYZ обмежену двосторонню поверхню S, що складається з кінцевого числа шматків, кожен з яких заданий або рівнянням виду z = f(x, у), або є циліндровою поверхнею із створюючими, паралельними осі OZ.

Визначення. Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття поверхні S інтегральні суми, складені як суми творів значень деякої функції на площу часткової поверхні, мають кінцеву межу, то ця межа називається поверхневим інтегралом другого роду.

∫∫P(x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy

S

- поверхневий інтеграл другого роду.

Властивості поверхневого інтеграла другого роду аналогічні вже розглянутим нами властивостям поверхневого інтеграла першого роду.

Тобто будь-який поверхневий інтеграл другого роду міняє знак при зміні сторони поверхні, постійний множник можна виносити за знак інтеграла, поверхневий інтеграл від суми два і функцій рівніший сумі поверхневих інтегралів від цих функцій, якщо поверхня розбита на кінцеве число часткових поверхонь, інтеграл по всій поверхні рівний сумі інтегралів по часткових поверхнях.

108

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Якщо S- циліндрова поверхня із створюючими, паралельними осі OZ, то ∫∫R(x, y, z)dxdy = 0 . У випадку, якщо створюючі поверхні паралельні осям OX і OY, то

S

рівні нулю відповідні складові поверхневого інтеграла другого роду.

Обчислення поверхневого інтеграла другого роду зводиться до обчислення відповідних подвійних інтегралів. Розглянемо це на прикладі.

Приклад. Обчислити інтеграл ∫∫(z − R)2 dxdy по верхній стороні півсфери

S

x2 + y2 + z 2 = 2Rz, R ≤ z ≤ 2R.

Перетворимо рівняння поверхні до вигляду: x2 + y2 + (z − R)2 − R2 = 0 z = R + R2 − x2 − y 2

10

8

4

0

-4

-2

-2

0

2

-4

4

Задана поверхня проектується на площину XOY в круг, рівняння якого: x2 + y2 ≤ R2

∫∫(z − R)2 dxdy = ∫∫(R2 − x2 − y2 )dxdy

S ∆

Для обчислення подвійного інтеграла перейдемо до полярних координат: (Див. Двойной интеграл в полярных координатах.)

Зв'язок поверхневих інтегралів першого і другого роду.

Поверхневі інтеграли першого і другого роду зв'язані один з одним співвідношенням:

∫∫Pdydz +Qdzdx + Rdxdy = ∫∫(P cos α +Q cosβ+ R cos γ)dS

S S

У цій формулі cosα, cosβ, cos γ- направляючі косинуси нормалі до поверхні S у вибрану сторону поверхні.

109

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Формула Гауса – Остроградського.

Формула Гауса – Остроградського є аналогом формули Гріна – Остроградського. Ця формула зв'язує поверхневий інтеграл другого роду по замкнутій поверхні з потрійним інтегралом по просторовій області, обмеженій цією поверхнею.

Для виведення формули Гауса – Остроградського треба скористатися міркуваннями, подібними тим, які використовувалися при знаходженні формули Гріна,

– Остроградського.

Розглядається спочатку поверхня, обмежена зверху і знизу деякими поверхнями, заданими відомими рівняннями, а збоку обмежену циліндровою поверхнею. Потім розглядається варіант коли поверхня обмежена циліндровою поверхнею із створюючими, паралельними дум доугим координатним осям.

Після цього отримані результати узагальнюються, приводячи до формули Гауса

– Остроградського:

Відзначимо, що ця формула застосовна для обчислення поверхневих інтегралів по замкнутій поверхні.

На практиці формулу Гауса – Остроградського можна застосовувати для обчислення об'єму тіл, якщо відома поверхня, що обмежує це тіло.

Тієют місце формули:

V = ∫∫xdydz = ∫∫ydxdz = ∫∫zdxdy = ∫∫∫dxdydz

S S S V

Приклад. Знайти формулу обчислення об'єму кулі.

У поперечних перетинах кулі (перетини паралельні площині XOY) виходять

кола.

Рівняння кулі має вигляд: x2 + y2 + z 2 = R2 . Знайти об'єм кулі можна по формулі:

Для вирішення цього ж завдання можна скористатися перетворенням інтеграла до сферичних координат. (Див. Сферическая система координат.) Це значно спростить інтеграцію.

110