Материал: book2 (1)
касательные напряжения в сечении имеют только вертикальную составляющую, параллельную плоскости изгиба = ( , ). Эти допу-
щения не являются точными.
В точке , но в продольном сечении, действуют такие же каса-
тельные напряжения в соответствии с законом парности касательных напряжений. Нормальных напряжений в продольном сечении нет, так как давлением между слоями можно пренебречь. Если рассматривать второй торец элемента, то там тоже будут и нормальные и касательные напряжения.
Покажем элемент ещ¼ раз, но по граням покажем равнодействующие сил (рис. 6.7.8). Силы приводятся к равнодействующим так, чтобы главный момент был равен нулю. Верхняя грань бесконечно мала, поэтому равнодействующая равна . Балка находится в равновессии,
поэтому и элемент должен находиться в равновесии, тогда
Рис. 6.7.8. Равнодействующие внутренних сил
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
∑
= − − + + = 0, отсюда = . Далее и
нужно выразить через напряжения.
= · ( )· обращаем внимание, что касательные напряжения
берутся с горизонтальной грани.
Найд¼м нормальную силу , действующую на площади отсеч¼нной части
|
|
|
|
∫ |
, ãäå |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
элементарная сила, |
отс площадь |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
отс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· , тогда = ∫отс |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
||||||
отсеч¼нной части сечения. Но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
è· |
íàéä¼ì |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
отс, ãäå отс = |
|
|
. Продифференцируем выражение для |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
· отс |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь подставим значения и в уравнение равновессия |
||||||||||||||||||||
|
|
|
· |
( ) |
· |
= |
· отс |
, ó÷ò¼ì, ÷òî |
|
|
= , и получим |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= · отс· ( )
формула Журавского для касательных напряжений в поперечном се- чении балки. Такие же напряжения будут действовать и в продольном сечении. В формуле Журавского:
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
поперечная сила в том сечении, в котором определяются каса-
тельные напряжения;отс статический момент части сечения, расположенного выше
или ниже точки, в которой определяется , относительно нейтральной
оси сечения;момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси;
( ) ширина сечения на уровне точки, в которой определяется .
Принято вычислять касательные напряжения по абсолютной вели- чине, то есть в формуле используется абсолютная величина и отс, а направление совпадает с направлением поперечной силы.
Докажем, что при вычислении отс можно брать и верхнюю, и ниж- нюю части сечения (рис. 6.7.9).
Рис. 6.7.9. Статические моменты верхней и нижней частей сечения
= в + н = 0 |
в = − н |
| в |=| н |. |
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Примеры: 1. Касательные напряжения в балке прямоугольного поперечного сечения (рис. 6.7.10).
Рис. 6.7.10. Прямоугольное сечение
Определим величины, входящие в формулу Журавского. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
отс = |
|
( |
|
|
) |
|
1 |
( |
|
+ ) = |
|
( |
2 |
|
2) = |
· 2 |
|
[1 |
|
( |
2 · |
)2 |
], |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
· |
2 |
|
− |
· |
2 · |
|
2 · |
4 − |
|
· |
− |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
· 3 |
, |
|
|
|
( ) = . Подставим эти значения в формулу Жу- |
||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равского, произвед¼м сокращения и учитывая, что · = , получим
= |
· · 2 |
· |
[1 |
− |
( |
2 · |
)2 |
] = |
3 · |
· |
[1 |
− |
( |
2 · |
)2 |
] |
||
8 |
· |
· 2 |
· |
|
|
|
|
2 · |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
формула для касательных напряжений при изгибе в балке прямоугольного поперечного сечения.
Изобразим эпюру касательных напряжений по высоте сечения (рис.
6.7.11). Из полученной формулы видно, что при = ± |
|
= 0. Ýòî |
|
|
|
||
2 |
|
||
можно установить и без формулы, по закону парности касательных напряжений, так как внешние поверхности не нагружены.
Рис. 6.7.11. Распределение касательных напряжений по высоте прямоугольного сечения
Необходимо обратить внимание на то, что касательные напряжения по высоте распределены неравномерно. Наибольшие касательные напряжения действуют в точках на нейтральной оси и равны наиб = 3 ·
2 · .
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть