Материал: бархоткин системы автоматического управления

H(ω)

1

2

3

k

Рис.2.50. График АЧХ

колебательного звена при различных значенияx

относительного коэффициента затухания: 1 - ξ = 0,05; 2 - ξ = 0,5; 3 - ξ = 0,7

ФЧХ колебательного звена найдем путем вычитания из ФЧХ усилительного звена ( j1(w) = 0 ) ФЧХ дифференцирующего звена второго порядка. В результате получим следующие формулы:

Колебательное звено вносит отрицательный сдвиг фаз между входным и выходным сигналами в пределах от ϕ = 0 при ω = 0 до ϕ = −π при ω → ∞ . При

w = w0 = 1/T независимо от ξ j(w0 ) = -π / 2. ЛАЧХ колебательного звена:

Lm (w) = 20lgk - 20lg(1-T 2w2 )2 + (2xTw)2 .

При k =1 имеем Lm (w) = -20lg(1-T 2w2 )2 + (2xTw)2 .

Определим низкочастотную и высокочастотную асимптоты ЛАЧХ. При малых значениях ω ( ω → 0 ) имеем:

Следовательно, низкочастотная асимптота ЛАЧХ приближается к оси абсцисс. При больших значениях ω ( ω → ∞ ) имеем:

Lm (w) = -20lg(1 -T 2w2 )2 + (2xTw)2 » -20lg (1 -T 2w2 )2 = = -20lgT 2w2 = -40lgTw.

Поступив по аналогии с определением наклона ЛАЧХ апериодического звена (см. § 2.2), найдем, что наклон высокочастотной асимптоты ЛАЧХ колебательного звена составляет –40 дБ/дек. Точка пересечения низкочастотной и высокочастотной асимптот соответствует частоте wc = 1/T . На этой частоте имеет место максимальное отклонение

асимптотических ЛАЧХ от реальных. Его величина определяется по формуле

66

В интервале частот вблизи ωc =1/T ЛАЧХ колебательного звена

не могут быть заменены прямолинейными асимптотами. Для уточнения асимптотических ЛАЧХ в окрестности частот, близких к частоте ωc =1/T , необходимо

ввести поправки L в зависимости от величины ξ . Поправки для некоторых значений ξ приведены в табл.2.2 и на рис.2.51.

Таблица 2.2

Таблица поправок L к асимптотическим ЛАЧХ колебательного звена

Из графиков поправок видно, что скачок может быть вверх или вниз в зависимости от величины ξ . Поэтому для уточнения асимптотических ЛАЧХ удобно

применять комплект шаблонов, каждый из которых изготовлен для постоянного значения ξ .

ЛФЧХ колебательного звена подобна ее ФЧХ в обычном масштабе, но деформирована по оси частот. На частоте ωc = T1 при ξ = 0 ЛФЧХ получает

скачкообразное изменение фазы от 0 до 180° . Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ показаны на рис.2.52.

67

Этому дифференциальному уравнению соответствует передаточная функция

(2.8):

W (s) = 1 .

T 2s2 + 2xTs + 1

Ранее указывалось, что для колебательного звена должно выполняться соотношение 0 < ξ < 1 . Исследуем поведение звена с передаточной функцией

Колебательное звено преобразуется в цепочку из двух одинаковых апериодических звеньев; переходной процесс в такой системе имеет апериодический характер.

Второй случай: ξ >1. Колебательное звено преобразуется в произведение передаточных функций двух различных апериодических звеньев. Действительно, при ξ >1 корни s1 и s2 (2.9) являются отрицательными действительными числами s1 = -a1 , s2 = -a2 , поэтому

АЧХ и ЛАЧХ этого звена имеют разрыв на сопрягающей частоте wc = T1 .

В реальных системах амплитуда выходных колебаний вблизи сопрягающей частоты сильно возрастает по мере уменьшения коэффициента ξ .

2.9. Дифференцирующее звено второго порядка

Дифференциальное уравнение дифференцирующего звена второго порядка имеет вид:

где k , τ , ξ - соответственно коэффициент передачи, постоянная времени и коэффициент затухания звена.

69

При этом выходная величина x(t) определяется не только входной величиной z(t) ,

но и первой и второй производными от нее. Предполагается, что выражение (2.10) нельзя разложить на два множителя первой степени, т.е. 0 ≤ ξ ≤1. Это условие означает,

что корни характеристического уравнения τ2s2 + 2τs + 1 = 0 являются комплексными числами.

Если ξ >1, то звено, описываемое дифференциальным уравнением (2.10), не

является элементарным. Его можно представить в виде последовательного соединения двух дифференцирующих звеньев первого порядка.

Возьмем преобразование Лапласа от обеих частей дифференциального уравнения (2.10) при нулевых начальных условиях:

X (s) = k(τ2s2Z(s) + 2ξτsZ(s) + Z (s)) .

Передаточная функция дифференцирующего звена второго порядка:

W (s) = X (s) = k(τ2s2 + 2ξτs + 1) .

Z(s)

После замены s = jω получим АФХ:

W ( jω) = k[(1− τ2ω2 ) + j2ξτω].

АФХ дифференцирующего звена второго порядка (рис.2.54) является параболой, которая начинается из точки (k, 0).

Исследуем поведение АЧХ и ФЧХ:

H (ω) = k (1 − τ2ω2 )2 + 4ξ2τ2ω2 .

При изменении частоты ω от 0 до ∞ величина H (ω) изменяется в диапазоне от k до ∞ .

70