Материал: бархоткин системы автоматического управления

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

воспользоваться следующим приемом. Представим W (s) в виде совокупности передаточных функций типовых звеньев:

ÕWi (s)

W (s) =

i=1

ÕWk* (s)

k =1

Перейдем от передаточной функции системы к ее АФХ путем замены s = jω :

ÕWi ( jw)

W ( jw) =

i=1

ÕWk*( jw)

k =1

Представим АФХ сложной системы и ее отдельных звеньев в полярной системе

координат:

× exp[iji (w)]

ÕHi (w)

H (w)exp[ij(w)] =

i =1

× exp[ij*k (w)]

ÕHk* (w)

k =1

Отсюда легко получить формулы для представления АЧХ и ФЧХ сложной

системы через АЧХ и ФЧХ типовых звеньев, ее составляющих:

ÕHi (w)

H (w) =

i=1

;

ÕHk* (w)

(2.3)

k =1

j(w) = åji (w)

- åj*k (w).

i=1

k =1

(2.4)

Пример. Найти АЧХ и ФЧХ системы с передаточной функцией

W (s) =

Ts +1 .

Передаточную функцию данной системы можно представить в виде дроби, в

числителе которой записана передаточная функция усилительного звена W1(s) = k , а в знаменателе - передаточная функция дифференцирующего звена первого порядка

W2 (s) = Ts + 1 . Перейдем от передаточной функции системы к АФХ:

W ( jw) = k . jTw +1

Воспользовавшись общими формулами (2.3) и (2.4) для вычисления АЧХ и ФЧХ системы, соответственно получим:

H (w) =

H1(w) H (w) =

k 2

+ 02

;

1+ w2T 2

(w) ;

(

T )

j(w) = j (w) - j

(w)

j(w) = arctg

- arctg Tw

= -arctgwT.

;

2.2.Апериодическое звено

Вдинамике апериодическое звено описывается следующим дифференциальным уравнением:

a1x(t) + a0x (t) = b0z(t) ,	(2.5)
&

	где a1 ,	a0 , b0 - константы. Покажем, что это дифференциальное уравнение
соответствует передаточной функции апериодического звена, приведенной в § 2.1. Для
этого разделим обе части уравнения на коэффициент a0					и введем обозначения:
T = a1 ; k = b0 .
a0	a0	В результате получим:
			&
			Tx(t) + x(t) = kz(t).		(2.6)
					(2.6)
	Пусть на вход апериодического звена подается входное воздействие, имеющее
форму "ступеньки":
			ì0,	t < 0;
			z(t) = í	t ³ 0.
			î1,	t ³ 0.
	Тогда решение дифференциального уравнения (2.5) имеет следующий вид:
				− t
			x(t) = k(1 - e τ ).
	График функции x(t)		показан на рис.2.3.
		x(t)
		k
		0,632k
		0	T		t
		Рис.2.3. Реакция апериодического звена на единичное
			ступенчатое воздействие

Постоянной времени T можно дать различное толкование:

∙T равна времени, за которое выходная функция достигнет 0,632 от своего установившегося значения;

∙T - это время, за которое выходная функция достигла бы установившегося значения, если бы изменялась с постоянной скоростью, равной скорости процесса в начальный момент времени. Поэтому T определяется отрезком времени, отсекаемым на линии установившегося значения, касательной к

графику x(t) при t = 0.

∙

В общем случае, чем больше постоянная времени T, тем длиннее переходной процесс. Теоретически время переходного процесса (время нарастания экспоненты) равно бесконечности. Практически за длительность переходного процесса tп принимают время от начала процесса до момента, когда выходная величина достигнет 0,95 установившегося значения. В случае экспоненты tп ≈ 3Т.

Преобразуем по Лапласу обе части дифференциального уравнения (2.6) при нулевых начальных условиях:

TsX (s) + X (s) = kZ(s);

W (s) = XZ((ss)) = Tsk+1.

	W (s) =	k
	W (s) =	Ts +1 . Такое
	Вывод: апериодическое звено имеет передаточную функцию	Ts +1 . Такое

звено физически осуществимо, так как степень полинома числителя ( m = 0 ) меньше

степени полинома знаменателя ( n =1).

Апериодическим звеном может быть представлен двигатель постоянного тока после линеаризации его дифференциального уравнения (см. § 1.5). Приведем другие примеры технических устройств, передаточные функции которых являются апериодическими звеньями.

Пример 1. RC-цепочка (рис.2.4):

Uвых (s) =

Uвх (s)

Uвых (s)

W (s) =

R +

Uвх (s)

RCs + 1.

Uвх

Uвых

Рис.2.4. RC-цепочка

Если сравнить полученное выражение с общей формулой передаточной функции апериодического звена, то получим k =1, T = RC .

Пример 2. Гидротехническое устройство (рис.2.5). Изменение давления жидкости в магистрали через поршень изменяет давление в резервуаре.

Магистраль	Резервуар

Поршень

X = P2

Z = P1

Рис.2.5. Пример апериодического звена в гидротехнике

Пример 3. Тело, погруженное в сосуд с жидкостью (рис.2.6). Температура жидкости влияет на температуру тела.

Тело

Z = t2

Сосуд

с жидкостью

X = t2

Рис.2.6. Пример апериодического звена в теплотехнике

Перейдем к рассмотрению основных частотных характеристик апериодического звена. Заменив s на jω, получим АФХ апериодического звена:

W ( jw) =	X ( jw)	=	k
	Z( jw)		jTw +1 .

Выделим вещественную и мнимую части АФХ, для чего предварительно избавимся от мнимой части в знаменателе:

k(1− jωT )

− j

kωT

;

jTω + 1

(1 + jωT )(1 − jωT )

+ ω2T 2

− kωT

U (ω) =

; V (ω)

2 2

1+ ω T

1 + ω

Графики полученных функций показаны на рис.2.7.

k	U(ω)
V(ω) k/2

−1/T 0	1/T	ω
Рис.2.7. Графики функций U(ω) и V(ω)
апериодического звена

Представленные графики отличаются наглядностью, их сложно интерпретировать. Более ясный физический смысл апериодического звена отражают его АЧХ и ФЧХ:

H (ω) =					k
	U 2 (ω) + V 2		(ω); H (ω) =		k	;

				1+ (ωT )2
				1+ (ωT )2
ϕ(ω) = arctg V (ω)		; ϕ(ω) = −arctg(ωT ).
	U (ω)

Построим график функции H (ω) (рис.2.8). Из АЧХ апериодического звена видно, что:

∙ колебания низких частот ω << 1/ T пропускаются хорошо;

∙колебания высоких частот ω >> 1/ T пропускаются с сильным ослаблением амплитуды, причем с увеличением модуля частоты усиление амплитуды падает.

H(ω)

−1/T 0 1/T

Рис.2.8. График АЧХ

апериодического звена

Можно сделать вывод, что апериодическое звено - это фильтр низких частот. Оно хорошо пропускает низкие частоты и плохо - высокие. Коэффициент усиления апериодического звена в динамике всегда меньше статического коэффициента k.

Следует иметь в виду, что каждое динамическое звено характеризуется определенной полосой пропускания частот. Как известно из курса радиоэлектроники, ширина полосы пропускания обратно пропорциональна T. Для апериодического звена

полоса пропускания отсчитывается по уровню 2 и вычисляется по формуле ωп =1T

(см. рис.2.8).

Существует общее правило для звеньев и систем: чем шире на АЧХ полоса пропускания, тем быстрее затухает переходный процесс.

Построим график ФЧХ апериодического звена ϕ = ϕ(ω) = −arctgωT при

−∞ < ω < +∞ (рис.2.9).

ϕ(ω)
	π/2
	π/4
−ωc	ωc	ω
−π/4
−π/2
Рис.2.9. График ФЧХ апериодического
звена при –∞ < ω < +∞

ФЧХ показывает, что апериодическое звено обладает инерционностью, его выходной сигнал отстает по фазе от входного сигнала, причем это отставание возрастает с увеличением частоты ω .

Часто на практике передаточная функция или дифференциальное уравнение звена неизвестны, однако можно экспериментально определить их АЧХ и ФЧХ. Тогда, если последние будут похожи на типовые характеристики апериодического звена, рассмотренные выше, то можно утверждать, что исследуемое звено также является апериодическим. При этом по характерным точкам снятых АЧХ и ФЧХ можно определить коэффициенты k и T (см. рис.2.7 и 2.8) и по ним построить передаточную функцию или записать дифференциальное уравнение звена.

Анализ АЧХ и ФЧХ двух апериодических звеньев с различными постоянными времени (рис.2.10 и 2.11) приводит к следующему выводу: апериодическое звено с

большей постоянной времени (T2 > T1 ) сильнее ослабляет амплитуду входного сигнала, а его ФЧХ асимптотически ближе на высоких частотах к –90°, чем звено с меньшей постоянной времени.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_Антонян Ю.М., Психология преступника и расследования преступлений