Материал: Teoria_Rysina_1-22

Билет 9

9 — Сложное движение точки. Ускорение Кориолиса.

9.1 — Сложное движение точки

Сложное движение точки — такое движение, при котором точка JM движется в некоторой системе координат JOx1y1z1, а сама система координат движется относительно другой условно неподвижной системы координат

Относительное движение – движение точки JM относительно подвижной системы координат

JOx1y1z1

Переносное движение – движение подвижной системы координат JOx1y1z1 относительно неподвижной JOxyz.

Абсолютное движение точки — движение точки JM относительно неподвижной системы координат JOxyz.

Вектор J задает положение точки относительно подвижной системы координат, вектор JM задает положение точки в неподвижной системе JOxyz.

dρ

Найдем производную Jdt . Разложим по ортам подвижных осей:

Jρ = x1 i 1 + y1 j 1 + z1 k 1. Учитывая, что орты подвижной системы являются функциями времени, получим

координат JOx1y1z1 относительно неподвижной JOxyz.

9.2 — Ускорение Кориолиса

Теорема Кориолиса: «абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма относительного, переносного и кориолисова ускорений.» Доказательство:

1) Закон сложения скоростей: Jv = v относительная + v переносная.

Страница (1 из 2(

6)Изменение скорости точки за счет переносного движения изменение вектора скорости происходит за счет поворота:

7)Изменение скорости точки за счет относительного движения точка переместилась из JA в JA за время J t: Jv пер′!= v пер + [ωпер × (v отн · ∆ t) ,

где J(v отн · ∆ t) — вектор перемещения из JA в JA .

8)Итоговое ускорение Кориолиса: Ja K = [2ωe × v r

9)Закон сложения скорсотей кориолиса: Ja = a r + a e + [2ωe × v r

Страница (2 из 2(

Билет 10

10 — Сферическое движение. Кинематические уравнения Эйлера.

10.1 — Сферическое движение

Сферическое движение — движение твердого тела с одной закрепленной точкой.

Рассмотрим движение по отношению к системе отсчета JOx1y1z1 твердого тела, закрепленного так, что одна его точка JO остается во все время движения неподвижной. Такое движение совершает, например, волчок, у которого неподвижна точка его опоры о плоскость, или любое другое тело, закрепленное

шаровым шарниром. Найдем, какими параметрами определяется положение тела, имеющего неподвижную точку. Для этого свяжем жестко с телом трехгранник JOxyz, по положению которого можно судить о положении тела. Линия JOK, вдоль которой пересекаются плоскости JOxy и JOx1y1, называется линией узлов. Тогда положение по отношению к осям JOx1y1z1 трехгранника JOxyz, а с ним и самого тела можно определить углами Эйлера:

Jφ = KOx ; ψ = x1OK ; θ = z1Oz

Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следующие, взятые из небесной механики наименования, J — угол собственного вращения, J — угол прецессии, Jθ — угол нутации. Положительные

направления отсчета углов показаны на левом рисунке стрелками. Чтобы знать движение тела, надо знать его положение по отношению к осям JOx1y1z1 в любой момент времени, т.е. знать зависимости: Jφ = ƒ1(t) ; ψ = ƒ2(t) ; θ = ƒ3(t) — Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

10.2 — Кинематические уравнения Эйлера

Найдем проекции угловой скорости на подвижные оси координат. примем (без

˙

доказательства), что Jω = ψ + θ + ϕ.

Выполним дополнительное построение. Проведем плоскость, проходящую через оси JOz и JOz1. Линию пересечения этой плоскости и подвижной плоскости

JxOy обозначим J0L. Разложим Jψ˙ на компоненты Jψ sin(φ) и Jψ cos(φ) (правый рисунок)

Страница (1 из 2(

Билет 10

Используя равенство углов со взаимно перпендикулярными сторонами J0L 0K , 0x 0y , заметим, что угол между J0y и J0L равен J . Отсюда,

определения проекции угловой скорости на оси координат при сферическом движении. Уравнения Эйлера на неподвижные оси координат:

ωx′!= φsin(ψ)sin(θ) + θ˙cos(ψ)

ωy′!= − φ˙ cos(ψ)sin(θ) + θ˙sin(ψ). Модуль угловой скорости:

ωz′!= φ˙ cos(θ) + ψ˙

Страница (2 из 2(

Билет 11

11 — Кинематика точки в полярных координатах (скорость и ускорение).

Положение точки можно определять полярными координатами J и J . Тогда закон движения точки в полярных координатах будет задаваться уравнениями:

Jr = ƒ1(t), φ = ƒ2(t).

dS

Скорость точки: Jdt , где JdS геометрически слагается из радиального

перемещения Jdr и поперечного перемещения Jr · dφ , которое перпендикулярно JOM. Следовательно сама скорость геометрически слагается из радиальной и поперечной скоростей:

Найдя вторую производную координат по времени, выражаем ускорение:

, где первая скобка — радиальное ускорение, вторая — поперечное ускорение.

Страница (1 из 1(