Материал: Hydrogeodynamics101

Если свойства среды, задаваемые коэффициентом к, в разных направлениях различны и определяются состав­ляющими к_х к_у k_z, то для такой анизотропной среды¹:

= _ ь iJf. IK. и ^дН

^v* ^X'dx'²y ^ky’dy'^{Vz z} dz ’ (1.58)

В дальнейшем опыты в фильтрационных трубах неод­нократно проводились с различными жидкостями и зако­ну Дарси был придан более общий вид:

^kQP*g дН ^V Рж 31 ' (1.59)

где коэффициент пропорциональности к₀ зависит толь­ко от свойств пористой среды.

Закон Дарси, подтвержденный многочисленными эксперимен­тами [6, 10, 36], является по своей сути эмпирическим законом; строгое теоретическое доказательство его справедливости, несмотря на многочисленные попытки такого рода, отсутствует . Однако тот факт, что структура формулы (1.59) идентична выражению (1.50), полученному теоретическим анализом течения в системе капилляр­ных трубок, позволяет относиться к закону Дарси с большим довери­ем.

В работе [46 ] изучалась модель течения в среде, состоящей из набора шаров одинаковыхразмеров. Решая уравнения Навье-Стокса для этой модели численным методом (на ЭВМ), авторы показали, что закон Дарси дает для нее погрешность менее 1 %.

До сих пор мы говорили о законе фильтрации в пори­стых средах, очевидно, трещины в горных породах как водопроводящие пути имеют мало общего (по своей гео­метрии) с порами. Однако из сформулированных выше представлений становится ясно, что в тех трещиноватых породах, где скорость движения жидкости по трещинам определяется (в первую очередь и в основном) силами трения жидкости о стенки и пристеночными эффектами, должен быть также справедливым закон Дарси.

Здесь полезно привести известную формулу Буссинеска, соглас­но которой при сравнительно малых числах Рейнольдса средняя ско­рость Vj течения жидкости по щели шириной Ь с параллельными гладкими стенками подчиняется линейной зависимости:

*^д~ ⁷‘ (1.60)

Если среднее расстояние между параллельными трещинами в горной породе равно 1_т, то ее пустотность (аналог пористости) п = Ь/1_т, и с учетом формулы (1.53) имеем для скорости фильтрации в системе параллельных гладких трещин формулу

Ъ²'Р_Ж'8 дН

дТ (1.60а)

Сопоставление этой формулы с выражением (1.59) подтвержда­ет их аналогию. Конечно, приведенное представление фильтрующих трещин в горной породе является существенной идеализацией; одна­ко опытный материал убедительно подтверждает, что и в реальных трещиноватых породах закон Дарси чаще всего выполняется с высо­кой степенью точности [6, 36 ].

2. Коэффициент фильтрации и коэффициент проницаемости

Приведенные выше опытные закономерности носят феноменологический характер и содержат эксперимен­тально получаемые параметры к и к^ отражающие, в конечном счете^ силы внутреннего трения в фильтрую­щейся жидкости .

Параметр к, определяющий способность данного грунта пропускать (фильтровать) ту или иную жидкость, получил название коэффициента фильтрации; он имеет размерность скорости (м/сут, см/с).

Параметр к₀ обычно считается зависящим только От свойств проводящей среды и характеризует ее проницае­мость, безотносительно к свойствам жидкости. Из выра­жения (1.59) нетрудно показать, что он имеет размер­ность площади.

Для того, чтобы понять физическую предпосылку этой размер­ности, проведем сопоставление выражений (1.59) и (1.50); с учетом связи (1.53) получаем, что при представлении пористой среды набо­ром капилляров

1г — — ²

^Ко~Ъ^П'^Гп _(1>61)

Если ввести удельную поверхность скелета породы S (общая поверхность частиц в единице объема породы), которая обратно про­порциональна радиусу пор, то получим более общее выражений:

к — —

° S²’ (1.61а)

где А — некоторый коэффициент, зависящий от пористости грунта.

Эксперименты в общем достаточно хорошо подтверждают зави­симость (1.61а) для грунтов одного минерального состава.

Проводя аналогичную идеализацию для трещиноватых сред, можно получить для них формальные представления коэффициента проницаемости, по структуре подобные формуле (1.61). Например, для параллельных равноотстоящих трещин одинакового раскрытия b получаем на основе сопоставления формул (1.59) и (1.60а) следу­ющую формулу:

1.3 l2

к = Ь ₌п'Ь ⁰ 12/_я 12 ' (1.62)

В более общем виде формула (1.62) записывается так [28 ]:

к₀ =$'П'Ъ²,

(1.62a)

где коэффициент($ зависит от взаимной ориентации трещин.

В физической системе единиц коэффициент проница­емости к₀ измеряется в квадратных сантиметрах. Однако чаще для него используется другая единица — квадрат­ный микрометр: среда имеет проницаемость в 1 мкм², если при перепаде давления, равном около 0,1 МПа на 1 см длины и вязкости 0,001 Па с скорость фильтрации равна 1 см/с.

Согласно выражениям (1.54) и (1.59) для закона Дар­си фильтрационные характеристики горных пород к и к₀ связаны между собой отношением

(1.63)

В гидрогеологии характеристика фильтрационной способности горной породы чаще всего дается через ко­эффициент фильтрации, а коэффициент проницаемости используется сравнительно редко. В целях возможного их сопоставления можно иметь в виду, что для воды вязко­стью 0,001 Па - с (при температуре 20°С) коэффициенту проницаемости в 1 мкм² отвечает коэффициент фильтра­ции, равный 0,86 м/сут (покажите это самостоятельно).

Приведем для ориентира порядок значений коэффи­циентов фильтрации для различных пород: пески N • 1 м/сут (мелкозернистыеразности),N10м/сут (крупно­зернистые разности); супеси ^ - 0,1 м/сут; суглинки N- 0,01 м/сут (легкие разности), N- 0,001 м/сут (тяжелые разности); трещиноватые породы от N • 10 (слаботрещи­новатые разности) до N • /1 -10) м/сут (породы со средней степенью трещиноватости) и даже N - 10 м/сут (сильно трещиноватые или закарстованные породы).

Итак, вслед за параметрами емкости (см. раздел 1.4) мы ввели теперь параметры проницаемости, которые будем далее считать константами изучаемого фильтраци­онного процесса. Нужно, однако, отметить, что эти пара­метры, отражающие геометрию пористой среды, будут оставаться в каждой точке водоносного пласта постоян­ными лишь при условии неизменной геометрии пор или трещин. В этой связи отметим основные факторы, способ­ные приводить к существенном изменению проницаемо­сти по сравнению с естественной.

[Г] Изменение напряженного состояния горных по­род вызывает уменьшение проницаемости при росте эф­фективных напряжений и ее увеличение — в противном случае.

Как мы уже знаем, рост эффективных напряжений может вызываться понижением напоров подземных вод и, следовательно, при откачке воды из пласта проницае­мость должна, вообще говоря, падать. Однако более вни­мательные исследования показывают, что заметную роль процессы такого рода играют лишь в трещиноватых поро­дах, особенно при нагнетаниях воды, когда из-за умень­шения эффективных давлений возрастает раскрытие тре­щин и заметно увеличивается проницаемость.

[~2] В глинистых породах ощутимое влияние на про­ницаемость оказывает температура, особенно при ее воз­растании до интервала 60-80°С: в этом интервале темпе­ратур отмечается интенсивный переход рыхло связанной воды в свободное состояние (см. раздел 1.2), в результате чего возрастает объем эффективного порового простран­ства и увеличивается проницаемость.

J3 J Важную роль в проницаемости пород глинистого состава может играть изменение минерализации и хими­ческого состава подземных вод. Казалось бы, с ростом минерализации (а следовательно, и вязкости воды) коэф­фициент фильтрации должен падать (см. формулу

63. ). На деле, однако, часто отмечается противопо­ложная картина: фильтрующая способность среды возра­стает. Объяснение этому следует также искать в увеличе­нии свободного порового пространства, вызываемом в данном случае уменьшением толщины сольватных оболо­чек (см. раздел 1.2) при катионном обмене между свобод­ной и связанной водой [18]. В некоторых случаях (напри­мер, при пропускании растворов NaCl через монтморил- лонитовые глины) отмечается увеличение проницаемости на порядок [11]. Впрочем, при определенных сочетаниях минерального состава глин и химического состава воды могут наблюдаться и иные тенденции — падение прони­цаемости с ростом минерализации воды. Во всех случаях полезно подчеркнуть аномальный характер этих эффек­тов с точки зрения представлений о коэффициенте про­ницаемости: последний оказывается зависящим не только от свойств фильтрующей среды, но и от характеристики флюида.

В ближайших главах мы будем, однако, пренебрегать упомянутыми здесь специфическими эффектами; мы вер­немся к ним в гл. 5, когда будем изучать вопросы, связан­ные с опытным определением фильтрационных парамет­ров.

3. Ограничения на закон Дарси

Несмотря на широкий круг применимости, закон Дар­си имеет свои ограничения; перейдем к их рассмотрению. Закон Дарси отвечает ламинарному режиму те-

1

чения.

Принято считать [27 ], что для большинства пористых горных пород ламинарный характер движения отмечается при следующих числах Рейнольдса (см. раздел 1.1.6):

^{Re =} Д75лТД23 рГ~ ~ ~⁷⁺⁹ ’ (1.64)

где d_p — расчетный (действующий) диаметр частиц.

Например, для крупнозернистых песков при п * 0,4, d =1 мм и при v= 10м/сутВе*0,2.

В реальных условиях требование (1.64) почти всегда выполняется, за исключением, быть может, участков, не­посредственно прилегающих к стенке водозаборного со­оружения, где, кстати говоря, нередко отмечаются и за­метные нарушения структуры породы, обусловленные выносом частиц фильтрующейся водой.

Правда, следует полагать, что из-за влияния таких факторов, как извилистость поровых каналов, изменчи­вость абсолютных размеров пор и др., критическое число Рейнольдса может быть для разных пород (с одинаковыми d_p й п) существенно различным; поэтому приведенные величины являются лишь некоторым ориентиром, отно­сительно стабильным для группы однородных раздельно­зернистых пород. Однако практика и многочисленные исследования показывают, что переход к (условно) тур­булентному режиму отмечается в сравнительно редких случаях — главным образом для некоторых трещинова­тых пород.

Значения критических чисел Рейнольдса для трещиноватых по­род принято оценивать по следующей зависимости, считающейся аналогом формулы (1.64) для раздельнозернистых пород [36 ]:

v'>lkl’p in _Re = jw < R_e « _H12.

И'ж _n²^ ^Kp (1.64a)

Для трещин достаточно большого раскрытия требова­ние о ламинарности режима не выполняется, и лучшие, нежели закон Дарси, результаты дает зависимость [34]

^/_т_зн\

¹ ~ 31

I = av + bv², (1.65)

где / — гидравлический градиент

а и Ъ — постоянные величины для^анной 'системы горная порода-жидкость.

Если положить а-1/к, то при малых скоростях выра­жение (1.65) непрерывно переходит в закон Дарси.

На практике для трещиноватых пород чаще всего допустимо пользоваться законом Дарси, за исключени­ем тех закарстованных пород, в которых проницаемость обусловлена главным образом отдельными карстовыми каналами сравнительно большого раскрытия (миллимет­ры и более). Однако трудности описания движения жид­костей в таких породах связаны не столько с неясностью

формулировки основного закона движения, сколько с не­достатком информации об исходных параметрах прони­цаемости.

Закон Дарси проверяется, как правило, в экспе­

риментах со стационарными потоками, исключающих проявление инерционных сил. Однако у нас имеются вполне серьезные основания для пренебрежения силами инерции и в подавляющем большинстве случаев нестаци­онарной фильтрации: из общей гидромеханики известно, что для вязких течений с малыми числами Рейнольдса роль инерции крайне несущественна.

dv,

Подтвердим это качественно для фильтрационных течений. Со­гласно второму закону Ньютона, силы инерции, приходящиеся на жидкость в единице ооьема горной породы, выразятся формулой

д _ _Л dv

/ин Р'^п'dt Р'dt' (1.66)

При ориентации вектора v по направлению / полную производ­ную dv/ dt можно записать в виде [16 ]

dv(Lt)_dv,dv d/_dv. dv_dv.vdv (БГ Ji⁺-dl'Tt-Jt ^{+ v}*'Jl-Tt⁺h"dl' (1.67)

Так как скорости фильтрации и их изменения в пространстве обычно являются малыми величинами, то вторым членом в формуле (1.67), как произведением двух малых величин, можно пренебречь:

— »—

dt dt' (1.67а)

Тоща, с учетом закона Дарси

,v__dv_ _п и dl

ин Р' dt Р dt' (1.68)

Предположим теперь, что, как и в условиях установившегося движения, силы трения /^ , приходящиеся на единицу жидкости, выражаются формулой (1.48). Сопоставляя (1.48) и (1.68), получаем

Так как отношение к!g обычно очень мало (менее 10 с), то, как правило, силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами внутреннего трения, отраженными в законе Дарси. Исключение мо­гут составлять кратковременные динамические процессы в подзем­ных водах (взрывы, землетрясения и т.п.), коща градиенты фильт­рации претерпевают резкие, скачкообразные изменения во времени.

Согласно закону Дарси движение жидкостей в пористой среде имеет место при любом сколь угодно ма­лом градиенте. Между тем, в разделе 1.1.5 мы отметили возможность проявления водой аномальной сдвиговой прочности при движении ее в очень тонких трубках. Сле­довательно, аналогичные эффекты можно ожидать и в горных породах, характеризующихся малыми абсолют­ными размерами пор, т.е. в первую очередь в глинистых породах; если добавить к этому характерные для глин эффекты иммобилизации свободной воды (см. раздел 1.2), то станет ясно, что должен существовать нижний предел применимости закона Дарси. Для решения боль­шинства практических задач этот предел может быть фор­мально учтен введением так называемого начального гра­диента фильтрации /_н, определяемого опытным путем:

дН

Ы

дН

Ы

(1.70)

при

Тем самым предполагается, что движение жидкости в глинах начинается лишь тогда, когда градиент напора д Н

~Yj- превысит начальный градиент 1_Н (рис. 1.22). Для не­которых глинистых пород величина 1_Н измеряется десят­ками и даже сотнями единиц, т.е. такие породы воду обыч­но практически не фильтруют. Нелишне, однако, огово­рить, что понятие начального градиента является доста­точно условным и, более того, неопределенным, если участь, например, зависимость 1_Н от абсолютной величи­ны гидростатического давления (напора) и особенно от температуры. В частности, резкое падение (нередко до нуля) значений начального градиента в глинистых поро-

0

</

v =

дН

— к

>/.

при

Ы

дах отмечается при повыше­нии температуры до 60- 80°С, что обусловлено мас­совым переходом рыхло связанной воды в свободное состояние (см. раздел 1.2.2).

[~4~| Ограничения на применение закона Дарси, особенно в трещиноватых породах, связаны также с необходимостью выполне- ния требований, предъявля­емых к выделенному для Рис. J.22. График зависимости рассмотрения объему пород дорасти фильтрации от гра- ^ _раз^_{ел 1<2-3)}. _{как ухе}

отмечено, минимальный ре­презентативный объем в трещиноватых породах может измеряться десятками и даже сотнями метров — при боль­ших расстояниях между основными водопроводящими трещинами.

Наконец, важные ограничения вытекают из ус­редняющего характера закона Дарси, имеющего дело лишь со средней скоростью фильтрации и никак не учи­тывающего индивидуальные скорости и траектории частиц. Более подробно этот вопрос освещен в разделе 1.5.4.