Материал: Частина 3

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

“Курс вищої математики. Частина 3.”

-3

-2

-1

-10

-20

-30

Ряди Фурье для функцій будь-якого періоду.

Ряд Фурье для функції f(x) періоду Т = 2l, що безперервною або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [-l, l] має вигляд:

∞

πn

f (x) =

+ ∑ an

cos

x + bn sin

n=1

a0 =

1 l

f (x)dx;

l −∫l

an =

1 l

f (x) cos

πn xdx,

n =1,2,...

l −∫l

b =

f (x)sin πn xdx,

n =1,2,...

l −∫l

Для парної функції довільного періоду розкладання в ряд Фурье має вигляд:

∞

πn x;

f (x) =

+ ∑an cos

n=1

f (x)dx;

∫0

f (x) cos

πn xdx;

n =1,2,...

∫0

Для непарної функції:

∞

f (x) = ∑bn sin πn x;

n=1

f (x)sin πn xdx;

n =1,2,...

∫0

Ряд Фурье по ортогональній системі функцій.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Визначення. Функції (х) ϕі (х), визначені на відрізку [а, b], називаються ортогональними на цьому відрізку, якщо

∫b ϕ(x)ψ(x)dx = 0

Визначення. Послідовність функцій ϕ1(x), 2(x) ., ϕn(x), безперервних на відрізку [а, b], називається ортогональною системою функцій на цьому відрізку, якщо всі функції попарно ортогональні.

∫b ϕi (x)ϕj (x)dx = 0;	i ≠ j
a

Відзначимо, що ортогональность функцій не має на увазі перпендикулярності графіків цих функцій.

Визначення. Система функцій називається ортогональною і нормованою

(ортонормованою), якщо

b	0,	i ≠ j

∫ϕi (x)ϕj (x)dx =		i = j
a	1,

Визначення. Поряд Фурье по ортогональній системі функцій ϕ1(x), ϕ2(x) .,ϕn(x)

називається ряд вигляду:

∞

∑an ϕn (x)

n=1

коефіцієнти якого визначаються по формулі:

an		∫b	f (x)ϕn (x)dx
	=	a		,
	=			,
			∫b [ϕn (x)]2 dx
			a
∞
де f(x)= ∑an ϕn (x) - сума ряду,	що		рівномірно сходиться на відрізку [а, b], по
n=1

ортогональній системі функцій. f(x) – будь-яка функція, що безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [а, b].

У разі ортонормованої системи функцій коефіцієнти визначаються:

an = ∫ f (x)ϕn (x)dx

Інтеграл Фурье.

Хай функція f(x) на кожному відрізку [-l,l], де l – будь-яке число, кусочно – гладка або кусочно – монотонна, крім того, f(x) – абсолютно інтегрована функція, тобто сходиться невласний інтеграл

∞∫ f (x) dx

−∞

Тоді функція f(x) розкладається в ряд Фурье:

	a	0	∞	πn		πn
f (x) =		0	+ ∑ an cos		x + bn sin		x
f (x) =	2		+ ∑ an cos	l	x + bn sin	l	x
	2		n=1	l		l

							“Курс вищої математики. Частина 3.”
an	=	1 l		f (t) cos	πn tdt,	n = 0,1,2,...

		l −∫l
		l −∫l			l
b	=	1	l	f (t)sin πn tdt,		n =1,2,...
b	=		l	f (t)sin πn tdt,		n =1,2,...
n		l −∫l			l
		l −∫l			l

Якщо підставити коефіцієнти у формулу для f(x), отримаємо:

∞

πn

f (x) =

∫ f (t)dt +

∑

∫ f (t) cos

tdt cos

x + ∫ f (t)sin

−l

n=1

−l

∞

∫ f (t)dt +

∑

∫ f (t) cos πn

(t − x)dt

−l

n=1 −l

Переходячи до межі при l, можна довести, що liml→∞

∫ f (t)dt = 0

−l

∞

πn

f (x) = liml→∞

∑∫ f (t) cos

(t − x)dt

n=1 −l

Позначимо un =

πn

;

∆un

= un+1 −un

= π;

∆un

;

При l→∞ ∆un 0.

πn	tdt sin	πn		=
	tdt sin		x	=
l		l

	1		∞	l
f (x) =	1	liml→∞	∑∆un ∫ f (t) cosun (t − x)dt
f (x) =	π	liml→∞	∑∆un ∫ f (t) cosun (t − x)dt
			n=1	−l

Можна довести, що межа суми, що стоїть в правій частині рівності рівний інтегралу

∞∞

∫du ∫ f (t) cosu(t − x)dt

			0				−∞
	1	∞	∞
Тоді f (x) =	1	∫du ∫ f (t) cosu(t − x)dt - подвійний інтеграл Фурье.
Тоді f (x) =	π	∫du ∫ f (t) cosu(t − x)dt - подвійний інтеграл Фурье.
	π	0	−∞
		0	−∞
Остаточно отримуємо:
				f (x) = ∞∫[a(u) cosux +b(u)sin ux]du
					0
				a(u) =	1		∞∫ f (t) cosutdt
				a(u) =	π		∞∫ f (t) cosutdt
					π		−∞
							−∞
				b(u) =	1	∞∫ f (t)sin utdt
				b(u) =		∞∫ f (t)sin utdt
					π		−∞
							−∞

- представлення функції f(x) інтегралом Фурье.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Подвійний інтеграл Фурье для функції f(x) можна представити в комплексній

формі:

f (x) =	1	∞∫du ∞∫ f (t)eiu( x−t ) dt

	2π −∞ −∞

Перетворення Фурье.

Визначення. Якщо f(x) – будь-яка абсолютно інтегрована на всій числовій осі функція, що безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на кожному відрізку, то функція

F (u) = ∞∫ f (x)e−iux dx

−∞

називається перетворенням Фурье функції f(x).

Функція F(u) називається також спектральною характеристикою функції f(x).

Якщо f(x) – функція, уявна інтегралом Фурье, то можна записати:

			f (x) =	1	∞∫F (u)eiux du
			f (x) =		∞∫F (u)eiux du
				2π −∞
Ця рівність називається зворотним перетворенням Фурье
	2	∞				2	∞
Інтеграли F(u) =	2	∫	f (x) cosuxdx і F(u) =			2	∫ f (x)sin uxdx називаються відповідно
	π	0				π	0
		0					0

косинус - перетворення Фурье і синус – перетворення Фурье.

Косинус – перетворення Фурье буде перетворенням Фурье для парних функцій, синус – перетворення – для непарних.

Перетворення Фурье застосовується у функціональному аналізі, гармонійному аналізі, операційному численні, теорії лінійних систем і ін.

Елементи теорії функцій комплексного змінного.

Визначення. Якщо кожному комплексному числу z з деякої безлічі D по деякому закону поставлено у відповідність певне комплексне число w з безлічі G, то на цій області задана однозначна функція комплексного змінного, що відображає безліч

D на безліч G.

w = f(z)

Безліч D називається областю визначення, безліч G – областю значень

функції.

Комплексну функцію можна записати у вигляді: w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

u(x, y) = Re f (z)

v(x, y) = Im f (z) u, v – дійсні функції від змінних х і у.

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Якщо кожному z D відповідає декілька різних значень w, то функція w=f(z)

називається багатозначною.

Визначення. Функція			w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) має межу в точці z0, рівний
числу А = а + ib, якщо lim			f (z) − A	= 0
числу А = а + ib, якщо lim			f (z) − A	= 0
	z−z0	→0		lim f (z) = A.



				z→z0

Властивості функцій комплексного змінного.

Для функцій комплексного змінних f(z) і g(z) справедливі наступні властивості:

1)	lim[f (z) ± g(z)]= lim f (z) ± lim g(z)
	z→z0				z→z0		z→z0
2)	lim[f (z) g(z)]= lim f (z) lim g(z)
	z→z0				z→z0		z→z0
		f (z)		lim f (z)
3)	lim	f (z)	=	z→z0		;	lim g(z) ≠ 0.
3)	lim	g(z)	=	lim g(z)		;	lim g(z) ≠ 0.
	z→z0	g(z)		lim g(z)			z→z0
				z→z0

Визначення. Функція w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) називається безперервною в точці z0, якщо виконується рівність

zlimz f (z) = f (z0 )

→ 0

Основні трансцендентні функції.

Визначення. Трансцендентними називаються аналітичні функції, які не є алгеброю.

Якщо аргументом показовою або тригонометричних функцій є комплексне число, то визначення цих функцій, що вводиться в елементарній алгебрі втрачає сенс.

Розглянемо розкладання в статечній ряд наступних функцій:

z 2

+... +

z n

+...

z 2n+1

sin z =

−

−... + (−1)n

+...

(2n +1)!

cos z =1−

z 2

z 4

−... + (−1)n

z 2n

+...

(2n)!

Див.

Функції ez, cosz, sinz зв'язані між собою формулою Ейлера (див. Уравнение Эйлера.) Ця формула може бути дуже легко отримана складанням соотвествующих рядів.

e−iz = cos z + i sin z

Також справедлива рівність:

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных