Материал: бархоткин системы автоматического управления

В дальнейшем будем рассматривать вопросы устойчивости стационарных линейных динамических систем, поведение которых представляется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

Будем полагать, что система является устойчивой, если она, будучи выведенной из состояния равновесия, с течением времени возвратится в исходное состояние. Как применить это определение для выяснения вопроса устойчивости САУ?

Очевидно, что в первую очередь необходимо вывести систему из положения равновесия. Этого можно достигнуть или заданием ненулевых начальных условий, или кратковременным действием возмущающего воздействия. При этом важно подчеркнуть, что речь идет именно о кратковременном действии, так как в

определении устойчивости указывается необходимость прекращения действия возмущения ( z(t) = 0 ).

После того, как система выведена из состояния равновесия, необходимо знать, возвратится ли она в исходное состояние. Иначе говоря, необходимо наблюдать за собственным движением, которое определяется однородным дифференциальным уравнением замкнутой системы:

Система будет устойчивой, если с течением времени (при t → ∞ ) собственное движение, определяемое решением уравнения (4.1), будет затухающим:

Таким образом, устойчивость является асимптотической, так как характер

движения системы к устойчивому положению не имеет значения, а важен предел x(t) при t → ∞ .

Известно, что общее решение данного дифференциального уравнения имеет

Уравнение (4.5) называется характеристическим уравнением, корни которого

si = ai + jbi определяют характер переходного процесса в системе.

Так как характеристическое уравнение имеет n корней, то его общее решение

при отсутствии кратных корней может быть записано в виде

Ai - константы, значения которых определяются начальными условиями;

- корни характеристического уравнения.

Чтобы узнать, устойчива или неустойчива система, нет необходимости решать характеристическое уравнение и находить его корни. Оказывается, по свойствам корней можно определить необходимые и достаточные условия устойчивости системы.

Рассмотрим влияние корней характеристического уравнения (4.5) на устойчивость системы. В общем случае корни характеристического уравнения являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных корней:

101

Каждая такая пара корней дает составляющую переходного процесса, равную

где A1* , ji - новые постоянные интегрирования. Можно доказать, что

Составляющая (4.7) представляет собой синусоиду с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. Исследуем ее поведение при различных

значениях ai . Для первых трех случаев будем полагать, что bi ¹ 0 , т.е. на выходе системы имеет место колебательный процесс.

Первый случай: ai < 0 - колебания с течением времени затухают (рис.4.2); устойчивая система возвращается в состояние покоя.

Третий случай: ai = 0 (корни чисто мнимые) - колебания незатухающие с постоянной амплитудой (рис.4.4); состояние системы нейтральное, причем незначительное изменение параметров может привести систему к неустойчивости.

102

α

Рис.4.6. Комплексная плоскость корней характеристического уравнения с нанесенными корнями:

( s1, s1* ) - комплексно-сопряженные с отрицательной

вещественной частью; ( s2, s2* ) - комплексно-

сопряженные с положительной вещественной частью; ( s3 , s4 ) - положительный и отрицательный

вещественные; ( s5, s5* ) - чисто мнимые

Из рисунка видно, что все корни, лежащие слева от мнимой оси, имеют отрицательные вещественные части. С учетом этой особенности расположения корней условие устойчивости системы можно сформулировать следующим образом: для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости комплексной плоскости s.

Если хотя бы один из корней характеристического уравнения находится в правой полуплоскости, система неустойчивая.

Если хотя бы два корня расположены на мнимой оси, т.е. являются чисто мнимыми, система находится на границе устойчивости. В этом случае незначительными изменениями можно сделать систему или устойчивой, или неустойчивой.

Следовательно, для суждения об устойчивости линейной системы нет

необходимости в определении точных значений корней ее характеристического уравнения, а достаточно знать, что эти корни располагаются левее мнимой оси.

Процессы в реальных САУ описываются, как правило, нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако исследование устойчивости движения нелинейных систем "в малом" часто осуществляется по уравнениям первого приближения. Линеаризация проводится путем отбрасывания членов ряда Тейлора порядка выше первого. Возникает вопрос: как влияют принятые при линеаризации

допущения на достоверность суждений относительно устойчивости исходной нелинейной системы?

А.М. Ляпунов впервые доказал допустимость суждения об устойчивости "в малом" нелинейной системы по устойчивости линейной системы, полученной путем линеаризации исходной системы.

Теорема 1. Нелинейная система устойчива "в малом", если все корни

характеристического уравнения линеаризованной системы имеют отрицательные вещественные части.

104

Теорема 2. Нелинейная система неустойчива "в малом", если хотя бы один

корень характеристического уравнения линеаризованной системы имеет положительную вещественную часть.

В тех случаях, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет нулевые или чисто мнимые корни, а все другие его корни имеют отрицательную действительную часть, судить об устойчивости исходной системы по уравнениям первого приближения нельзя. Неучтенные нелинейности могут по-разному влиять на поведение системы. Для оценки устойчивости исходной системы необходимо учитывать отброшенные при линеаризации члены высшего порядка малости. Этот случай называется критическим.

Определение устойчивости системы по виду корней характеристического уравнения возможно лишь в наиболее простых случаях. Обычно устойчивость системы

определяется косвенными методами с помощью так называемых критериев устойчивости.

4.2. Алгебраический критерий устойчивости Рауса – Гурвица

Алгебраическими называются такие критерии устойчивости, которые позволяют вынести суждение об устойчивости системы путем вычислений, производимых над коэффициентами ее характеристического уравнения. Из алгебраических критериев устойчивости наибольшее распространение получил критерий Рауса - Гурвица. В разной форме он был предложен сначала английским математиком Е. Раусом (Routh), а затем швейцарским математиком А. Гурвицем (Hurwitz) в конце XIX века.

Приведем формулировку критерия Рауса - Гурвица. Для того чтобы динамическая система была устойчива (т.е. чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости s), необходимо и

достаточно, чтобы при an > 0 определитель Рауса - Гурвица и все его диагональные миноры были больше нуля.

Таким образом, критерий Рауса - Гурвица позволяет судить о положении корней характеристического уравнения на комплексной плоскости s, а следовательно, об устойчивости системы, не решая характеристического уравнения.

Правило составления главного определителя Рауса - Гурвица, имеющего n строк

иn столбцов, где n - порядок характеристического уравнения, состоит в следующем: 1) сначала заполняется главная диагональ определителя, начиная с коэффициента an−1

изаканчивая коэффициентом a0 ;

2)затем заполняются остальные места в строках матрицы таким образом:

∙индексы коэффициентов в строке определяются относительно индекса коэффициента, находящегося на главной диагонали. Индексы коэффициентов, стоящих слева от него, последовательно убывают, а стоящих справа, возрастают, причем также используется индекс n;

∙все недостающие коэффициенты, т.е. коэффициенты с индексами, большими n или меньшими нуля, заменяются нулями.

Всоответствии с указанным правилом определитель Рауса - Гурвица имеет следующий вид:

105