Материал: Hydrogeodynamics101

дах сжимаемость трещинного

3 4 1

пространства отвечает значениям *» 10' -*-10' МПа' , но сжимаемость пористых блоков можетбыть большей на один-два порядка.

Выражение для изменения коэффициента пористости можно представить в виде

de — d'

где т (1 — п) — объем минерального скелета в выделен­ном столбике, считающийся неизменным (минеральные зерна практически несжи­маемы) .

Объединяя выражения (1.32) - (1.36), получаем

dG -у₀'ГП'П

•do.

(1.37)

'i <0

^Е,^{+ е}

\ ^в

Запишем теперь выражение для относительного изме­нения объема воды V в рассматриваемом объеме породы V_n, имея в виду, что V₀ = nV_n и do_H = у₀ dH:

ii

dV„ tidV.

Е. ^£

/

1 +£

где

о __ dG_

У п _G п

*

V =

'do_H — rj 'dH,

(1.38)

*

П

(1.39)

Уо

g + (1 п)'й_с

Величина rj, называемая коэффициентом упругоем- кости горной породы [36], представляет сооой, таким образом, изменение объема жидкости в единице объема породы при единичном изменении напора. При снижении напора (dH < 0) количество жидкости в пласте уменьша­ется, т.е. каждая единица объема породы отдает объем воды, равный rj I dH I; соответственно с единицы площа-

ди пласта освобождается объем воды dV# равный 77**m \dH\, или

£Z?= *

dH Р (1.40)

где величина

—г] -т (1.41)

аналогична по смыслу коэффициенту гравитационной во­доотдачи (см. формулу 1.31)) и называется коэффициен­том упругой водоотдачи пласта.

Обратим внимание, что, как и параметр_/а, величина/г* безраз-

♦

мерна, в то время как коэффициент у^ругоемкости rj имеет размер­ность, обратную длине (например, м~ ).

В выражение (1.39) для коэффициента упругоемко- сти входят два слагаемых, первой из которых отражает роль упругих деформаций воды, а второе — сжимаемость горной породы. С учетом приведенных ранее характер­ных значений а_с и Е_в нетрудно показать, что первое сла­гаемое имеет смысл принимать во внимание лишь в чисто трещиноватых породах; во всех остальных случаях доми­нирующим источником упругих запасов воды в пласте служит уменьшение объема порового пространства, обусловленное ростом эффективных напряжений при снижении напоров.

В целом абсолютные значения коэффициентов упру-

гоемкости 77* невелики (вм¹): (0,5*5) • 10'⁴ —для песков; 10'⁴* 10"³ — для супесей и суглинков; 10 -НО" — для чисто трещиноватых пород (увеличиваясь примерно на порядок для типичных трещиновато-пористых пород - песчаников, известняков). Следовательно, при реальных мощностях водоносных горизонтов (метры, десятки мет­ров) значения коэффициента упругой водоотдачи на один-два порядка меньше коэффициентов гравитацион­ной емкости для тех же пород. Поэтому в безнапорных горизонтах, в которых при снижении уровней проявляют­ся и гравитационные, и упругие запасы, последними

обычно пренебрегают, т.е. считают fi «ju.

Однако в суглинистых и глинистых грунтах, а также в

некоторых трещиновато-пористых породах значения/г и /г различаются не столь сильно. Попутно заметим, что, как ясно из только что приведенных величин коэффици­ентов упругоемкости, упругая водоотдача «водоупорных» пластов глинистого состава может оказаться заметно большей, чем у смежных водоносных пластов.

