Материал: Teoria_Rysina_1-22

Билет 7

Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоское движение, формулу Jv B = v A + v BA , vBA = [ω1 × AB

применяют последовательно для всех точек, переходя от одной точки, принимаемой за полюс, к другой. Схему вычислений в этом случае удобно за-писывать в виде

структурных формул AJ 1 B, где над стрелкой указан

φ1

номер тела или наименование стержня, которому принадлежат точки, а снизу —

угол J между осью J и вектором ABJ . В проекциях на оси J граф AJ 1 B дает

φ1

vBx = vAx − AB · ω1z · sin(φ1)

уравнения: vBy = vAy + AB · ω1z · cos(φ1), где J 1z — проекция угловой

скорости тела на ось J, перпендикулярную плоскости движения. Если вращение происходит против часовой стрелки, то Jω1z = ω1 , а если по часовой стрелке, то

Jω1z = − ω1 . В качестве вершин графа удобно брать точки механизма с

заданными или искомыми скоростями. При этом скорость может быть задана частично, например только по направлению. Если в задаче имеется тело (обычно диск или цилиндр), катящееся без проскальзывания по какой-либо поверхности, то точка касания тела может быть вершиной графа, так как скорость ее равна нулю.

Для многозвенного механизма можно образовать цепочку

AJ 1 B ; B 2 C ; C 3 D ; …

особенно удобную для связи скоростей , в тех случаях, когда скорости промежуточных

точек B! и !C в задачу не входят

В проекциях на оси этот граф дает соотношения:

vDx = vAx − AB · ω1 · sin(ϕ1) − BC · ω2 · sin(ϕ2) − CD · ω3 · sin(ϕ3) vDy = vAy + AB · ω1 · cos(ϕ1) + BC · ω2 · cos(ϕ2) + CD · ω3 · cos(ϕ2)

Многозвенный механизм можно пройти и в обратном направлении. Углы к направлениям стержней будут, как и ранее, отсчитываться от положительного направления оси ! в начале стержня:

скоростями точек при этом не изменится.

7.5 — Мгновенный центр скоростей

Страница (2 из 4(

Билет 7

Мгновенный центр скоростей — точка на плоскости, связанной с этой фигурой, скорость которой в данный момент времени равняется нулю.

Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то мгновенный центр скоростей всегда существует и определяется единственным образом.

Доказательство существования МЦС: I Часть

1.Если скорость произвольной точки JA в данный момент времени равна нулю, то эта точка —мгновенный центр скоростей.

2.Если Jv A ≠ 0, рассмотрим некоторую точку JP. Для скорости точки имеем

И поскольку вектор Jω перпендикулярен вектору Jv A, последнее выражение принимает вид: Jv P = v A − ω1z2 (v A · ωz2) = v A − v A = 0

Таким образом: Jv P = 0, а точка JP — мгновенный центр скоростей. Модуль

II часть

Для некоторой точки JA, скорость которой не равна нулю, введем систему координат так, что ось JAy направлена по вектору Jv A. Тогда имеем:

Jv Ax = 0 и vAy = A > 0. Выберем на оси JAx точку JP. Ее координаты: J(x;0).

Скорость точки P:

Для нахождения мгновенного центра скоростей нужно повернуть вектор скорости точки на

Доказательство единственности МЦС:

Предположим, что мгновенных центров скоростей у тела — два, т.е., имеем Jv P = 0, и v k = 0 . Тогда для любой точки будем иметь

Страница (3 из 4(

Билет 7

Jv C = v P + [ω × PC] = v k + [ω × KC] [ω × PC] = [ω × KC]. Тогда J ω × (PC − KC)] = 0 и PC − KC = 0 PC = KC что и требовалось

доказать.

Распределение скоростей при плоском движении:

Если точка — мгновенный центр скоростей, то для некоторой точки имеем: Jv A = v P + [ω × PM , и с учетом того что

Jv P = 0 скорость точки определяется выражением: Jv A = [ω × PM .

Если Jω ≠ 0, то в каждый момент времени распределение скоростей плоской фигуры такое же, как и при вращательном

движении вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей: скорости точек плоской фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей, а величины скоростей пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей:

JvA = ωz · AP

Страница (4 из 4(

Билет 8

8 — Плоское движение. Теорема о концах векторов скоростей. Ускорение точек тела при плоском движении.

8.1 — Теорема о концах векторов скоростей

Теорема: «Концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка твердого тела при плоском движении лежат на одной прямой и делят ее на отрезки пропорциональные расстояниям между точками.»

Доказательство:

d1D1 AD

Заметим, что Jb1B1 = vAB = AB · ω ; d1D1 = vAD = AD · ω b1B1 = AB . Так как JA1d1 = AD и JA1b1 = AB как противоположные стороны параллелограммов,

скоростей пропорциональны расстояниям между соответствующими точками, что и требовалось доказать.

8.2 — Ускорение точек при плоском движении

Скорость точки JB определяется выражением

Jv B = v A + [ω × AB] . При дифференциации по времени мы получим:

ускорения перпендикулярен плоскости движения, а его величина равна второй производной по времени угла поворота тела вокруг полюса.

Страница (1 из 2(

Билет 8

JddABt = [ω × AB] a B = a A + [ε × AB] + [ω × [ω × AB]]. Учитывая,

что J ω × [ω × AB]] = (ω · (ω × AB))− (AB · (ω · AB)) = − ABω2

выражение можно переписать в виде: Ja B = a A + [ε × AB] − ω2AB.

Эта формула выражает теорему о распределении ускорений при плоском движении: «Ускорение произвольной точки тела при плоском движении равняется геометрической сумме векторов ускорения полюса, вращательного и осестремительного (центростремительного) ускорений.»

Страница (2 из 2(