Материал: Частина 3

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

“Курс вищої математики. Частина 3.”

un+1

xn+1

lim

= lim

n +1

= lim

n +1

n→∞

Отримуємо, що цей ряд сходиться при

<1і розходиться при

>1.

Тепер визначимо збіжність в граничних крапках 1 і –1.

При х = 1:

−1 +

−

−...

ряд сходиться

за

ознакою

Лейбніца (див. Признак

Лейбница.).

При х = -1: 1+

+...

+... ряд розходиться (гармонійний ряд).

Теореми Абеля.

(Нільс Хенрік Абель (1802 – 1829) – норвезький математик)

∞

Теорема.

Якщо

статечною

ряд

a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn +... = ∑an xn

n=0

сходиться при x = x1, то він сходиться і притому абсолютно для всіх

Доказ. По умові теореми, оскільки члени ряду обмежені, то

≤ k,

n 1

де k- деяке постійне число. Справедливо наступна нерівність:

≤ k

n 1

З цієї нерівності видно,

що при x<x1 чисельні величини членів нашого ряду

будуть менше ( в усякому разі не більше ) відповідних членів ряду правої частини записаної вище нерівності, які утворюють геометричну прогресію. Знаменник цієї

прогресії

по умові теореми менше одиниці, отже,

ця

прогресія є

рядом, що

сходиться.

Тому на підставі ознаки порівняння робимо вивід, що ряд ∑

an xn

сходиться, а

значить ряд ∑an xn сходиться абсолютно.

Таким

чином, якщо статечною ряд ∑an xn сходиться в точці

х1, то він

абсолютно сходиться в будь-якій точці інтервалу довжини 2

х1

з центром в точці х = 0.

Слідство. Якщо при х = х1 ряд розходиться, то він розходиться для всіх x > x1 .

Таким чином, для кожного статечного ряду існує таке позитивне число R, що при всіх х таких, що x < R ряд абсолютно сходиться, а при всіх x > R ряд розходиться.

При цьому число R називається радіусом збіжності. Інтервал (-R, R) називається

інтервалом збіжності.

Відзначимо, що цей інтервал може бути як замкнутим з однієї або двох сторін, так і не замкнутим.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Радіус збіжності може бути знайдений по формулі:

R = lim an−1

n→∞ an

Приклад. Знайти область збіжності ряду

x +

+... +

+...

an−1

Знаходимо радіус збіжності R = lim

= lim

(n −1)!

= lim

∞

n→∞

(n −1)!

n→∞

Отже, даний ряд сходиться прилюбом значенні х. Загальний член цього ряду прагне до нуля.

lim xn = 0.

n→∞ n!

Теорема. Якщо статечною ряд ∑an xn сходиться для позитивного значення х=х1, то він сходиться рівномірно в будь-якому проміжку усередині (− x1 ; x1 ) .

Дії із статечними рядами.

1) Інтеграція статечних рядів.

∞

Якщо деяка функція f(x) визначається статечним поряд: f (x) = ∑an xn , то інтеграл від

n=0

цієї функції можна записати у вигляді ряду:

∞	∞	∞	an
∫ f (x)dx = ∫∑an xn dx = ∑∫an xn dx = ∑			an	xn+1 + C
∫ f (x)dx = ∫∑an xn dx = ∑∫an xn dx = ∑			n +1	xn+1 + C
n=0	n=0	n=0	n +1

2) Диференціювання статечних рядів.

Похідна функції, яка визначається статечним поряд, знаходиться по формулі:

′	d	∞	n	∞	d		n	∞	n−1
f (x) =		∑an x		= ∑		(an x		)= ∑nan x
f (x) =		∑an x		= ∑	dx	(an x		)= ∑nan x
	dx n=0			n=0	dx			n=0

3) Складання, віднімання, множення і ділення статечних рядів.

Складання і віднімання статечних рядів зводиться до відповідних операцій з їх членами:

∞	∞	∞
∑an xn ± ∑bn xn = ∑(an ± bn )xn
n=0	n=0	n=0

Твір двох статечних рядів виражається формулою:

∞	∞	∞
∑an xn ∑bn xn = ∑сn xn
n=0	n=0	n=0

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Коефіцієнти сi знаходяться по формулі:

cn = a0bn + a1bn−1 +... + an−1b1 + anb0

Ділення двох статечних рядів виражається формулою:

	∞
	∑an xn	∞
	∞	= ∑qn x	n
	n=0		n
	∑bn xn	n=0
	n=0
		∞		∞	∞
Для визначення коефіцієнтів qn розглядаємо твір∑qn xn ∑bn xn = ∑an xn , отриманий
		n=0		n=0	n=0

із записаної вище рівності і вирішуємо систему рівнянь:

a0 = q0b0
a		= q b + q b
1		0 1	1 0
		= q0b2 + q1b1 + q2b0
a2
....................................
		= q b	+ q b		+... + q	b
a	n			n−1
		0 n	1			n 0

Розкладання функцій в статечні ряди.

Розкладання функцій в статечній ряд має велике значення для вирішення різних завдань дослідження функцій, диференціювання, інтеграції, вирішення диференціальних рівнянь, обчислення меж, обчислення наближених значень функції.

