Материал: бархоткин системы автоматического управления

замкнутой САУ судят по совместному поведению ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.

Ранее было показано, что устойчивость замкнутой системы связана с числом переходов АФХ разомкнутой системы через отрезок (−∞; −1). Рассмотрим, как,

используя ЛЧХ разомкнутой системы, определить число пересечений отрезка (−∞; −1) АФХ разомкнутой системы.

В том случае, когда АФХ пересекает отрицательную вещественную ось, ЛФЧХ пересекает одну из линий: ±π ; ±3π ; ±5π , … . Так как фазовая характеристика системы определяется с точностью до периода 2π , то чтобы сделать ее однозначной, условимся рассматривать значения фазы в интервале (–2π; 0).

Тогда пересечению АФХ разомкнутой системы отрезка сверху вниз (положительный переход) будет соответствовать пересечение уровня −π снизу вверх при положительной логарифмической амплитудной характеристике. Следовательно, пересечение ЛФЧХ уровня −π снизу вверх при положительной ЛАЧХ следует считать за положительный переход, а пересечение уровня −π сверху вниз при положительной ЛАЧХ - за отрицательный. Соответствие между переходами уровня −π на АФХ и ЛФЧХ поясняется рис.4.30 и 4.31, где стрелками обозначены направления переходов и их знаки.

Lm(ω)

Рис.4.31. Графики ЛЧХ неустойчивой разомкнутой системы (p = 2),

устойчивой в замкнутом состоянии

126

Формулировка логарифмического критерия. Для того чтобы система,

неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая p полюсов в правой полуплоскости комплексной плоскости s , была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы на тех частотах, где ЛАЧХ положительна, ЛФЧХ пересекала

положительных и отрицательных переходов.

Пример. Определить устойчивость замкнутой системы, которая в разомкнутом состоянии неустойчива (количество правых корней p = 2). АФХ системы приведена на рис.4.30. Из рассмотрения АФХ видно, что она один раз охватывает критическую точку в положительном направлении. Следовательно, замкнутая система устойчивая. Тот же

вывод относительно устойчивости замкнутой системы можно получить гораздо проще на основании ЛЧХ (см. рис.4.31) по логарифмическому критерию, подсчитав количество положительных (два) и отрицательных (один) переходов и найдя их разность (один).

Аналогичные соображения справедливы и для замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии. Например, рассмотрим АФХ и ЛЧХ системы, показанные соответственно на рис.4.32 и 4.33.

Рис.4.33. Графики ЛЧХ устойчивой разомкнутой системы,

имеющей по два положительных и отрицательных перехода

127

Количество положительных и отрицательных переходов одинаковое, равное двум, следовательно, замкнутая система устойчивая, однако ЛЧХ анализировать проще.

Из формулировки логарифмического критерия можно сделать следующий важный вывод: для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы на частотах, где

ЛАЧХ положительна ( L m (ω) > 0 ), фазовая частотная характеристика:

∙либо не пересекала линию, соответствующую значению фазы ϕ = −π

(рис.4.34);

∙ либо пересекала линию ϕ = −π четное число раз, т.е. чтобы n+ = n− (рис.4.35).

Lm(ω)

lg ω

Рис.4.34. Графики ЛЧХ разомкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии. На частотах, где ЛАЧХ положительна, ЛФЧХ не пересекает линию –π

Lm(ω)

lg ω

ω

Рис.4.35. Графики ЛЧХ разомкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии. На частотах, где ЛАЧХ положительна, ЛФЧХ пересекает линию –π по два раза в отрицательном и положительном направлениях

Аналогично исследованию устойчивости статических систем устанавливается устойчивость астатических систем. Однако следует помнить об особенностях дополнительного построения на графике АФХ. На рис.4.36 показана АФХ астатической системы, дополненная дугой бесконечно большого радиуса. Эта система является устойчивой в замкнутом состоянии, так как АФХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку.

128

устойчивой. Действительно, уравнения, описывающие поведение системы, лишь приближенно отражают реальную картину ее функционирования. Параметры системы, принятые при расчетах, лишь приблизительно соответствуют действительным параметрам, меняющимся в процессе эксплуатации. Например, происходит изменение номиналов резисторов при изменении температуры окружающей среды, не остаются

постоянными коэффициенты усиления транзисторов при случайных флуктуациях напряжения, имеет место изменение сопротивления полупроводниковых выпрямителей с течением времени и т.д. Если по данным вычислений система близка к границе устойчивости, то на практике ввиду отличия реальных и расчетных параметров система может оказаться неустойчивой. Поскольку такое положение недопустимо, проектируемая система должна обладать некоторым запасом устойчивости,

характеризующим удаленность системы от границы устойчивости и гарантирующим сохранение устойчивости при реальной эксплуатации.

Устойчивость системы можно количественно оценить запасом устойчивости по фазе и амплитуде (усилению). Предположим, что АФХ и ЛЧХ устойчивой системы в разомкнутом состоянии имеют вид, представленный на рис.4.38 и 4.39.

Рис.4.39. К пояснению запасов устойчивости по амплитуде и фазе на ЛЧХ разомкнутой системы (точка б соответствует частоте среза)

Поставим два эксперимента.

130