Материал: Частина 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Визначення. Вираз ∫t f1 (τ) f2 (t − τ)dτ називається сверткой функцій f1(t) і f2(t) і

позначається f1 f2.

Теорема. (теорема згортки) Перетворення Лапласа від згортки рівно твору перетворень Лапласа від функцій f1(t) і f2(t).

•	t
•	∫0	(τ) f2
F1 ( p)F2 ( p) =	f1	(τ) f2	(t − τ)dτ

Теорема. (Інтеграл Дюамеля (Дюамель (1797 – 1872) – французький математик)). Якщо, то вірна рівність

	•	t
	•	′
	pF( p)G( p) =•	′
	pF( p)G( p) =•	f (t)g(0) + ∫ f (τ)g (t − τ)dτ
		0

Для знаходження зображень різних функцій разом з безпосередньою інтеграцією застосовуються приведені выще теореми і властивості.

Приклад. Знайти зображення функції sint t .

З таблиці зображень отримуємо: sin t =•• p21+1 .

По властивості інтеграції зображення отримуємо:

f (t)

=•• ∞∫F(q)dq

sin t •

∞

=•

∫

dq = arctgq

− arctgp;

Приклад. Знайти зображення функції sin 2 t .

З тригонометрії відома формула sin 2 t =

1 − cos 2t

Тоді

sin 2 t =•

L[1 − cos 2t] =

L[1] −

L[cos 2t] =

−

p2 + 4 − p2

2 p

2( p2 + 4)

2 p( p2 + 4)

p( p2 + 4)

• 2

Операційне числення використовується як для знаходження значень інтегралів, так і для вирішення диференціальних рівнянь.

Хай дано лінійне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами. an x(n) (t) +... + a1 x′(t) + a0 x(t) = f (t)

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Потрібно знайти вирішення цього диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам:

x(0) = x0 ; x′(0) = x0′; ... x(n−1) (0) = x0(n−1) .

Якщо функція x(t) є вирішенням цього диференціального рівняння, то воно обертає початкове рівняння в тотожність, означає функція, що стоїть в лівій частині рівняння і функція f(t) має (по теоремі єдиності) одне і те ж зображення Лапласа.

L ∑ak

= L[ f (t)]

k =0

′

З теореми про диференціювання оригіналу { pF( p) − f (0) = f

(t) } можна зробити

вивід, що L

= pk L[x] − pk −1 x(0) −...

− px(k −2) (0) − x(k −1) (0).

d n x

Тоді an L

+... + a0 L[x] = L[ f ].

dt n

Позначимо L[x] = x( p), L[ f ] = F ( p).

Отримуємо:

+ an−1[ pn−2 x0 + p n−3 x0′ +... + x0(n−2) ] +.... + a2 [ px0

+ x0′] + a1 x0 + F ( p).

Це рівняння називається допоміжним (що зображає) або операторним рівнянням.

Звідси отримуємо зображенняx( p) , а по ньому і шукану функцію x(t).

Зображення отримуємо у вигляді

x( p) =

F( p)

Ψn−1 ( p)

Rn ( p)

Де R

( p) = a

p n

+ a

n−1

p n−1 +... + a p + a

;

Ψn−1 ( p) = a1 x0

+ a2 ( px0 + x0′) + a3 ( p2 x0

+ px0′ + x0′′) +... + an ( pn−1 x0 + pn−2 x0

′ +... + px0(n−2) + x0(n−1) )

Цей многочлен залежить від початкових умов. Якщо ці умови нульові, то многочлен рівний нулю, і формула приймає вигляд:

x( p) = F( p)

Rn ( p)

Розглянемо застосування цього методу на прикладах.

Приклад. Вирішити рівняння y	′′	+ 4 y = 2;	′	= 0.
			y(0) = y (0)

Зображення шуканої функції шукатимемо у вигляді:

y = F( p) Rn ( p)

F ( p) = L[ f ] = L[2] = 2p ; Rn ( p) =1 p 2 +0 p + 4 = p 2 + 4.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

y =

−

p( p

+ 4)

Знаходимо оригінал, тобто шукану функцію:

y =•

y =

(1− cos 2x)

•

Приклад. Вирішити рівняння y′− 2y = 0;

y(0) =1.

F( p) = L[ f ] = L[0] = 0;

Rn ( p) = p − 2;

Ψn−1

= a1 y0

=1;

y =

;

p − 2

y =• y = e2 x ;

•

Приклад. Вирішити рівняння:

′′′

− 6 y

′′

+11y

′

− 6 y = 0;

y(0) = 0;

′

=1;

′′

= 0;

y (0)

F ( p) = L[ f ] = L[0] = 0;

Rn ( p) = p3

− 6 p 2 +11p − 6;

Ψn−1 ( p) = a1 y0 + a2 ( py0 + y0′) + a3 ( p2 y0 + py0′ + y0′′) = −6 + p.

