Материал: book2 (1)
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 6.7.4. Закономерности деформации балки
Линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением называется нейтральной осью или нейтральной линией поперечного се- чения.
3. В сжатой зоне поперечное сечение увеличивает свои размеры, а в растянутой уменьшает. Такое явление мы наблюдали при центральном растяжении и сжатии (эффект Пуассона). Поэтому можно предположить, что при чистом изгибе имеет место линейное напряж¼нное состояние продольные волокна друг на друга не надавливают.
Приступим к составлению дополнительного уравнения (рис. 6.7.5). Изобразим элемент длиной до нагружения и после нагружения.
Здесь любое волокно; расстояние между нейтральным слоем и осью балки; точка центр кривизны изогнутой оси балки;
Закрыть
радиус кривизны нейтрального слоя; угол между сечениями.
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 6.7.5. Составление уравнения совместности деформаций
Вычислим относительное удлинение волокна= = · ; = ( + + ) · ;
− = ( + + ) · − · = ( + ) · ;
= = + .
Далее по закону Гука определим напряжение = ·
= |
|
· ( + ) (4) |
|
Закрыть
это недостающее уравнение, оно выражеет закономерность деформаций, то есть сечение оста¼тся плоским и волокна испытывают линейное напряж¼нное состояние.
Подставим (4) в уравнение (1)
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь |
= 0 статический момент |
|||||||||||||||
|
|
( + ) = 0, но ̸= 0, тогда |
+ = · + = 0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площади сечения относительно |
|
центральной оси, ̸= 0, следовательно |
= 0 и нейтральный слой |
|||||||||||||||
проходит через ось балки. Тогда уравнение (4) примет вид |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4′) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
· . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставим (4′) â (3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· = |
|
· = 0, |
так как оси , главные оси инерции |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
поперечного сечения, то есть условие (3) выполняется. |
||||||||||||||||
Теперь подставим (4′) â (2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
= , íî |
2 = , тогда |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
||||||
это промежуточная, но очень важная формула формула для кривизны изогнутой оси балки. Здесь · ж¼сткость балки при изгибе.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Подставим выражение (5) в (4′) и получим
= |
|
· (6) |
|
формула для нормальных напряжений при чистом изгибе.
Эту формулу можно применять и при поперечном изгибе. Для слу- чая = формула для точна, а для ̸= формула да¼т
погрешность порядка / , где высота сечения, длина балки, сле-
довательно, для длинных балок ошибка мала.
Из формулы (6) видно, что нормальные напряжения по ширине сечения не меняются, они изменяются только по высоте сечения по линейному закону. Изобразим эпюру нормальных напряжений по высоте сечения (рис. 6.7.6).
Рис. 6.7.6. Эпюра нормальных напряжений по высоте сечения
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Следует обратить внимание на то, что вид эпюры нормальных напряжений не зависит от формы поперечного сечения.
6.7.2.Касательные напряжения в балке при изгибе. Формула Журавского
Изобразим балку, испытывающую поперечный изгиб (рис. 6.7.7). Тремя плоскостями вырежем заштрихованный элемент и изобразим его отдельно. Покажем напряжения в точке, лежащей на ребре. Здесь есть и нормальные и касательные напряжения. Направление каса-
тельных напряжений покажем в соответствии с положительной поперечной силой.
Рис. 6.7.7. Напряжения в балке при поперечном изгибе
В элементарной теории изгиба считается, что, во-первых, касательные напряжения по ширине сечения не изменяются и, во-вторых, что
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть