Материал: бархоткин системы автоматического управления

41

Окончательно получим: [U (w) - (k / 2)]2 + [V (w)]2 = [k / 2]2 , т.е. АФХ апериодического звена при изменении частоты +∞ > ω > −∞ представляет окружность радиуса k / 2 с центром в точке (k / 2, 0).

При изменении частоты ω от 0 до ∞ (V (ω) < 0 ) годографом является

Годограф для положительных частот может быть дополнен своим зеркальным отражением для отрицательных частот. В результате полная АФХ будет иметь вид окружности (рис.2.12). Вид АФХ апериодического звена не зависит от постоянной времени T.

При k = const и различных значениях T годограф представляет собой одну и ту

же окружность, каждой точке которой (кроме ω = 0 и ω → ∞ ) соответствуют различные значения частот в зависимости от величины времени T. Указанная особенность вызывает сложности при практическом использовании АФХ.

Пусть апериодическое звено имеет параметры k = k1 T = T1 и некоторой точке A его годографа соответствует определенная частота ω1 (рис.2.13). Допустим, что изменился только один параметр системы - постоянная времени (T2 > T1). При этом годограф сохраняет свою форму, так как k = const. Спрашивается, как найти на

годографе новую точку B, которая соответствует прежней частоте ω1.

V(ω)

k/2

U(ω)

A(ω1,T1) B(ω1,T2)

Рис.2.13. K вопросу определения на годографе новой точки В, которая соответствует прежней частоте ω1

42

Нахождение новой точки годографа, соответствующей прежней частоте ω1, затруднено. Требуется провести дополнительные вычисления.

Таким образом, использование АФХ при анализе и синтезе систем во многих случаях вызывает определенные сложности.

2.3. Логарифмические частотные характеристики. Методика построения асимптотических ЛЧХ

на примере апериодического звена

При исследовании САУ амплитудную и фазовую частотные характеристики удобно строить в логарифмических координатах.

Во-первых, в логарифмическом масштабе на бланке определенного размера можно рассмотреть больший диапазон частот, при этом участок малых частот растягивается, а участок больших частот сужается, что позволяет более наглядно изучать частотные свойства САУ.

Во-вторых, АЧХ в обычном масштабе являются кривыми линиями, а

соответствующие логарифмические АЧХ можно приближенно заменить ломаными линиями (асимптотами), в результате упрощается их построение.

В-третьих, упрощается построение логарифмических АЧХ цепочки последовательно соединенных звеньев. АЧХ системы, включающей цепочку звеньев, равно произведению АЧХ составляющих ее звеньев:

равна сумме АЧХ отдельных звеньев.

Логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ) разомкнутой системы называют кривую, соответствующую 20 десятичным логарифмам модуля передаточной функции разомкнутой системы, построенной в логарифмическом масштабе частот.

Величина 20lgH обозначается Lm (ω) или просто Lm . Окончательно в развернутой форме имеем: Lm = Lm (ω) = 20lgW ( jω) = 20lgH (ω).

ЛАЧХ строится в логарифмических координатах в виде зависимости 20lgH от

lg(ω) .

Логарифмической фазово-частотной характеристикой (ЛФЧХ) разомкнутой системы называют фазово-частотную характеристикуϕ(ω) , построенную в логарифмическом масштабе частот, т.е. в виде зависимости ϕ = ϕ[lg(ω)].

ЛФЧХ строится в полулогарифмических координатах, т.е. в виде зависимости ϕ от lg(ω), чтобы обе характеристики (амплитудная и фазовая) были связаны одним масштабом на оси абсцисс. Использование логарифмического масштаба на оси ординат фазовой характеристики не имеет смысла, поскольку фазовый сдвиг цепочки звеньев и так получается в виде суммы фазовых сдвигов отдельных ее звеньев.

43

Рассмотрим координатные оси, в которых изображается ЛАЧХ (рис.2.14). По оси ординат ЛАЧХ откладываются значения логарифма модуля

передаточной функции H (ω) = W ( jω) , выраженные в децибелах.

Бел (Б) - это единица измерения десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала, т.е. 1 Б соответствует усилению мощности в 10 раз, 2 Б - в 100 раз, 3 Б - в 1000 раз и т.д.

Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды, а

lgH 2 = 2lgH , то усиление в белах, выраженное через отношение амплитуд H , равно 2lgH . Соответственно, в децибелах оно равно 20lgH . Таким образом, для измерения

величины 20lgH используется децибел, равный одной десятой бела.

Поясним введенные понятия на примере из электротехники. Усиление или

номинального и реального сигналов. Если усиление или затухание определяется

числом k, то это соответствует 2lgk белам или 20lgk децибелам.

Если отношение двух величин равно единице, то усиление (в дБ) равно нулю, так как lg(1) = 0 . Это означает, что амплитуда выходных колебаний равна амплитуде входных колебаний. В случае, когда отношение двух величин меньше единицы, усиление в логарифмическом масштабе будет отрицательным. Отрицательное усиление

означает ослабление сигнала или уменьшение амплитуды выходных колебаний по сравнению с амплитудой колебаний на входе.

Существуют следующие соотношения между значениями H(ω) и Lm :

Очевидно, что изменение отношения двух величин в 10 раз соответствует изменению усиления (ослабления) на 20 дБ.

Осью частот является ось абсцисс. На оси абсцисс непосредственно указываются значения lgω. Нередко на практике по оси абсцисс откладывают значения lg(ωi / ω0 ) , где ω0 - базовая частота, которую всегда можно принять равной единице.

Иногда за ω0 принимают частоту среза. Шкала оси lg(ωi / ω0 ) является равномерной.

Для удобства использования на практике разметка оси абсцисс также производится и в значениях самой частоты ω (см. рис.2.14).

44

Lm(ω), дБ

Рис.2.14. Разметка осей ЛАЧХ

Заметим, что при использовании логарифмического масштаба точка,

соответствующая ω = 0 , находится слева в бесконечности, так как lg(0) → −∞ . Поэтому логарифмические характеристики строятся не от нулевой частоты, а от любого значения ω , принятого за начальное, которое и откладывается в точке пересечения координатных осей.

Если на оси абсцисс непосредственно указываются значения lgω , то единицей

приращения lgω является декада (дек), соответствующая изменению частоты в 10 раз. Декада - отрезок по оси абсцисс между точками, соответствующими произвольному значению частоты ω и ее удесятеренному значению. Все декады одинаковые.

Разметку по оси абсцисс надо выполнять так, чтобы разместить на графике тот диапазон частот, в котором существенно изменяются частотные свойства системы.

Обычно оба графика (ЛАЧХ и ЛФЧХ) строят в системе координат, на которой ось абсцисс имеет логарифмический масштаб, а оси ординат для 20lgH(ω) и ϕ(ω) - линейный.

Построим ЛАЧХ апериодического звена. Чтобы наглядно представить себе вид этой характеристики, найдем ее асимптоты, т.е. прямые, к которым она стремится при

ω → ∞ и при ω → 0.

Сначала определим логарифм модуля передаточной функции:

Определим наклон высокочастотной асимптоты. Для этого рассмотрим две

частоты w = w1 и w = 10w1 . Для данных частот имеем:

Lm (w1) = -20lg w1T ;

Lm (10w1) = -20lg(10w1T ) = -20lgw1T - 20 ; DLm = Lm (10w1) - Lm (w1) = -20 .

Таким образом, если частота увеличивается в 10 раз, то значение Lm (w) уменьшается на 20 дБ. Следовательно, изменение усиления, приходящееся на одну декаду, будет равно

45