Зображення шуканої функції

y =

− 6 + p

p3 − 6 p2

+11p − 6

Для знаходження оригіналу необхідно розкласти отриманий дріб на елементарні дроби. Скористаємося діленням многочленів (знаменник ділиться без залишку на p – 1):

			p3 – 6p2 + 11p – 6		p - 1
p3 – p2	p2	–	5p + 6

-5p2 + 11p -5p2 + 5p

6p - 6

У свою чергу p2 −5 p + 6 = ( p − 2)( p −3)

Отримуємо:		p3 − 6 p2 +11p −6 = ( p −1)( p − 2)( p −3).
Тоді: y =		− 6 + p	=	A	+	B	+	C	;
	p3	−6 p2 +11p − 6		p −1		p − 2		p −3

Визначимо коефіцієнти А, В і С.

A( p − 2)( p −3) + B( p −1)( p −3) + C( p −1)( p − 2) = −6 + p Ap2 −5Ap + 6A + Bp2 − 4Bp +3B +Cp2 −3Cp + 2C = −6 + p p2 (A + B + C) − p(5A + 4B + 3C) + 6A + 3B + 2C = −6 + p

“Курс вищої математики. Частина 3.”

A + B +C = 0

C = −A − B

= −1

+ B

= −1

5A + 4B +3C

B = −1− 2A

= −6

+ B

= −6

6A +3B + 2C

2A −1

11−6 p

−

Тоді

y =

;

−6 p2 +11p −6

p −1

p − 2

p −3

y =•

y = −

+ 4e2 x −

e3x ;

•

A = − 52

B = 4

3C = − 2

Прийоми операційного числення можна також використовувати для вирішення систем диференціальних рівнянь.

Приклад. Вирішити систему рівнянь:

x′ = 3x + 4y

; x(0) = y(0) =1

y′ = 4x −3y

Позначимо x( p), y( p) - зображення шуканих функцій і вирішимо допоміжні рівняння:

L[x′] = 3L[x] + 4L[ y]

px( p) − x(0) = 3x( p) + 4y( p)

′

;

− y(0) = 4x( p) −3y( p)

L[ y ]

= 4L[x] −3L[ y]

py( p)

Вирішимо отриману систему рівнянь алгебри.

p +1

4y( p) +1

x( p) =

y( p)

p −3

− 25

;

4y( p) +1

py( p) −1 = 4

−3y( p)

x( p) =

p2 + 4 p − 21

p −3

( p

− 25)( p −3)

x( p) =

( p + 7)( p −3)

p + 7

;

( p2 − 25)( p −3)

− 25

x( p) =•

x(t) = ch5t +

sh5t;

•

y( p) =

;

− 25

2 − 25

y( p) =•

y(t) = ch5t +

sh5t;

•

Якщо застосувати до отриманих результатів формули

при x(0)= у(0)= 1

“Курс вищої математики. Частина 3.”

chz =

+ e−z

;

shz =

ez −e−z

;

то відповідь можна представити у вигляді:

−5t

x =

−

;

−5t

y =

Як видно, гіперболічні функції відповідають можуть бути легко замінені на показових.

Приклад. Вирішити систему рівнянь

x′ = 5x + 2yy′ = 2x + 2y

Складемо систему допоміжних рівнянь:
L[x′] = 5L[x] + 2L[ y]		;	px( p) − x(0) = 5x( p) + 2y( p)		;
	′
L[ y ] = 2L[x] + 2L[ y]			py( p) − y(0)	= 2x( p) + 2y( p)

	2y( p) +1
x( p) =
x( p) =		p −5
		p −5	;
		4y( p) + 2	;
py( p) =		4y( p) + 2	+ 2y( p) +1
py( p) =			+ 2y( p) +1
		p −5
		p −5

y( p)

x( p)

=	p −3
	( p −1)( p −6)	;

=	p
	( p −1)( p − 6)

y( p) =

2 1

3 1

=•

et +

e6t ;

p −1

p −6

5 p −1

5 p −6

•

x( p) =

= −

6 1

=• −

et +

e6t ;

p −1

p − 6

5 p −1

5 p −

•

Якщо

позначити C = −

;

те

отриманого приватного вирішення

системи можна записати і загальне рішення:

	t				6t
x = C1e	t	+		2C2e	6t
x = C1e		+		2C2e
			t			6t
				+ C2e
y = −2C1e				+ C2e

При розгляді нормальних систем диференціальних рівнянь цей приклад був вирішений традиційним способом (Див. Другой способ решения.). Як видно, результати співпадають.

Відзначимо, що операторний спосіб вирішення систем диференціальних рівнянь застосовний до систем порядку вище першого, що дуже важливе, оскільки в цьому випадку застосування інших способів украй скрутно.

Криволінійні інтеграли.

100

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных