Материал: бархоткин системы автоматического управления

На рис.4.10 приведены примеры годографов устойчивых систем первого, второго и пятого порядков. Для большей наглядности все годографы имеют одинаковое

значение коэффициента a0 .

Im

n = 2

Re

Рис.4.10. Примеры годографов устойчивых систем первого, второго и

пятого порядков

Если вектор Михайлова повернется на угол, меньший +nπ / 2 , то это значит, что

характеристический полином M (s) имеет корни с положительной вещественной частью, а следовательно, САУ является неустойчивой.

Примеры годографов неустойчивых систем приведены на рис.4.11:

a) при ω = 0 кривая Михайлова начинается на отрицательной оси. Это значит,

что коэффициент a0 < 0 , следовательно, система неустойчивая;

б) количество квадрантов, пройденных кривой Михайлова, не соответствует порядку характеристического уравнения. Кривая Михайлова расположена в одном квадранте, для устойчивой системы пятого порядка она должна обойти пять квадрантов;

в) нарушена последовательность прохождения квадрантов кривой Михайлова. Она должна проходить квадранты в строгой последовательности (первый, второй и т.д.).

Рис.4.11. Примеры годографов неустойчивых систем третьего,

четвертого и пятого порядков

Примеры годографов систем, находящихся на границе устойчивости, показаны на рис.4.12:

a) кривая Михайлова начинается в начале координат. Это значит, что характеристическое уравнение имеет нулевой корень;

111

б) кривая Михайлова проходит через начало координат, следовательно, характеристическое уравнение имеет чисто мнимый корень.

Рис.4.12. Примеры годографов систем, находящихся на

границе устойчивости

Пример 1. Передаточная функция разомкнутой системы по управляющему воздействию имеет вид:

W (s) = k Ts −1 .

Применив критерий Михайлова, оценить устойчивость замкнутой системы. Находим передаточную функцию замкнутой системы:

По знаменателю передаточной функции определяем уравнение кривой Михайлова:

M ( jω) = k −1+ jωT .

Следовательно, U (ω) = k −1 и V (ω) = jωT . Строим годограф Михайлова (рис.4.13).

Рис.4.13. Система неустойчивая - k < 1

Годограф имеет вид прямой. При k < 1 он начинается на отрицательной действительной оси, поэтому условия критерия не выполняются, и замкнутая система

является неустойчивой. При k > 1 годограф размещается в первом квадранте, условия критерия выполняются, и замкнутая система устойчива.

Пример 2. Передаточная функция разомкнутой системы по управляющему воздействию имеет вид:

W (s) = k s(Ts −1) .

Применив критерий Михайлова, оценить устойчивость замкнутой системы. Передаточная функция замкнутой системы:

112

По знаменателю Ф(s) определяем уравнение кривой Михайлова:

M ( jω) = k −Tω2 − jω .

Следовательно, U (ω) = k −Tω2 и V (ω) = −ω. Строим годограф замкнутой системы (рис.4.14).

Годограф проходит сначала четвертый, а потом третий квадрант, что не соответствует условиям критерия Михайлова. Следовательно, система в замкнутом состоянии неустойчива.

Пример 3. Свободное движение системы описывается дифференциальным

уравнением

(a4 p4 + a3 p3 + a2 p2 + a1 p +1+ k)x(t) = 0 ,

где p - оператор дифференцирования; a4 = 0,02; a3 = 0,25; a2 =1; a1 = 5.

Определить значение коэффициента передачи k , соответствующее границе устойчивости.

Записываем характеристическое уравнение:

a4s4 + a3s3 + a2s2 + a1s +1+ k = 0.

После подстановки s = jω

U (ω) =1 + k − a2ω2 + a4ω4 ; V (ω) = a1ω − a3ω3 .

Значение коэффициента передачи, соответствующее границе устойчивости, можно определить, если решить систему уравнений, полученную приравниванием действительной и мнимой частей к нулю:

1 + k − a2ω2 + a4ω4 = 0;

что с учетом значений коэффициентов, заданных по условию задачи, дает k =11.

