Материал: бархоткин системы автоматического управления

Высокочастотная асимптота апериодического звена представляет собой прямую линию с наклоном –20 дБ/дек.

Определим wc - частоту перегиба ЛАЧХ, называемую сопрягающей частотой.

Для этого найдем точку пересечения двух асимптот: графика Lm (w) = -20lgwT c Lm (w) = 0 . Решив уравнение − 20lg ωT = 0 ,

получим .

ЛАЧХ, составленную из отрезков аппроксимирующих прямых, будем называть асимптотической характеристикой. Для построения асимптотической ЛАЧХ апериодического звена следует:

1)определить сопрягающую частоту wc =1/T и нанести точку, соответствующую этой частоте, на ось абсцисс;

2)по оси частот до wc провести низкочастотную асимптоту;

3)через точку wc провести прямую линию под наклоном

–20 дБ/дек (высокочастотную асимптоту); 4) при необходимости уточнить асимптотическую ЛАЧХ, используя шаблоны

поправок для апериодического звена.

Разность координат точной и асимптотической ЛАЧХ называется погрешностью аппроксимации. Оценим ее величину для апериодического звена. Максимальное

отклонение реальной ЛАЧХ от асимптотической наблюдается в точке wc =1/T . Его величина может быть вычислена следующим образом:

Используя приведенные данные, можно изготовить шаблон поправок (рис.2.15) для уточнения асимптотических ЛАЧХ.

Рис.2.15. Шаблон поправок для асимптотических ЛАЧХ

апериодического звена

Шаблон вырезается из плексигласа (картона) и позиционируется на графике асимптотической ЛАЧХ посредством дополнительных вырезов.

46

С целью сокращения трудозатрат при выполнении графических работ и их упрощения используется один и тот же масштаб как для построения ЛАЧХ апериодического звена, так и для поправок к нему.

Пример 1. Построим ЛАЧХ для двух апериодических звеньев:

a) T1 =10 с; б) T2 = 100 с, причем в обоих случаях k = 1. Графики ЛАЧХ представлены на рис.2.16. Реальная ЛАЧХ получена путем сложения асимптотической ЛАЧХ с графиком поправок, построенным с помощью шаблона.

Рис.2.16. Графики ЛАЧХ апериодических звеньев с различными значениями T (T2 > T1)

При увеличении частоты значение амплитуды выходного сигнала падает тем сильнее, чем больше значение постоянной времени Т, характеризующей инерционность звена.

Пусть на входе апериодического звена действуют помехи, и они не попадают в полосу пропускания, т.е. ωп > ωc = 1/T . Тогда, чем выше частота помехи, тем сильнее

она ослабляется. Причем вредные воздействия на конкретной частоте ωi будут ослабляться сильнее тем звеном, постоянная времени которого больше; в данном

случае звеном с постоянной времени T2 .

Если k ¹ 1 , то ЛАЧХ перемещается параллельно самой себе вверх ( k > 1) или вниз ( k < 1) на величину 20lgk (рис.2.17). При этом говорят, что апериодическое звено

имеет при k = 1 "нулевое" усиление, k >1 - усиление, k <1 - ослабление входного сигнала.

Пример 2. Построим ЛФЧХ апериодического звена (рис.2.18). Характерные особенности ЛФЧХ апериодического звена:

2)на сопрягающей частоте ωc = 1 / T сдвиг по фазе ϕ = –45°, так как ϕ(ωc) = – arctg(ω t) = –arctg1 = –45°;

3)симметрична относительно точки (ωc, –π / 4).

47

Lm(ω), дБ

Рис.2.17. Графики ЛАЧХ апериодических звеньев с различными значениями коэффициента усиления k

Сопоставив рис.2.17 и 2.18 можно утверждать, что для низкочастотных сигналов в первую очередь следует учитывать фазовые искажения, которые проявляются значительно раньше, чем амплитудные.

2.4. Дифференцирующее звено первого порядка

Операцию дифференцирования при помощи технических средств идеально осуществить невозможно, ее выполняют с той или иной степенью приближения, обусловленной инерционностью технических средств.

Дифференцирующее звено первого порядка описывается следующим дифференциальным уравнением:

a0x(t) = b1z′(t) + b0 z(t) .

Определим выходной сигнал:

48

Приведем выражение для выходного сигнала x(t) к стандартной форме. Введем обозначения: k = b0 / a0 - коэффициент передачи; τ = b1 / b0 - постоянная времени звена. В результате получим:

Выходная величина дифференцирующего звена первого порядка имеет две составляющие: первая пропорциональна производной от входной величины; вторая пропорциональна самой входной величине. Благодаря этому дифференцирующее звено первого порядка хорошо передает быстрые изменения входного сигнала. Такое звено часто включают в

автоматическую систему в качестве корректирующего устройства для улучшения процесса регулирования.

Преобразуем по Лапласу обе части дифференциального уравнения (2.7) при нулевых начальных условиях:

X (s) = k(τsZ(s) + Z(s)).

Найдем передаточную функцию дифференцирующего звена первого порядка:

Перейдем к изучению частотных характеристик. АФХ дифференцирующего звена первого порядка имеет вид:

W ( jω) = k(τjω + 1).

Вещественная и мнимая составляющие W ( jω) равны

U (ω) = k ; V (ω) = kτω.

Действительная часть АФХ не зависит от частоты, а мнимая часть зависит от частоты по линейному закону. Их графики для положительных значений частот представлены на рис.2.19.

Построим годограф дифференцирующего звена первого порядка для

положительных частот. Если взять несколько различных значений частоты ωi , то всем им будет соответствовать одно и то же значение k на действительной оси и различные

значения kτωi на мнимой оси. Поэтому годограф представляет вертикальную линию, проходящую через точку с координатами (k, 0) (рис.2.20).

49