Материал: бархоткин системы автоматического управления

Модификация формулировки критерия 2. Если разомкнутая система устойчивая

или нейтрально-устойчивая ( p = 0 ), то замкнутая система будет устойчивой, если

разность между положительными и отрицательными переходами АФХ отрезка

действительной оси (−∞; −1) равна нулю.

Применение критерия устойчивости Найквиста в таких формулировках крайне просто и сводится к выполнению следующей последовательности действий:

1)найти точки пересечения годографом отрезка действительной оси (−∞; −1);

2)в точках пересечения годографом оси (−∞; −1) проставить стрелки, направленные в сторону возрастания частоты ω ;

3)найти разность между числом стрелок, направленных вверх и вниз; сделать вывод об устойчивости системы.

При подсчете числа переходов надо учитывать следующее обстоятельство. Если

W ( jω) при ω = 0 начинается на отрезке действительной оси (−∞; −1) , то считается, что

W ( jω) совершает половину перехода.

Пример. Пусть разомкнутая система неустойчива и p = 2. Для амплитудно- фазовой характеристики, изображенной на рис.4.23, имеем разность положительных и отрицательных переходов: 2 – 1 = 1, поэтому замкнутая система будет устойчивой, так как p / 2 = 2 / 2 = 1.

p = 2 ω = 0

Рис.4.23. К пояснению формулировки критерия устойчивости Найквиста, не требующей вычисления

изменения аргумента

Отметим следующие достоинства критерия устойчивости Найквиста:

1)исследует устойчивость замкнутых динамических систем по частотным характеристикам разомкнутых систем, которые строить значительно проще,

поэтому его целесообразно использовать при исследовании сложных систем;

2)оказывается единственно применимым, когда некоторые или все характеристики отдельных элементов системы заданы экспериментально;

3)удобен при анализе систем, описываемых аналитическими функциями, отличными от дробно-рациональных (например, иррациональными, показательными, трансцендентными и др.), а также при анализе систем с запаздыванием;

4)имеет ясный физический смысл; позволяет наглядно проследить влияние параметров передаточной функции на устойчивость системы;

121

5)дает возможность использовать частотные характеристики разомкнутых систем, полученные при анализе устойчивости, и на других этапах исследования САУ (при анализе качества регулирования, для построения частотных характеристик замкнутых систем).

4.6.Применение критерия устойчивости Найквиста для астатических систем

Астатические системы содержат интегрирующие звенья. Поэтому их

где γ - порядок астатизма системы. Будем полагать, что W0 (s) не имеет полюсов в правой полуплоскости комплексной плоскости s .

При ω → 0 АФХ разомкнутой системы стремится к бесконечности, а ее график претерпевает разрыв, т.е. не образует замкнутый контур.

График АФХ астатической системы с двумя интегрирующими звеньями (ν = 2) показан на рис.4.25.

122

Im

0 ω

Рис.4.25. График АФХ астатической системы второго порядка, имеющий разрыв при ω → 0

Для астатических систем трудно решить вопрос об устойчивости замкнутой

системы, так как неясно, охватывает график ее АФХ критическую точку (−1; j0) или нет. Соответствующие доказательства показывают, что критерий устойчивости

Найквиста для замкнутых астатических систем по отношению к ранее рассмотренным статическим системам не изменяется, но вносятся специфические изменения в вид АФХ.

Во-первых, будем, как и ранее, полагать s = jω , если ω изменяется в пределах 0 < ω < ∞ . Во-вторых, при ω → 0 положим s = ρexp( jϕ) , причем ρ → 0 , а ϕ изменяется в

пределах 0 ≤ ϕ ≤ π / 2 . Геометрически это означает, что на комплексной плоскости

начало координат, в котором аргумент argW ( jω) не имеет определенного значения, обходится по дуге бесконечно малого радиуса (рис.4.26).

Из соотношения (4.32) можно сделать следующий вывод: если точка s на комплексной плоскости корней обходит в положительном направлении (против часовой стрелки) дугу бесконечно малого радиуса, то соответствующая ей точка на

плоскости W (s) двигается в отрицательном направлении по дуге бесконечно большого

радиуса

123

С помощью такого приема удается устранить исходную неопределенность

аргумента argW (s) при s = 0 . Напомним, что нуль является комплексным числом, не имеющим определенного значения аргумента.

Следовательно, чтобы судить об устойчивости САУ, имеющей интегрирующие звенья, необходимо график АФХ разомкнутой системы дополнить следующим

построением. Точку АФХ, уходящую в бесконечность при ω → 0 , соединить с положительной полуосью действительной оси дугой. Эта дуга проводится радиусом бесконечно большого модуля из начала координат по часовой стрелке (в

− π γ

отрицательном направлении). Поворот вектора составляет угол 2 . После указанного

построения критерий устойчивости Найквиста к астатическим системам применяется обычным способом.

Пример использования полученного подхода иллюстрирует рис.4.27 применительно к астатической системе второго порядка. Данная система в замкнутом состоянии является устойчивой, так как график ее АФХ после проведенных

124

Рис.4.28. Графики АЧХ астатических систем второго порядка после дополнительных построений: a - неустойчивой в замкнутом состоянии; б -

устойчивой замкнутом состоянии

Соответствующие примеры систем третьего порядка приведены на рис.4.29.

Рис.4.29. Графики АФХ астатических систем третьего порядка после дополнительных построений: a - неустойчивой в замкнутом состоянии; б -

устойчивой замкнутом состоянии

При определении устойчивости замкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии и содержащей интегрирующие звенья, критерий устойчивости Найквиста после дополнительных построений применяется обычным способом.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы график

АФХ разомкнутой системы после проведенных дополнений охватывал в

положительном направлении точку (−1; 0) l / 2 раз, где l - число корней ее характеристического уравнения, лежащих в правой полуплоскости комплексной плоскости.

4.7. Логарифмический критерий устойчивости

Для определения устойчивости САУ по критерию Найквиста можно строить ЛЧХ, а не АФХ, что значительно упрощает применение критерия. Кроме того,

построенные ЛЧХ могут быть использованы в дальнейшем при исследовании качества САУ и синтезе корректирующих устройств. При использовании ЛЧХ об устойчивости

125