Материал: Частина 3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Визначення. Крива rr(t) = ϕ(t)i + ψ(t) j + γ(t)k ( a ≤ t ≤ b ) називається

безперервною кусочно – гладкою, якщо функціїϕ, ψ і γ безперервні на відрізку [а,b] і відрізок [а,b] можна розбити на кінцеве число часткових відрізань так, що на кожному з них функції, ψ і γ мають безперервні похідні, не рівні нулю одночасно.

Якщо визначено не тільки розбиття кривої на часткові відрізки крапками, але порядок цих крапок, то крива називається ориентированнной кривої.

Орієтірованная крива називається замкнутою, якщо значення рівняння кривої в початковій і кінцевій точках співпадають.

r (a) = r (b)

Розглянемо в пространсве XYZ криву АВ, в кожній точці якої визначена довільна функція f (x, y, z) .

Розіб'ємо криву на кінцеве число відрізань і розглянемо твір значення функції в кожній точці розбиття на довжину відповідного відрізання.

f (xi , yi , zi )∆si

Склавши всі отримані таким чином твори, отримаємо так звану

интегральнуюсумму функції f(x, у, z).

n

∑ f (xi , yi , zi )∆si

i=1

Визначення. Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття кривої на часткові відрізки існує межа інтегральних сум, то ця межа називається криволінійним інтегралом від функції f(x, у, z) по довжині дуги АВ або криволінійним інтегралом першого роду.

∫ f (x, y, z)ds

AB

Властивості криволінійного інтеграла першого роду.

1) Значення криволінійного інтеграла по довжині дуги не залежить від напряму кривій АВ.

2)Постійний множник можна виносити за знак криволінійного інтеграла.

3)Криволінійний интерал від суми функцій рівний сумі криволінійних інтегралів від цих функцій.

4)Якщо крива АВ розбита на дуга АС і СВ, то

∫ f (x, y, z)ds = ∫ f (x, y, z)ds + ∫ f (x, y, z)ds

AB AC CB

101

“Курс вищої математики. Частина 3.”

8) Теорема про середній.

Якщо функція f(x, у, z) безперервна на кривій АВ, то на цій кривій існує крапка

(x1, y1, z1) така, що

∫ f (x, y, z)ds = f (x1 , y1 , z1 ) S

AB

Для обчислення криволінійного інтеграла по довжині дуги треба визначити його зв'язок із звичайним певним інтегралом.

Хай крива АВ задана параметрично рівняннями x = x(t), у = у(t), z = z(t)

α ≤ t≤β, де функції х, у, z – функції параметра t, що безперервно диференціюються, причому крапці А відповідає t =α, а крапці У відповідає t = β. Функція f(x, у, z) – безперервна на всій кривій АВ.

Для будь-якої точки М(х, у, z) кривої довжина дуги АМ обчислюється за формулою (Див. Вычисление длины дуги кривой.):

Довжина всієї кривої АВ рівна:

β

S = ∫ x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt

α

Криволінійний інтеграл по довжині дуги АВ знаходитиметься по формулі:

β

∫ f (x, y, z)ds = ∫ f (x(t), y(t), z(t)) x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt

AB α

Таким чином, для обчислення криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги АВ) треба, використовуючи параметричне рівняння кривої виразити подынтегральную функцію через параметр t, замінити ds диференціалом дуги залежно від параметра t і проінтегрувати отриманий вираз по t.

Приклад. Обчислити інтеграл ∫(x2 + y 2 + z 2 )ds по одному витку гвинтової лінії

=2 2π 1+ 4π2 .

3

102

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Якщо інтеграція проводиться по довжині плоскої кривої, заданої рівнянням y = ϕ(x), a ≤ x ≤ b, те отримуємо:

Криволінійні інтеграли другого роду.

Хай АВ – безперервна крива в просторі XYZ (або на площині Хоy), а точка P(x, у, z) – довільна функція, визначена на цій кривій. Розіб'ємо криву крапками M (xi , yi , zi ) на кінцеве число часткових дуг. І розглянемо суму творів значень функції

в кожній крапці на довжину відповідної часткової дуги.

n

∑P(α,β, γ)∆xi ; M (α,β, γ) ∆xi

i=1

Визначення. Якщо при прагненні до нуля кроку розбиття кривої АВ інтегральні суми мають кінцеву межу, то ця межа називається криволінійним інтегралом по

змінній х від функції P(x, у, z) по кривій АВ в напрямі від А до В.

Криволінійний інтеграл другого роду, тобто інтеграл по координатах відрізняється від криволінійного інтеграла першого роду, тобто по довжині дуги тим, що значення функції при складанні інтегральної суми умножається не на довжину часткової дуги, а на її проекцію на соответствующюю вісь. (У розглянутому вище випадку – на вісь ОХ).

Взагалі кажучи, криволінійні інтеграли можуть вважатися також і по змінним у і z.

103

5) Криволінійний інтеграл по замкнутій кривій L не залежить від вибору початкової точки, а залежить тільки від напряму обходу кривій.

∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

L

Напрям обходу контура L задається додатково. Якщо L – замкнута крива без точок самопересечения, то напрям обходу контура проти годинникової стрілки називається позитивним.

6) Якщо АВ – крива, лежача в площині, перпендикулярній осі ОХ, то

∫P(x, y, z)dx = 0.

AB

Аналогічні співвідношення справедливі при інтеграції по змінним у і z.

Теорема. Якщо крива АВ – кусочногладка, а функції P(x, у, z), Q(x, у, z) і R(x, у, z) – безперервні на кривій АВ, то криволінійні інтеграли

∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

AB

існують.

Обчислення криволінійних інтегралів другого роду проводиться шляхом перетворення їх до певних інтегралів по формулах:

У випадку, якщо АВ – плоска крива, задана рівнянням у = f(x), то

104

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Приклад. Обчислити криволінійний інтеграл ∫x2 ydx + x3dy . L – контур,

L

обмежений параболами y2 = x; x2 = y . Напрям обходу контура позитивний.

Формула Остроградського – Гріна.

(Остроградський Михайло Васильович (1861-1862) – російський математик академік Петерб. А.Н.)

(Джордж Грін (1793 – 1841) – англійський математик)

Іноді цю формулу називають формулою Гріна, проте, Дж. Грін запропонував в 1828 році тільки окремий випадок формули.

Формула Остроградського – Гріна встановлює зв'язок між криволінійним інтегралом і подвійним інтегралом, тобто дає вираз інтеграла по замкнутому контуру через подвійний інтеграл по області, обмеженій цим контуром.

Вважатимемо, що дана область односвязная, тобто в ній немає виключених ділянок.

у

у= y2(x) D

A

C

B

y= y1(x)

105