Материал: бархоткин системы автоматического управления

Рис.2.42. Графики АЧХ и ФЧХ идеального дифференцирующего звена для w ³ 0

Годограф АФХ расположен на мнимой оси (рис.2.43). Для положительных частот

годограф совпадает с положительной частью мнимой полуоси: lim W ( jw) = ¥ ;

ω→∞

lim W ( jw) = 0 .

ω→0

V(w)

8 ω

0 ω

0 U(w)

Рис.2.43. Годограф идеального

дифференцирующего звена

ЛАЧХ дифференцирующего звена:

Lm (w) = 20lgkω = 20lgk + 20lgω .

Таким образом, ЛАЧХ соответствует прямая линия с наклоном +20 дБ/дек. Определим характерные точки ЛАЧХ. При k = 1 Lm (w) = +20lgω . Точка пересечения

ЛАЧХ с осью частот находится из уравнения Lm (w) = 0 , 20lgω = 0 , откуда ωc =1. Если k ¹ 1 , то из уравнения Lm (w) = 0 следует, что 20lg(kω) = 0 и ωc = 1 / k

(рис.2.44).

Lm(ω), дБ

+20 дБ/дек

20lgk

Рис.2.44. График ЛАЧХ идеального

дифференцирующего звена

61

ЛФЧХ подобна ФЧХ и представляет собой прямую линию, проведенную на уровне

+π / 2.

Идеальное дифференцирующее звено хорошо пропускает высокочастотные сигналы и плохо - низкочастотные, т.е. является фильтром высоких частот.

В реальных условиях на вход дифференцирующего звена одновременно с полезным сигналом поступает помеха, которая, как правило, является высокочастотной. График ЛАЧХ имеет возрастающий характер, поэтому на выходе звена удельный вес помехи больше, чем полезного сигнала, что является недостатком применения этого звена в данной ситуации.

Приведем примеры реализации дифференцирующего звена. Пример 1. RC-цепочка (рис.2.45)

Рис.2.45. RC-цепочка - пример реализации

дифференцирующего звена

Пример 2. В качестве дифференцирующего элемента в САУ наряду с электронными дифференциаторами часто используют тахогенераторы (тахометры) постоянного тока. Они представляют собой малогабаритные электрические генераторы постоянного тока, применяемые для измерения угловой скорости вращения валов различных машин и механизмов (рис.2.46).

α(t) Uтг(t)

Рис.2.46. Тахогенератор - пример реализации

дифференцирующего звена

62

Так как Ω(t) = dadt(t) , то Uтг(t) = = kΩ(t), или Uтг (t) = k dadt(t) .

Взяв преобразование Лапласа от обеих частей последнего равенства при нулевых начальных условиях, получим:

Uтг (s) = ksa(s);

W (s) = Uтг (s) = ks. a(s)

2.8. Колебательное звено

Колебательное звено является частным случаем звена второго порядка,

динамика которого описывается дифференциальным уравнением

a2&x&(t) + a1x&(t) + a0 x(t) = b0 z(t) .

Возьмем преобразование Лапласа от обеих частей дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях:

a2 X (s) × s2 + a1sX (s) + a0 X (s) = b0Z(s); X (s) × (a2s2 + a1s + a0 ) = b0 z(s).

Следовательно, передаточная функция колебательного звена имеет вид:

Во многих случаях (радиоэлектроника, электротехника, механика) бывает удобно

использовать дифференциальное уравнение колебательного звена в несколько ином виде:

T 2 &x&(t) + 2Txx&(t) + x(t) = kz(t) .

Между двумя формами записи дифференциального уравнения существует однозначное соответствие:

демпфирования). В колебательном звене 0 < ξ < 1 ;

k = b0 - коэффициент передачи. a0

Второй форме записи дифференциального уравнения колебательного звена соответствует следующая передаточная функция:

Полюсами W ( jω) или корнями характеристического уравнения

T 2s2 + 2xTs +1 = 0

при 0 < ξ < 1 будут два комплексных числа:

63

Вид функции h(t) показан на рис.2.47.

h(t)

k

Рис.2.47. Переходная функция

колебательного звена

Рассмотрим частотные характеристики колебательного звена. АФХ колебательного звена:

Графики вещественной и мнимой частей АФХ колебательных звеньев с различным соотношением относительных коэффициентов затухания ξ показаны на рис.2.48.

64

Рис.2.48. Вещественная и мнимая части АФХ колебательных звеньев: 1 - звено с относительным коэффициентом затухания ξ1; 2 - звено с относительным коэффициентом затухания ξ2 (ξ1 < ξ2)

На рис.2.49 представлено семейство кривых годографа АФХ колебательных звеньев при различных значениях ξ . Годограф при ω = 0 начинается на вещественной

оси, так как W (0) = k , и с ростом частоты от ω = 0 до ω = ∞ последовательно проходит четвертый и третий квадранты. С уменьшением ξ годограф расширяется ("разбухает").

2

Рис.2.49. Годографы колебательных звеньев при

различных значениях относительного коэффициента затухания ξ: 1 - звено с ξ1; 2 - звено с ξ2 (ξ1 < ξ2)

АЧХ колебательного звена можно получить обычным образом, но проще это сделать, рассматривая его передаточную функцию в виде дроби (см. § 2.1), в числителе которой записана передаточная функция усилительного звена (W1(s) = k ), а

в знаменателе - передаточная функция дифференцирующего звена второго порядка

На частоте ω0 = 1/T при ξ = 0 колебания не затухают (рис.2.50). Колебательное звено, для которого ξ = 0 , называют консервативным звеном.

65