Материал: бархоткин системы автоматического управления
Рассмотрение ЛФЧХ показывает, что неустойчивое апериодическое звено создает по абсолютной величине больший сдвиг фаз, чем устойчивое апериодическое звено. Общий вывод заключается в том, что величина
фазового запаздывания для устойчивых звеньев меньше, чем для соответствующих неустойчивых звеньев.
Определим переходную функцию неустойчивого апериодического звена как реакцию на единичную ступенчатую функцию:
|
X (s) = W (s) |
1 |
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
||
X (s) = |
|
k 1 |
= |
kTs |
− |
k |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ts −1 s |
Ts −1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
s |
||||||||
Выполнив обратное преобразование, получим:
x(t) = k[et /T −1] .
Переходная функция неустойчивого апериодического звена представляет собой бесконечно возрастающую функцию. Она приведена на рис.2.61, там же для сравнения даны переходные функции устойчивого апериодического и интегрирующего звеньев.
h(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
t |
|
|||
Рис.2.61. Графики переходных функций неустойчивого апериодического (1), интегрирующего (2) и устойчивого апериодического (3) звеньев
2.12. Методика построения ЛЧХ сложных САУ
Пусть имеется сложная САУ, состоящая из цепочки последовательно соединенных типовых звеньев. Тогда ее передаточная функция:
N Li
W (s) = ∏∏Wik (s) ,
i=1 k =1
где N - количество различных типов звеньев, входящих в состав сложной САУ; Li - количество звеньев i -го типа; Wik (s) - передаточная функция k-го звена i -го типа.
Исследование сложной САУ можно проводить по ее годографу. Однако построение годографов сложных САУ представляет трудоемкую вычислительную процедуру:
N Li
A(ω) = ∏∏ Aik (ω) .
i=1 k =1
Задача исследования САУ значительно упрощается при переходе к логарифмическим характеристикам:
76
N L
20lg A(ω) = 20lgååAik (ω);
i =1 k =1
N Li
ϕ(ω) = ååϕik (ω).
i =1 k =1
В настоящее время имеется ряд математических пакетов, которые могут успешно
использоваться для построения и дальнейшего исследования ЛЧХ сложных динамических систем. Однако в некоторых случаях, например на этапе
предварительного качественного исследования САУ или при проверке адекватности разработанных программных моделей, возникает необходимость использования упрощенных асимптотических ЛЧХ. Кроме того, рассмотрение последних представляет
самостоятельный интерес с точки зрения более глубокого понимания динамики функционирования САУ.
Можно выделить два вида ЛАЧХ типовых звеньев, имеющих вид:
∙одной линии (например, ЛАЧХ безынерционных, интегрирующих и дифференцирующих звеньев);
∙двух сопрягаемых линий (горизонтальной - низкочастотной асимптоты и
наклонной - высокочастотной асимптоты) (например, ЛАЧХ апериодического звена, дифференцирующего звена первого порядка).
Процедуру сложения графиков ЛАЧХ можно упростить, если первым построить график ЛАЧХ безынерционного интегрирующего звена (или интегрирующих звеньев, если их несколько), а затем к нему последовательно пристраивать графики ЛАЧХ остальных звеньев. Причем очередность сложения графиков определяется постоянными времени имеющихся звеньев Ti . Графики упорядочиваются по убыванию
Ti или, что то же самое, по возрастанию сопрягающих частот ωci =1/Ti .
Пример. Разомкнутая система состоит из четырех типовых звеньев, включенных последовательно, а именно, интегрирующего, дифференцирующего звена первого порядка и двух апериодических звеньев. Для простоты изложения примем, что коэффициенты усиления всех звеньев равны единице.
Передаточная функция системы:
|
|
Ta s +1 |
|
W (s) = |
|
. |
|
s(T s +1)(T s +1) |
|||
|
b |
c |
|
Путь Tb > Ta > Tc , тогда имеем ряд сопрягающих частот, которые для удобства дальнейшего использования обозначим следующим образом:
1 |
1 |
|
1 |
|
|||
ωc1 = |
|
; ωc2 = |
|
; |
ωc3 = |
|
, |
T |
T |
T |
|||||
|
b |
|
a |
|
|
c |
|
причем ωc1 < ωc2 < ωc3 .