113

4.4. Следствия из критерия Михайлова

На практике не обязательно строить годограф Михайлова. Для исследования

устойчивости системы достаточно воспользоваться следствиями из критерия Михайлова.

Критерий Михайлова может быть сформулирован в виде правила чередования

(перемежаемости) корней уравнений U (ω) = 0 и V (ω) = 0 , при этом полином Михайлова

M ( jω) = U (ω) + jV (ω) .

Известно, что при изменении частоты ω от 0 до ∞ вектор Михайлова

устойчивой системы должен последовательно проходить квадранты комплексной плоскости. В этом случае он поочередно пересекает мнимую и вещественную оси. В

точках пересечения вещественной оси обращается в нуль мнимая часть функции

Михайлова (V (ω) = 0 ), а в точках пересечения мнимой оси - действительная ее часть

(U (ω) = 0 ).

Пример. Рассмотрим годограф Михайлова для характеристического уравнения пятого порядка (рис.4.15).

Отметим точки пересечения координатных осей ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 .

Вещественную и мнимую части полинома Михайлова можно представить

графически в виде кривых. Изобразим функции U (ω) и V (ω) на одном графике

(рис.4.16).

Годограф поочередно пересекает мнимую и действительную оси, поэтому на

совмещенном графике корни уравнений U (ω) = 0 и V (ω) = 0 чередуются.

Приведем три следствия из критерия Михайлова и проиллюстрируем их на примере рассмотренного годографа Михайлова.

Первое следствие. Суммарное число корней вещественной и мнимой частей

годографа Михайлова должно равняться порядку характеристического уравнения системы.

В нашем примере уравнение U (ω) = 0 имеет два корня: ω2 , ω4 , уравнение

V (ω) = 0 имеет три корня: ω1 , ω3 , ω5 . Суммарное число корней равно порядку характеристического уравнения.

Второе следствие. Корни вещественной и мнимой частей полинома Михайлова должны быть только действительными и чередоваться по оси частот между собой.

Из рис.4.16 видно, что это условие выполняется.

114

Третье следствие. При ω = 0 должно выполняться соотношение: U (0) > 0 . Действительно, для устойчивой системы все коэффициенты характеристического

уравнения, в том числе коэффициент a0, должны быть больше нуля (U (0) = a0 > 0) . Кроме того, первая производная функции V (ω) при ω = 0 должна быть положительной,

т.е. V ' (0) > 0 . Это необходимо, чтобы обеспечить поворот вектора M ( jω) из начальной точки против часовой стрелки при увеличении частоты.

Следствия из критерия Михайлова являются необходимым условием устойчивости. Выполнение одновременно трех следствий дает необходимое и достаточное условие устойчивости. Таким образом, система будет устойчива тогда и только тогда, когда вещественная и мнимая части полинома Михайлова имеют только действительные и чередующиеся на оси частот корни, суммарное число корней равно

порядку характеристического уравнения и при ω = 0 выполняются неравенства U (0) > 0

и V ' (0) > 0 .

Рассмотрим использование следствий из критерия Михайлова для устойчивости системы "усилитель - двигатель" (см. рис.4.7). Характеристическое уравнение (4.16)

после подстановки s = jω имеет вид:

- jw3TyTдв - w2 (Ty + Tдв ) + jw + kykдв = 0.

Выделим действительную и мнимую части:

U (w) = -w2 (Ty + Tдв ) + kykдв;

V (w) = -w3TyTдв + w.

Подставив Ty = 0,007 c ; Tдв = 0,2 c ; ky × kдв = 300 , получим:

U (w) = -0,207w2 + 300; V (w) = -w3 × 0,0014 + w.

Определим корни годографа Михайлова:

∙для вещественной части:

-0,207w2 + 300 = 0 , откуда ω1,2 = ±1449,2 » ±38,1 (отрицательные значения частот отбрасываются);

∙для мнимой части:

Проверим выполнение следствий из критерия Михайлова:

1) суммарное число корней равно порядку характеристического уравнения;

115