Материал: Частина 3

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Знакозмінні ряди.

Знакопереміжні ряди.

Знакопереміжний ряд можна записати у вигляді:

u1 −u2 + u3 −u4 +... + (−1)n+1 un +...

де un > 0, n =1,2,3,...

Ознака Лейбніца.

Якщо у знакопереміжного ряду u1 −u2 + u3 − u4 +... + (−1)n+1 un +... абсолютні величини ui убувають u1 > u2 > u3 > ... і загальний член прагне до нуля, то ряд сходиться.

Абсолютна і умовна збіжність рядів.

Розглянемо деякий знакозмінний ряд (з членами довільних знаків).

n=1

Теорема. Із збіжності ряду (2) виходить збіжність ряду (1).

Доказ. Ряд (2) є поряд з ненегативними членами. Якщо ряд (2) сходиться, то по критерію Коші для будь-якого >ε0 існує число N, таке, що при n>N і будь-якому цілому p>0 вірне нерівність:

un+1 + un+2 +... + un+ p < ε

По властивості абсолютних величин:

un+1 + un+2 +... + un+ p ≤ un+1 + un+2 +... + un+ p < ε

un+1 + un+2 +... + un+ p < ε

Тобто по критерію Коші із збіжності ряду (2) виходить збіжність ряду (1).

Визначення. Ряд ∑un називається таким, що абсолютно сходиться, якщо сходиться ряд ∑un .

Очевидно, що для знакопостійних рядів поняття збіжності і абсолютної збіжності співпадають.

Визначення. Ряд ∑un називається таким, що умовно сходиться, якщо він сходиться, а ряд ∑un розходиться.

Ознаки Даламбера і Коші для знакозмінних рядів.

Хай ∑un - знакозмінний ряд.

66

“Курс вищої математики. Частина 3.”

Ознака Даламбера. Якщо існує межаlim un+1 = ρ, то при <ρ1 ряд ∑un буде

n→∞ un

таким, що абсолютно сходиться, а при >ρ1 ряд буде таким, що розходиться. При =1 ознака не дає відповіді про збіжність ряду.

що абсолютно сходиться, а при >1 ряд буде таким, що розходиться. При =1 ознака не дає відповіді про збіжність ряду.

Властивості рядів, що абсолютно сходяться.

1) Теорема. Для абсолютної збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб його можна було представити у вигляді різниці двох рядів, що сходяться, з ненегативними членами.

Слідство. Ряд, що умовно сходиться, є різницею двох рядів, що розходяться, з ненегативними прагнучими до нуля членами.

2)У ряду, що сходиться, будь-яке угрупування членів ряду, що не змінює їх порядку, зберігає збіжність і величину ряду.

3)Якщо ряд сходиться абсолютно, то ряд, отриманий з нього будь-якою перестановкою членів, також абсолютно сходиться і має ту ж суму.

Перестановкою членів ряду, що умовно сходиться, можна отримати ряд, що умовно сходиться, має будь-яку наперед задану суму, і ряд, що навіть розходиться.

4) Теорема. При будь-якому угрупуванні членів ряду (при цьому число груп може бути як кінцевим, так і нескінченним і число членів в групі може бути як кінцевим, так і нескінченним), що абсолютно сходиться, виходить ряд, що сходиться, сума якого рівна сумі початкового ряду.

то ряд, складений зі всіх творів вигляду ui vk , i, k =1,2,... узятих в якому завгодно

порядку, також сходиться абсолютно і його сума рівна S - твору сум перемножуваних рядів.

Якщо ж проводити перемножування рядів, що умовно сходяться, то в результаті можна отримати ряд, що розходиться.

Функціональні послідовності.

Визначення. Якщо членами ряду будуть не числа, а функції від х, то ряд називається функціональним.

Дослідження на збіжність функціональних рядів складніше за дослідження числових рядів. Один і той же функціональний ряд може при одних значеннях змінної х сходитися, а при інших – розходитися. Тому питання збіжності функціональних рядів зводиться до визначення тих значень змінною х, при яких ряд сходиться.

67

Функціональні ряди.

68

“Курс вищої математики. Частина 3.”

∞

Визначення. Функціональний ряд ∑un (x) називається таким, що сходиться в

n=1

крапці (х=х0), якщо в цій крапці сходиться послідовність його приватних сум. Межа

n=1

відрізку [а,b], якщо рівномірно сходиться на цьому відрізку послідовність приватних сум цього ряду.

Теорема. (Критерій Коші рівномірної збіжності ряду)

Для рівномірної збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб для будь-якого числа >0 існував такий номер N(ε), що при n>N і будь-якому цілому p>0 нерівність

un+1 (x) + un+2 (x) +... + un+ p (x) < ε

виконувалося б для всіх х на відрізку [а,b].

Теорема. (Ознака рівномірної збіжності Вейерштраса)

(Карл Теодор Вільгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – німецький математик)

Ряд сходиться рівномірно і притому абсолютно на відрізку [а,b], якщо модулі його членів на тому ж відрізку не перевершують відповідних членів числового ряду, що сходиться, з позитивними членами :

M1 + M 2 +... + M n +...

тобто має місце нерівність:

un (x) ≤ M n .

відповідно до ознаки Вейерштраса досліджуваний ряд рівномірно сходиться і притому в будь-якому інтервалі.

69

цьому відрізку досліджуваний ряд сходиться, а на інтервалах (- -1) (1 ) розходиться.

Властивості рядів, що рівномірно сходяться.

1) Теорема про безперервність суми ряду.

∞

Якщо члени ряду ∑un (x) - безперервні на відрізку [а,b] функції і ряд сходиться

n=1

рівномірно, то і його сума S(x) є безперервна функція на відрізку [а,b].

2) Теорема про почленном інтеграцію ряду.

Ряд, що рівномірно сходиться на відрізку [а,b], з безперервними членами можна почленно інтегрувати на цьому відрізку, тобто ряд, складений з інтегралів від його членів по відрізку [а,b], сходиться до інтеграла від суми ряду по цьому відрізку.

n=1

функціями, що мають безперервні похідні, і ряд, складений з цих похідних сходиться на цьому відрізку рівномірно, то і даний ряд сходиться рівномірно і його можна диференціювати почленно.

На основі того, що сума ряду є деякою функцією від змінній х, можна проводити операцію уявлення який – або функції у вигляді ряду (розкладання функції в ряд), що має широке застосування при інтеграції, диференціюванні і інших діях з функціями.

На практиці часто застосовується розкладання функцій в статечній ряд.

Статечні ряди.

Визначення. Статечним поряд називається ряд вигляду

∞

a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn +... = ∑an xn .

n=0

Для дослідження на збіжність статечних рядів зручно використовувати ознаку Даламбера.

Застосовуємо ознаку Даламбера:

70