■* 1 —> ^1 ~

Рис. 1.20. Схематическая колонка нижней пачки осадочных пород Южно- Белозерского месторож­дения:

1 - породы кристаллического фундамента; 2 - органогенные известняки мощностью 30 м; 3 - бучакские пески мощностью 15 м; 4 - киевские глины мощ­ностью 30 м

н

Последнее замечание касается не только глинистых водоупоров. Для при­мера рассмотрим разрез Южно-Белозер- ского железорудного месторождения (рис. 1.20). Здесь основные водоносные породы — бучакские п^ски — имеют проницаемость в 10 +10 раз большую, чем у подстилающих их пород — органо­генных известняков; поэтому известня­ки в прогнозах водопритоков принима­лись за относительный водоупор. В даль­нейшем оказалось, что водопонижаю­щие скважины, оборудованные на пес­ки, откачивали большей частью воду, поступавшую в пески из меловых пород.

ЗАДАЧА. Объясните описанный эф­фект количественно, принимая следую­щие исходные данные: коэффициент сжимаемости песков примерно раввд 0,005 МПа , известняков—0,03 МПа ; мощность песков 15 м, известняков 30 м. Снижение напоров в песках и в рудной толще (залегающей под известняками) составило Около 200 м.

При росте напоров в водонос­ном пласте (например, при нагне­тании воды) имеют место проти­воположные эффекты — упругое расширение порового простран­ства (декомпрессия горной поро­ды) и гидростатическое сжатие

поровой жидкости. В результате водоносный пласт при­нимает некоторое дополнительное количествоводы; соот­ветствующая емкость пласта — на единицу его площади — характеризуется коэффициентом недостатка (упру­гого) насыщения. Величина его для многих пород, одна­ко, заметно меньше, чем коэффициент упругой водоотда­чи. Обусловлено это тем, что сжимаемость ряда пород (особенно песчано-глинистых) при приложении допол­нительной нагрузки (р_э = у₀ I dH I) существенно больше

обратных деформаций упругого расширения при снятии нагрузки той же абсолютной величины. На опытном гра­фике сжимаемости (см. рис. 1.19) это обстоятельство от­ражается меньшим уклоном кривой декомпрессии в срав­нении с уклоном компрессионной кривой (компрессион­ный гистерезис). Однако при многократном нагружении- разгружении, характерном для различных циклических колебаний напоров подземных вод, подобные гистерезис- ные явления в емкостных свойствах не играют практиче­ской роли.

Рассмотрим проявление упругого режима при колебаниях ат­мосферного давления, вызывающих, как известно, изменения уров­ней в колодцах и открытых пьезометрах.

ЗАДАЧА. Прежде чем читать последующий материал попытай­тесь объяснить, почему перед грозой уровень воды в глубоких колод­цах заметно повышается?

При рассмотрении этого эффекта следует учесть, что в данном случае имеет место изменение полного напряжения О_п, вызванное

колебаниями атмосферного давления Р; так как dO_n — dP_a, то равен­ство (1.28) приводит к формуле

^d°_H ~ ^dPа ⁼ ~ ^йоэ• (1.42)

Кроме того, суммарное изменение давления столба воды в сква­жине (при изменении уровня на величину dh) и атмосферного дав­ления уравновешивается изменением гидростатического давления водоносного пласта, т.е.

y₀-dh + dP_a-dO_H. ₍₁.43)

Введем понятие барометрической эффективности BE как отно­шение изменения уровня воды в пьезометре dh к соответствующему изменению атмосферного давления в метрах водяного столба [42 ]:

_BE=_Jh ₌ dO_H-dP_a dO, ₌ _ 1

dP/Yo ^dPa dO_H+dO, 1 + do/dO_;

a .44)