На рис.2.62 показаны ЛАЧХ четырех звеньев, составляющих систему. Они приведены в порядке возрастания сопрягающих частот. Эти четыре графика легко сложить последовательно в порядке, приведенном на рисунке. Сначала ЛАЧХ интегрирующего звена складывается с ЛАЧХ первого апериодического звена, после
чего к полученному результату добавляется ЛАЧХ дифференцирующего звена первого порядка и, наконец, прибавляется ЛАЧХ второго апериодического звена.
77
LmH(ω)
−20 дБ/дек
lg(ω)
ω
LmH(ω) |
|
|
|
|
lg(ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−20 дБ/дек |
ω |
|
|
|
ωc1 |
|
|
||
LmH(ω) |
|
|
+20 дБ/дек |
lg(ω) |
||
|
|
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
ωc2 |
|||
LmH(ω) |
|
|
lg(ω) |
|||
|
|
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωc3 |
ω |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−20 дБ/дек
LmH(ω)
−40 дБ/дек
|
|
|
|
|
|
lg(ω) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ωc1 |
|
ωc2 |
ωc3 ωc4 ω |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−20 дБ/дек 
−40
дБ/дек
Рис.2.62. Графики ЛАЧХ отдельных звеньев, упорядоченных по возрастанию ωci, и
график результирующей ЛАЧХ
Можно видеть, что до частоты ωc1 ЛАЧХ сложной системы, включающей четыре звена, определяется только ЛАЧХ интегрирующего звена, имеющей наклон –20 дБ/дек (ЛАЧХ всех остальных звеньев до частоты ωc1 имеют нулевые значения).
В диапазоне частот ωc1 − ωc2 следует учитывать ненулевые значения только ЛАЧХ
интегрирующего и апериодического звеньев. Результат их сложения в указанном диапазоне дает прямую линию с наклоном –40 дБ/дек.
В следующем диапазоне ωc2 − ωc3 нужно добавить ЛАЧХ дифференцирующего
звена первого порядка. Для чего необходимо сложить ранее полученный график с ЛАЧХ дифференцирующего звена первого порядка и т.д. В результате получается линия, имеющая наклон –40 дБ/дек + 20 дБ/дек = –20 дБ/дек.
78
Наконец, в интервале ωc3 − ωc4 наклон изменяется на величину –20 дБ/дек из-за
появления высокочастотной асимптоты второго апериодического звена и составляет – 40 дБ/дек.
Разумеется, вид ЛАЧХ сложной системы не зависит от последовательности сложения графиков. Однако добавление (пристраивание) графиков по мере возрастания сопрягающих частот ωi =1/Ti является удобным упрощением операции
построения общей ЛАЧХ сложной САУ и позволяет оценить влияние соответствующих звеньев. На практике ЛАЧХ цепочки звеньев строится сразу без построения ЛАЧХ отдельных звеньев.
Опишем методику построения ЛАЧХ системы, включающей несколько звеньев. 1. Определяются сопрягающие частоты ωi =1/Ti , где Ti - постоянные времени
звеньев.
2. На ось абсцисс наносятся значения сопрягающих частот. Напомним, что для удобства дальнейших исследований целесообразно указывать наряду с lg ω
непосредственно значения ω .
3. Определяется исходная точка ЛАЧХ, относительно которой строится ЛАЧХ системы. Ее координаты: по оси абсцисс ω = 1 (lg(1) = 0) , по оси ординат 20lgk , где k - коэффициент усиления системы.
4.Через найденную точку проводится первая асимптота с наклоном –20(q – r) дБ/дек, где q - число интегрирующих; r - число идеальных дифференцирующих звеньев. Первая асимптота продолжается до наименьшей сопрягающей частоты.
5.После каждой из сопрягающих частот ωi =1/Ti изменяется наклон ЛАЧХ по
сравнению с тем, который она имела до сопрягающей частоты:
∙на –20 или –40 дБ/дек соответственно для апериодического или колебательного
звена;
∙на +20 или +40 дБ/дек соответственно для дифференцирующих звеньев первого
ивторого порядков.