Можливі різні способи розкладання функції в статечній ряд. Такі способи як розкладання за допомогою рядів Тейлора і Маклорена були розглянуті раніше. (Див. Формула Тейлора. )

Існує також спосіб розкладання в статечній ряд за допомогою ділення алгебри. Це – найпростіший спосіб розкладання, проте, придатний він тільки для розкладання в ряд дробів алгебри.

Приклад. Розкласти в ряд функцію 1 −1 x .

Суть методу ділення алгебри полягає в застосуванні загального правила ділення многочленів:

1			1 - x

1 – x			1 + x + x2 + x3 + .
x

x – x2 x2

x2 – x3

....

Якщо застосувати до тієї ж функції формулу Маклорена

f (x) = f (0) +	f ′(0)	x +	f ′′(0)	x2	+... +	f (n) (0)	xn + Rn (x) ,
	1!		2!			n!

“Курс вищої математики. Частина 3.”

то отримуємо:

′

=1;

(1− x)2 ;

f (x) =

(0)

′′

;

′′

(x) = (1 − x)3

(0) = 2;

′′′

2 3

′′′

= 3!;

;

(x) = (1− x)4

(0)

.............

f (n) (x) =

;

f (n) (0) = n!;

(1 − x)n+1

Разом, отримуємо: f (x) =1+ x + x2 +... + xn +...

Розглянемо спосіб розкладання функції в ряд за допомогою інтеграції.

За допомогою інтеграції можна розкладати в ряд таку функцію, для якої відомо або може бути легко знайдене розкладання в ряд її похідної.

Знаходимо диференціал функції df (x) =				′			і інтегруємо його в межах від 0
				f (x)dx
до х.
∫x df (x) = ∫x		f ′(x)dx;	f (x)		x = ∫x		f ′(x)dx;

0	0			0		0
	f (x) = f (0) + ∫x			f ′(x)dx;
			0
Приклад. Розкласти в ряд функцію			f (x) = ln(1 + x).

Розкладання в ряд цієї функції по формулі Маклорена було розглянуте вище. (Див. Функция y = ln(1 + x).) Тепер вирішимо цю задачу за допомогою інтеграції.

При f (0) = 0, f ′(x) = 1+1 x отримуємо по приведеній вище формулі:

ln(1+ x) = ∫x	1	dx
	1+ x
0

Розкладання в ряд функції 1 +1 x може бути легко знайдене способом ділення алгебри аналогічно розглянутому вище прикладу.

=1− x + x2

− x3 + x4

−... + (−1)n

xn +...

1 + x

∞

∞ x

∞

n+1

Тоді отримуємо: ln(1+ x) = ∫

= ∫∑(−1)n xn = ∑∫(−1)n xn = ∑(−1)n

1+ x

n +1

0 n=0

n=0 0

n=0

Остаточно отримаємо: ln(1+ x) = x −

−

+... + (−1)

xn+1

+...

n +1

Приклад. Розкласти в статечній ряд функцію arctgx . Застосуємо розкладання в ряд за допомогою інтеграції.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

f (x) = arctgx; f (0) = 0; f	′	1	;
		1 + x2
	(x) =

arctgx = ∫x	1		dx
	1+ x	2
0

Підінтегральна функція може бути розкладена в ряд методом ділення алгебри:

	1			1 + x2

	1 + x2			1 – x2 + x4- .

-x2

-x2 – x4

x4 + x6

.....

=1 − x2

+ x4 −... + (−1)n x2n +...

1 + x2

∞

∞ x

∞

2n+1

Тоді arctgx = ∫

dx = ∫

∑(−1)n x2n dx =

∑∫(−1)n x2n dx =

∑(−1)n

1 + x

2n +1

0 n=0

n=0 0

n=0

Остаточно отримуємо:

arctgx = x −

−... + (−1)

n x2n+1

+...

2n +1

Вирішення диференціальних рівнянь з допомогою статечних рядів.

За допомогою статечних рядів можливо інтегрувати диференціальні рівняння. Розглянемо лінійне диференціальне рівняння вигляду:

y(n) + p1 (x) y(n−1) + p2 (x) y(n−2) +... + pn (x) y = f (x)

Якщо всі коефіцієнти і права частина цього рівняння розкладаються в статечні ряди, що сходяться в деякому інтервалі, то існує вирішення цього рівняння в деякій малій околиці нульової крапки, що задовольняє початковим умовам.

Це рішення можна представити статечним поряд: y = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 +...

Для знаходження рішення залишається визначити невідомі постійні ci.

Це завдання вирішується методом порівняння невизначених коефіцієнтів.

Записаний вираз для шуканої функції підставляємо в початкове диференціальне рівняння, виконуючи при цьому всі необхідні дії із статечними рядами (диференціювання, складання, віднімання, множення і ін.)

Потім прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступенях х в лівій і правій частинах рівняння. В результаті з урахуванням початкових умов отримаємо систему рівнянь, з якої послідовно визначаємо коефіцієнти ci.

Відзначимо, що цей метод застосовний і до нелінійних диференціальних рівнянь.

Приклад. Знайти вирішення рівняння y′′− xy = 0 з початковими умовами у(0)=1,

у’(0)=0.

Вирішення рівняння шукатимемо у вигляді y = c0 + c1 x + c2 x2 +...

y′ = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + 4c4 x3 +...

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных