Материал: бархоткин системы автоматического управления

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ϕ(ω)
π/2
π/4
0	ω = 1/τ	ω
	ω = 1/τ	ω

Рис.2.22. График ФЧХ дифференцирующего звена

первого порядка

Найдем низкочастотную и высокочастотную асимптоты:

lim

2 2

= 0

ê20lg 1+ ω T

1) ω→0

;

= 20lgwT.

lim ê -20lg

1+ ω T

2) ω→∞ë

Причем частота среза

w =

наблюдается наибольшая

t . На частоте wc

погрешность аппроксимации, равная 3 дБ.

Характерные особенности ЛФЧХ дифференцирующего звена первого порядка:

lim [arctg(wt)]= 0

lim [arctg(wt)]= π / 2;

1) ω→0

ω→∞

2) на сопрягающей частоте ωc =1 / T

сдвиг по фазе составляет 45°.

Lm(ω), дБ

20lgk, k>1

k = 1

lg ω

20lgk, k<1

ω, Гц

Рис.2.23. Графики ЛАЧХ дифференцирующих звеньев

первого порядка с различными значениями коэффициента усиления k

Из графиков, приведенных на рис.2.23 и 2.24, следует, что после частоты среза

wc дифференцирующее звено первого порядка усиливает входной сигнал. Выходной сигнал на всех частотах опережает по фазе входной сигнал.

ϕ(ω), рад
π/2
π/4
		lg ω
0	ωc	ω, Гц
Рис.2.24. График ЛФЧХ дифференцирующего звена
	первого порядка

Данное звено физически не реализуемо, так как степень полинома числителя

( m = 1) передаточной функции W (s) больше степени полинома ее знаменателя ( n = 0 ).

В качестве дифференцирующего звена первого порядка на практике применяется RC-

цепочка, изображенная на рис.2.25. Определим ее передаточную функцию и выясним условия, при которых она представляет дифференцирующее звено первого порядка.

U (t)

U2(t)

Рис.2.25. RC-цепочка - пример реализации

дифференцирующего звена

первого порядка

Передаточная функция RC-цепочки:

W (s) =

U2 (s)

R2 (R1Cs +1)

U1(s)

R1R2Cs + R1 + R2

R2 +

× sC

R +

R1Cs +1

(R + R )

R1R2

R + R

Введем обозначения:

R1R2C

k =

; T = R C; T =

R1 +

+ R2 или T2 = kT1.

В результате получим:

T1s +1

W (s) = k

T s +1

Звено с данной передаточной функцией называют реальным дифференцирующим звеном первого порядка.

Если T2 <<1, то справедливо соотношение W (s) = k(T1s +1) и реальное

дифференцирующее звено может рассматриваться как дифференцирующее звено первого порядка.

Определим соотношение параметров цепочки для выполнения условия T2 <<1. При фиксированных значениях C и R1 имеем T1 = R1C = const.

Так как T2 = kT1 , то неравенство T2 <<1 справедливо, если k << 1 (	R2	<<1),
	R1 + R2
т.е. при R2 << R1 .

Как известно, переходная функция звена определяется как его реакция на единичную ступенчатую функцию. Переходную функцию h(t) реального

дифференцирующего звена первого порядка найдем на основании обратного преобразования Лапласа:

−1	é1	ù	−1	é	1		T1s +1	ù
h(t) = L	ê	W (s)ú	= L	ê		k		ú.

	ës	û		ës			T2s +1û

Представим последнее выражение в квадратных скобках в виде двух дробей:

1 k	T1s +1	= k	é A	+	B	ù.

			ê s
s T s +1					T s +1ú
	2		ë		2	û

Сопоставив коэффициенты при одинаковых степенях s в равенстве

T1s +1 = A(T2s +1) + Bs , получим:

A =1; B = T1 -T2 .

−1 é

1 T1 -T2

T1 -T2

h(t) = L kês + T s +1

= k(1+

exp(-

))

Таким образом,

2 .

При t = 0 h(t) =1.

Действительно,

h(0) = k(1 + T1 - T2 ) = k

= (

)

R1C

=1.

R +

(R R

C R + R )

При t → ∞ h(t) = k =

. График h(t)

R1 + R2

показан на рис.2.26.

Так как k << 1, то данная RC-цепочка ослабляет входной сигнал, и после нее необходимо включать усилитель.

h(t)

0		t
	τ

Рис.2.26. График переходной функции RC-цепочки

2.5. Безынерционное звено

Безынерционное звено воспроизводит входной сигнал без задержки и изменения формы (возможно только изменение масштаба, т.е. усиление или ослабление входного сигнала). Другими словами, если выходной сигнал пропорционален входному, то звено

является безынерционным. В литературе его называют также пропорциональным или усилительным.

Уравнение безынерционного звена:

a0x(t) = b0z(t).

Введем k = b0/a0 - коэффициент передачи звена, тогда x(t) = kz(t). Преобразуем уравнение по Лапласу при нулевых начальных условиях:

X (s) = kZ(s).

Передаточная функция звена:

W (s) = X (s) = k. Z(s)

АЧХ получим из передаточной функции, заменив s на jω :

W ( jω) = X ( jω) = k. Z( jω)

Следовательно, U (ω) = k и V (ω) = 0 (рис.2.27).

U (ω), V (ω)

U (ω)

V (ω)

Рис.2.27. Графики функций U(ω) и

V(ω) безынерционного звена

Годограф безынерционного звена представляет собой точку на оси абсцисс с абсциссой k, положение которой не изменяется при изменении частоты ω (рис.2.28).

V (ω)

U (ω)

Рис.2.28. Годограф

безынерционного звена

Зная U (ω) = k , V (ω) = 0 , можно определить, что H (ω) = k , ϕ(ω) = 0; соответствующие графики показаны на рис.2.29 и 2.30.

H(ω)

Рис.2.29. График АЧХ

безынерционного звена

ϕ(ω)
π/2
π/2
0			ω
0

−π/2		Рис.2.30. График ФЧХ
−π/2


	безынерционного звена

Постоянные значения АЧХ H (ω) = k и ФЧХ ϕ(ω) = 0 означают, что на всех частотах выходной сигнал всегда находится в фазе со входным, а амплитуда выходного

сигнала k раз отличается от амплитуды входного.

Логарифмические частотные характеристики безынерционного звена определяются выражениями

L m (ω) = 20lgk ,	ϕ(ω) = arctgV (ω)	= arctg	0	= arctg0 = 0.

	U (ω)		k

Графики ЛАЧХ безынерционных звеньев с различными значениями k приведены на рис.2.31. График ЛФЧХ аналогичен графику, представленному на рис.2.30.

Lm(ω), дБ

20lgk, k>1

k = 1

lg ω

ω, Гц

20lgk, k<1

Рис.2.31. Графики ЛАЧХ безынерционных звеньев с различными значениями коэффициента усиления k

Примерами безынерционных звеньев могут служить ненагруженный линейный потенциометр, электронный усилитель в определенном диапазоне частот, механический редуктор (рис.2.32).

Реальные устройства обладают инерционными свойствами: электронный усилитель - запаздыванием, редукторы - люфтом (скручиванием валов), поэтому их можно считать безынерционными устройствами только в том случае, если можно пренебречь указанными факторами.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_Антонян Ю.М., Психология преступника и расследования преступлений