6. При необходимости проводится уточнение ЛАЧХ путем введения поправок в построенные графики, что особенно важно для колебательных звеньев и дифференцирующих звеньев второго порядка вблизи частот ωi =1/Ti .
7. По завершении построения ЛАЧХ системы выполняется проверка. Высокочастотная асимптота ЛАЧХ (участок ЛАЧХ на частотах выше наибольшей из сопрягающих частот) должна иметь наклон
–20(n – m) дБ/дек, где n - порядок полинома знаменателя передаточной функции W(s); m - порядок полинома числителя.
ЛФЧХ сложной САУ может быть построена сложением ЛФЧХ ее отдельных звеньев. Однако, как и для ЛАЧХ, удобнее воспользоваться методом ускоренного построения ЛФЧХ. Суть метода состоит в том, что фазовая характеристика системы
строится путем последовательного прибавления фазовых характеристик менее инерционных звеньев. При этом характеристика каждого последующего типового звена располагается не относительно оси абсцисс, а в полосе, ограниченной с одной стороны значением фазы, к которой стремится суммарная фазовая характеристика ранее построенной совокупности звеньев, а с другой стороны - значением фазы, к которой будет стремиться суммарная фазовая характеристика с учетом прибавляемого звена.
При таком методе существенно облегчается построение суммарной фазовой характеристики, так как она на отдельных участках почти повторяет предыдущую и последующую фазовые характеристики.
Используем этот метод для построения ЛФЧХ системы вышеприведенного примера. Предварительно строим ЛФЧХ интегрирующего звена, для чего проводим горизонтальную линию на уровне −π / 2 рад. Далее в полосе ( −π / 2 ; −π ) строим ЛФЧХ апериодического звена, имеющего сопрягающую частоту ωc1 (график 2 на рис.2.63).
79
ϕ(ω) |
|
|
|
π/2 |
1 |
|
|
|
|
lg(ω) |
|
|
|
|
|
0 |
ωc1 |
ωc2 |
ω |
|
|||
−π/2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
−π |
2 |
3 |
|
|
|
|
Рис.2.63. К пояснению метода ускоренного построения ЛФЧХ сложной системы: 1 - ЛФЧХ дифференцирующего звена первого порядка, построенная относительно уровня 0 рад; 2 - суммарная ЛФЧХ интегрирующего и апериодического звеньев; 3 - ЛФЧХ дифференцирующего звена первого порядка, перенесенная в
полосу (–π/2; –π); 4 - суммарная ЛФЧХ системы после
добавления ЛФЧХ дифференцирующего звена первого порядка
Из графика видно, что на высоких частотах (при ω → ∞ ) интегрирующее и
апериодическое звенья в совокупности дают фазовый сдвиг, равный −π рад, а на низких частотах (при ω → 0 )
интегрирующее и апериодическое звенья в совокупности дают фазовый сдвиг, равный −π / 2 рад; на высоких частотах (при ω → ∞ ) фазовый сдвиг составляет −π рад.
Затем учитываем дифференцирующее звено первого порядка с сопрягающей частотой ωc2 . ЛФЧХ этого звена будет лежать в следующих границах:
∙−π рад (предельное значение ЛФЧХ при ω → ∞ для ранее построенных
звеньев);
∙−π / 2 (предельное значение, к которому стремится ЛФЧХ после добавления дифференцирующего звена первого порядка при ω → ∞ ).
ЛФЧХ системы, включающей интегрирующее, первое апериодическое и дифференцирующее звено первого порядка, дополняем ЛФЧХ второго
апериодического звена: его график строим по аналогии в диапазоне ( −π / 2 ; −π ) рад и складываем с ранее построенной ЛФЧХ.
После построения ЛФЧХ всей системы рекомендуется выполнить проверку. Предельное значение ϕ(ω) цепочки звеньев, получаемое при ω → ∞ , должно равняться
−(π/ 2)(n − m) , где n - порядок полинома знаменателя передаточной функции W (s) ; m - порядок полинома ее числителя.
80