Но из закона Гука для объема воды V_Q в единичном столбике

пласта (V_Q = пт) имеем

do = -Е -^ = -Е -й1члй

Н У_{0 п}-_т

или, с учетом выражений (1.35) и (1.36),

поп 1

московский 2

ДИНАМИКА ПОДЗЕМНЫХ 4

вод 4

О, = о_с-G„ =(Д„ — Д₀)(1 -n)-z=y,-z, 44

_/=^^а«.._с._й, ш 85

шшшш 145

^(4^)⁺f,(^r'5)^+£=°- 176

¹±шл ' 280

ДШш§ 443

т.е. увеличение атмосферного давления вызывает падение уровня в колодце или пьезометре тем большее, чем меньше сжимаемость по­род. Например, для грунтовых потоков в песках при £* 0,8 и о«0,05 МПа¹ I BE I < 0,01, в то время как для глубокозалегающих (200+300 м) напорных песчаных пластов при * 0,002 МПа" и Е * 0,5 I ВЕ\ >0,1. Следовательно, перед грозой, при падении атмосферного давления на 2 кПа, уровень воды в скважине, пройденной на напор­ный пласт, поднимается на несколько сантиметров.

В заключение остается заметить, что, как и в случае гравитационной емкости, коэффициент упругой водоот­дачи считается не зависящим от времени протекания про­цесса: в исходных зависимостях (1.34) и (1.35) деформа­ции предполагались идущими синхронно с изменением напоров в пласте. В разделе 5.3 мы убедимся, что в неко­торых комплексах пород это допущение справедливо лишь для достаточно длительных процессов.

Итак, в этом разделое мы ввели важные гидрогеоло­гические параметры, характеризующие емкостные свойства водоносной системы — коэффициенты гравита­ционной и упругой водоотдачи. Данными параметрами определяются запасы воды в геологических структурах и поэтому их оценке уделяется особое внимание при гидро­геологических изысканиях. Об этой стороне дела мы по­говорим в гл. 5, пока же — в последующих разделах мы будем предполагать параметры емкости заданными ха­рактеристиками изучаемых гидродинамических процес­сов.

5. Основной закон фильтрации и проницаемость горных пород

   1. Закон Дарси

Термином «фильтрация» охватывается движение жидкости в насыщенной ею пористой среде, обусловлен­ное наличием гидравлического градиента (перепада напо­ров).

Проведем следующий простейший эксперимент. Будем сначала пропускать воду через трубку длиной I с поперечным сечением со, заполненную песком, добиваясь при заданном перепаде напород на краях трубки А 7/постоянного расхода жидкости Q. Средняя скорость движения жидкости по порам:

_v - Q

0 0)‘П’ (1.47)

где п — эффективная пористость песка.

Рассчитаем теперь по формуле Гагена-Пуазейля (см. раздел 1.1.5) среднюю скорость течения v_d' в круглой трубке с поперечным

сечением ft)' =0)П Сопоставление v_d и v_&' покажет, что уже для трубок диаметром в несколько сантиметров v_& « v^', причем разни­ца в скоростях растет с увеличением поперечного сеченця трубы. Более того, значение v_d от размеров этого сечения не зависит. Следо­вательно, при одинаковых суммарных поперечных сечениях потока (ft)' =(л)'П) сопротивление движению воды в трубке, заполненной песком, многократно возрастает.

Обдумывая этот эксперимент, мы можем теперь вернуться к понятию пора: изложенное позволяет определить поры как такие пустоты, для которых сопротивление движению жидкости обуслов­лено главным образом силами трения жидкости об их стенки и при­стеночными эффектами. Очевидно, такое определение дает основа-

ние распространить термин «фильтрация» и на трещиноватые горные породы — если движение жидкости в них также характеризуется доминирующим значением сил трения жидкости о стенки.

Будучи частным случаем движения вязкой жидкости, фильтра­ция описывается общими уравнениями Навье-Стокса [17 J, которые являются отправным элементом анализа вязких течений в классиче­ской гидромеханике: в основе такого анализа лежит интегрирование этих уравнений при определенных краевых условиях. Однако с са­мого начала было ясно, что ввиду доминирующей роли пристеночных (пограничных) эффектов в сочетании с исключительно сложной ге­ометрией порового пространства, решение уравнений Навье-Стокса для пористой или трещиноватой среды является задачей практически неосуществимой. Этот путь, естественно, был закрыт для построения теории фильтрации и, в частности, для теоретического приближения к основному закону движения подземных вод на базе физически обоснованных упрощений. Однако приведенные выше (см. раздел 1.1) общие соображения о движении вязкой жидкости оказываются все-таки полезными для априорной характеристики такого закона.

Во-первых, основной закон движения должен отразить связь между силами сопротивления и изменениями энергии потока. Как следует из априорных энергетических представлений, приведенных в разделе 1.1, это эквивалентно установлению связей между измене­нием величины гидростатического напора и работой сил внутреннего трения на одной и той же длине А /, отсчитываемой вдоль линии тока; иначе говоря, можно ожидать наличия функциональной (линейной)

ЛЯ

связи между величинами -ду и силами внутреннего трения. Так,

подобно изложенному в разделе 1.1.4, нетрудно показать, что для пористой среды, представленной системой капилляров, справедлива формула, аналогичная (1.20)

_ Дя Ыр )ж“Д7> (1.48)

^гД^е Уж =Рж'&

р_ж — плотность жидкости;

/тр ~ ^силы трения, приходящиеся на единицу объема пористой среды.

Во-вторых, можно ожидать, что связь между средней скоростью движения жидкости в порах v_& и градиентом давления или напора

-ду будет носить линейный характер (движение ламинарное).

В-третьих, наконец, можно предположить, что для идеализиро­ванной пористой среды, представленной системой параллельных ка­пилляров радиуса г _у справедлива следующая зависимость, вытека­ющая из формулы Гагена-Пуазейля (1.18):

(1.49)

^Q 8 Я, Д/ ’

где Q — суммарный расход N капилляров.

Так как для единичного поперечного сечения Q - v_& п (см. формулу (1.47)), а N ———г-, то получаем отсюда ожидаемую

(¹•#

структуру основного закона фильтрации в следующем виде:

_ %'Рж Дя ^V»~^BH(1.50)

_Й-^Г" где ^B Y'

Проводя опыты по фильтрации воды в трубах, запол­ненных песком, А.Дарси установил (1856 г.), что резуль­таты этих опытов дают в координатах Ц +/ четко выра­женный прямолинейный график (рис. 1.21):

%^=к1> (1.51)

где а)— площадь поперечного сечения трубы;

к — коэффициент пропорциональности, постоянный для данного опыта, точнее — для данной пары грунт-жидкость.

Отношение расхода жидкости ко всему поперечному сечению фильтрующей горной породы

£

ш^=ху (1.52)

получило название скорости фильтрации. Эта расчет­ная величина более удобна на практике, чем действитель­ная средняя скорость движения воды в порах v_d, так как

она соотносится с легко замеряемым общим объемом гор­ной породы: согласно формулы (1.47), очевидна связь:

(1.53)

v = v_d-n

Рис. 1.21. График зависи­мости скорости фильт­рации от градиента

ЗАМЕЧАНИЕ. С учетом требова­ний, вытекающих из предпосылки сплошности среды, более корректное определение скорости фильтрации да­ется формулой

^Д^юс|'

где 0)_о — минимальная репрезентатив­ная площадка.

форме:

Вводя в закон Дарси (1.51) скорость фильтрации, перепи­шем его в дифференциальной

(1.54)

дН

' Ы

v = -к

или в проекциях на координатные оси,

дН

дх

дН

ду

дН

dz

v_x = -k

v_y = -k

(1.55)

у_г = -к

Такая форма записи позволяет утверждать, что вектор скорости фильтрации v связан со скалярным полем функции Н: вектор v в каждой точке (х у_п z ) направлен по нормали к поверхности Н -

С/у C/j Сf

const, проходящей через эту точку, причем

где grad# —вектор-градиент функции #, т.е. вектор, координаты которого равны соответственно и -^у.

Переписывая формулу (1.56) в виде

v=grad (—£•#), (1.57)

приходим к выводу, что функция (р — — к'Н является потенциалом для вектора скорости фильтрации — согласно известным положени­ям теории поля [ 16 ].