Материал: бархоткин системы автоматического управления

Пример. Построить главный определитель Рауса - Гурвица для системы, которая характеризуется следующим характеристическим уравнением:

a4 × s4 + a3 × s3 + a2 × s2 + a1 × s + a0 = 0 .

Воспользовавшись правилом составления главного определителя Рауса - Гурвица, получим:

0 0 0 a0 .

Необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы по данному критерию является положительность всех коэффициентов. Анализ устойчивости САУ следует начинать с этого простого, необходимого, но не достаточного условия устойчивости. При его невыполнении, естественно, отпадает надобность в составлении и проверке остальных неравенств.

Достоинствами критерия Рауса - Гурвица являются:

1)возможность простой аналитической проверки факта устойчивости (особенно для систем первого и второго порядков);

2)удобство использования на ЭВМ.

Рассмотрим методику исследования устойчивости системы по критерию Рауса - Гурвица на примере замкнутой САУ, включающей усилитель и двигатель (рис.4.7).

Рис.4.7. Структурная схема замкнутой САУ

Составим систему уравнений, описывающих поведение САУ, при этом будем учитывать не только коэффициенты передач отдельных устройств, но и их динамику (инерционность):

Из системы трех уравнений (4.8) - (4.10) получим линейное неоднородное

дифференциальное уравнение, связывающее qвых и qвх . Для чего выполним следующие действия.

Из дифференциального уравнения (4.10) найдем:

После дифференцирования (4.11) имеем:

106

Устойчивость определим по свободным колебаниям (4.14), т.е. при qвх = 0 :

ky × kдв = 300 . Применительно к (4.16) имеем:

0,0014 × s3 + 0,207 × s2 + s + 300 = 0 .(4.17)

Воспользуемся критерием Рауса - Гурвица: все коэффициенты уравнения (4.17) положительные. В соответствии с алгебраическим критерием для характеристического

1)громоздкий; условия устойчивости усложняются с ростом порядка характеристического уравнения или, что то же самое, с ростом порядка системы;

2)показывая степень устойчивости системы, не определяет влияние тех или иных параметров и структуры системы на ее устойчивость.

Эти недостатки привели к поискам других критериев, более удобных в инженерной практике.

В частности, в 1914 г. П. Льенар и Р. Шипар на основе критерия Рауса - Гурвица разработали критерий, содержащий примерно вдвое меньше проверок и состоящий в следующем: чтобы корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, а следовательно, система была устойчивой, необходимо и

107

достаточно, чтобы все коэффициенты уравнения были положительными a0 > 0, a1 > 0, …, an > 0 , а также, чтобы все диагональные миноры четного порядка

2 , 4 , 6 , … или все диагональные миноры нечетного порядка 1, 3 , 5 главного определителя Рауса - Гурвица тоже были положительными.

4.3. Критерий устойчивости Михайлова

Частотные критерии позволяют вынести суждение об устойчивости САУ по виду их частотных характеристик. Эти критерии имеют простую интерпретацию и наглядность. Они дают возможность:

∙не только выяснить вопрос об устойчивости систем высокого порядка, но

также определить влияние отдельных звеньев и параметров на устойчивость и качество системы;

∙опираться на экспериментальные данные и переходить непосредственно к синтезу САУ;

∙широко использовать графические построения.

Воснове частотных критериев устойчивости лежит следствие из принципа аргумента, изучаемого в теории функций комплексного переменного.

Рассмотрим алгебраическое уравнение

anλn + an −1λn−1 + ... + a1λ + a0 = 0 ,

где ai - рациональные числа, i = 1, 2 ... n.

Возьмем комплексную плоскость и отображение на ней векторов, соответствующих корням алгебраического уравнения (рис.4.8).

108

Рис.4.8. К пояснению принципа аргумента: а - представление корня уравнения в виде вектора; - разность векторов, являющихся сомножителями для выражения (4.18); в - разность векторов пр l = jw

На комплексной плоскости каждый корень li можно изобразить в виде вектора li , проведенного из начала координат к точке li = ai + jbi . Разность двух векторов

это вектор, проведенный из точки li к точке λ .

Пусть λ = jω . Модуль вектора jw - li обозначим через jw - li , его аргумент

или фазу - через arg jw - li . Соответственно модуль и аргумент вектора D( jω) определяются следующим образом:

D( jω ) = an jω -λ1 × jω - λ2 .. jω - λn ;

arg(D( jω )) = arg( jω - λ1) + arg( jω - λ2 ) + ... + arg( jω - λn ) .

При изменении частоты ω от −∞ до +∞ каждый элементарный вектор jω − λi , скользя вдоль мнимой оси Im (рис.4.9), повернется на угол:

∙+π , если его начало (корень алгебраического уравнения) лежит в левой части комплексной плоскости;

∙−π , если его начало находится в правой части комплексной плоскости.

Рис.4.9. Поворот векторов при изменении частоты ω

Напомним, что за положительное направление принимается вращение вектора против часовой стрелки. Корень li определяет точку на комплексной плоскости,

относительно которой поворачивается вектор jw - li .

109

Предположим, что уравнение D(λ) = 0 имеет l корней в левой части комплексной плоскости и m корней в правой, причем l + m = n .

Тогда при изменении частоты ω от −∞ до +∞ угол поворота вектора D( jω)

будет равен сумме изменений аргументов элементарных векторов и составит величину

D( jω) при изменении частоты ω от −∞ до +∞ равно разности (l − m) корней уравнения

D(λ) = 0 , лежащих соответственно в левой и правой части комплексной плоскости, умноженной на число π .

По углу поворота вектора D( jω) можно судить об устойчивости САУ.

Ниже будут рассмотрены основные частотные критерии устойчивости: критерий Михайлова, амплитудно-фазовый критерий Найквиста и его аналог - логарифмический критерий устойчивости.

Критерий Михайлова сформулирован русским ученым В.А. Михайловым в 1938 г. Критерий устойчивости Михайлова является геометрической интерпретацией

принципа аргумента и позволяет судить об устойчивости системы на основании некоторой кривой.

Рассмотрим полином

M (s) = an sn + an−1sn−1 + ... a1s + a0 ,

образованный из характеристического уравнения замкнутой системы, если исследуется устойчивость замкнутой системы, или образованный из характеристического уравнения разомкнутой системы, если исследуется устойчивость разомкнутой системы.

Заменив оператор s на jω , получим комплексный полином M ( jω), который после выделения мнимой и вещественной частей имеет вид:

M ( jω) = U (ω) + jV (ω) ,

где U (ω) и V (ω) - вещественная и мнимая части.

При фиксированном значении ω комплексное выражение M ( jω) можно представить вектором на комплексной плоскости, который называют вектором Михайлова.

При изменении значения ω в интервале −∞ ≤ ω ≤ +∞ вектор Михайлова будет

поворачиваться относительно начала координат и описывать траекторию на

комплексной плоскости (U , jV ) . Полученный график функции M ( jω) называется кривой Михайлова, или годографом Михайлова. По очертанию кривой Михайлова

можно судить о знаках вещественной части корней многочлена M ( jω) , т.е. об устойчивости САУ.

Критерий Михайлова: для того чтобы система была устойчивой, необходимо и

достаточно, чтобы вектор Михайлова M ( jω) при изменении параметра ω от −∞ до +∞ повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол +πn , где n - степень характеристического многочлена.

Годограф Михайлова достаточно строить для частоты ω , изменяющейся только в диапазоне от 0 до +∞ , так как годограф симметричен относительно вещественной оси. В этом случае (для положительных значений частот) вектор Михайлова

устойчивой системы повернется на угол, в два раза меньший, т.е. равный +nπ / 2 , последовательно проходя n квадратов комплексной плоскости.

110