Материал: Hydrogeodynamics101

2. Основные расчетные схемы плановой фильтрации

Для систематического изложения задач плановой фильтрации и методов их решения целесообразно рас­смотреть сначала возможные расчетные схемы, отвечаю-

щие наиболее характерным типам реальных водоносных пластов; начало такой типизации было положено Г.Н.Ка- менским [15].

схема /. Изолированный однородный напорный пласт (рис. 2.16,а) — простейшая из упомянутых схем, описываемая дифференциальным уравнением (2.22а).

5

шшшш

77-77777-7" / _т г,'" Г ТГ i

7~7~Т/У / / / / У -7S

t

0 0 # « 0 0 «

TT'TS--?' у -7-? -у■ V-■/~7~7Т7^Г

I

е

Рис. 2.16. Основные расчетные схемы плановой фильтрации

схема 2. Напорный слоистый пласт (рис. 2.16,6) — пласт, состоящий из нескольких (п) водоносных слоев, в каждом из которых фильтрация носит плановый харак­тер. Так как напоры, а следовательно, и градиенты плано­вого потока во всех точках такого пласта, лежащих на одной вертикали, одинаковы, то, согласно закону Дарси, суммарный расход потока на единицу его ширины (удель­ный расход) равен:

Поэтому данная схема легко сводится к схеме одно­родного напорного пласта, путем введения суммарной проводимости и упругой водоотдачи:

СХЕМА ^.Безнапорный двухслойный пласт (см. рис. 2.16,в), состоящий из нижнего относительно хорошо про­ницаемого слоя и верхнего слабопроницаемого, в котором располагается депрессионная поверхность. Эта схема от­вечает наиболее частому варианту геологического строе­ния грунтового водоносного горизонта. На рис. 2.16,в показано два положения депрессионной поверхности — исходное I и конечное И. В положении I

(2.54)

в положении II

(2.54а)

Но к_н > > к_в> поэтому при не слишком больших значе­ниях Ат_в—т¹_в- (в сравнении с га_н) изменения вто­рого слагаемого в формулах (2.54) и (2.54а) мало меняют общую сумму, т.е. к_н-т_н » k₆'WL₆> к_в-т

(2.55)

Т'~Т"=Т_я=к_нт_н

и, следовательно, проводимость в этой схеме можно счи­тать неизменной, как и в случае напорного пласта мощно­стью т . Наоборот, расчетная водоотдача равна гравита­ционной водоотдаче верхнего слоя, которая обычно за­метно выше упругой водоотдачи нижнего слоя.

Таким образом, все три рассмотренные схемы могут быть объединены при аналитическом исследовании как схемы пластов с неизменной проводимостью, - чем они отличаются от двух последующих, имеющих нелинейный

характер (проводимость зависит от искомой функции на­пора) .

СХЕМА * Однородный безнапорный пласт на горизон­тальном водоупоре (см. рис. 2.16,г); схема описывается уравнением Буссинеска (2.32), которое сводится к типу уравнения напорной фильтрации в однородном пласте (2.32а) посредством введения функции и- h / 2 (линеа­ризация по Багрову-Веригину). Результирующие форму­лы для этой схемы получаются из решений для схемы изолированного напорного пласта формальной подста­новкой (2.38а).

СХЕМА 5. Слоистый безнапорный пласт залегает на горизон­тальном водоупоре. Пласт состоит из нескольких водоносных слоев, причем депрессионная поверхность может пересекать их границы (см. рис. 2.16,д). Частным вариантом является схема напорно-безна­порной фильтрации (см. рис. 2.16,е).

Так как фильтрация во всех слоях является плановой, то анало­гично (2.52)

Q=^j k_i'm_t'I~lSk(z)dz = ^jk(z)dz,

i = 1 о ^ах0 (2.56)

где суммирование ведется в пределах обводненной мощности пласта А, а затем сумма заменена соответствующим интегралом. Последнее выражение можно преобразовать:

Л<Р_г

⁴ dx ’ (2.57)

где

<P_l=S(h-z)k{z)dz.

о (z.5o)

Справедливость перехода от (2.56) к (2.57) доказывается непос­редственным дифференцированием по х интеграла (р_г, в котором

переменной интегрирования является z, ah (х) играет роль парамет­ра:

dm

~-f(h-z)k(z)dz

г _

dx

dh о

Ж⁼ж1(^Л-^г)*(^г)‘^гг=

Здесь мы воспользовались двумя известными формулами мате­матического анализа [16]:

[Т] формулой дифференцирования сложной функции

FWll (2.60)

и

|~2~[ формулой дифференцирования по параметру Л интеграла, в котором от этого параметра зависят и верхний предел, и подынтег­ральная функция:

4-)/fe h)dz=f(h, А) +}&iz.

dh о'^{v v 4} ' ₀ (2.61)

ЗАДАЧА. Пользуясь формулами (2.57) и (2.58), вывести зависи­мость для оценки расхода напорно-безнапорного пласта (см. рис. 2.16,е). Обратите внимание, что коэффициент фильтрации верхнего слоя здесь равен нулю.

Величина (р_г, отражающая совокупно проницаемость и мощ­ность (напор) водоносного пласта, получила название потенциала Гиринского. Из сопоставления формулы (2.57) с законом Дарси, который для планово-однородного пласта можно записать в виде

(2.62)

получаем, что выражения для пространственных производных во всех уравнениях для схем 1 и 5 идентичны при формальной замене

ТН^<р_г. (2.63)

Следовательно, для случаев стационарной фильтрации нет нуж­ды специально исследовать схему слоистого безнапорного пласта: решения для нее получаются посредством замены (2.63) в соответст­вующих решениях для схемы изолированного напорного пласта.

В нестационарном случае дело обстоит сложнее, так как из-за приуроченности депрессионной кривой к разным слоям расчетная гравитациоынная водоотдача в пределах области фильтрации оказы­вается переменной, зависящей от искомой величины А. В этом вари­анте, при сильно различающихся значениях водоотдачи пород от­дельных слоев, для эквивалентности схем 1 и 5 необходимо вводить дополнительные преобразования, которые в нашем курсе не рассмат­риваются.

Итак, все выделенные здесь основные расчетные схе­мы легко сводятся к схеме 1 изолированного напорного пласта (для схемы 5 — с отмеченным ограничением), которая и будет далее преимущественно рассматриваться при изложении задач плановой фильтрации и методов их решения. Кроме того, отдельно будут исследованы две частные схемы, описываемые уравнениями специальных типов: а) схема напорного пласта с перетеканием (см. рис. 2.7), определяемая уравнением (2.28), и б) схема безна­порного пласта на наклонном водоупорё (см. рис. 2.8),

описываемая общим уравнением (2.31) при/г*Д~-»0.

Мы предполагали пока плановую изотропность пла­ста, так как необходимость учета анизотропии не вносят каких-либо существенных осложнений. В самом деле, в случае однородного, но анизотропного пласта выражение

дН

дх

_JL (т ^JL\ +— (х ——\ = урт '—-

дх V* дх) By ( у ду) ^х дх

^{У Л}У ду ^^Viy ду I (2.64)

в уравнениях (2.20) и (2.22) легко привести к схеме изо­тропного пласта путем введения новых (декартовых) ко­ординат:

^Х'⁼ТТ~' ^у,=7Т"- (2.65)

х У

Подставляя (2.65) и (2.64), получаем

а_х \ * вх) By у By) _Sx>2 ₍₂₆₆₎

Решая всю задачу в координатах х' и у', как для изо­тропного пласта, и определив функцию Н(х', у'), нетруд­но, исходя из соответствия (2.65), перейти к искомой функции Я (х, у). Поэтому мы далее не будем специально рассматривать планово-анизотропные пласты.

Важно, наконец, заметить, что все упомянутые рас­четные схемы относятся к пластам упорядоченного стро­ения, однородным в плане. Специфика подхода к планово неоднородным пластам потребует особого рассмотрения.

Контрольные вопросы

[Г] По каким основным признакам производится типизация водоносных систем и фильтрационных потоков?

|~2~| Каковы критерии типизации фильтрационных потоков по режиму фильтрации, характеру изменения проницаемости и струк­туре? Покажите на конкретных примерах, как смещаются критерии типизации одного и того же фильтрационного потока в зависимости от изменения масштаба и времени рассмотрения, а также в зависи­мости от изменения характера решаемой задачи. Сформулируйте основные критерии, по которым различаются напорные и безнапор­ные водоносные горизонты.

[ 3 I Какие основные физические закономерности связывают между собой результирующие дифференциальные уравнения филь­трации? В чем физический смысл следующих выражений (диффе­ренциальных операторов):

_Т(*,_У)Ш£М;

[~4~| Для каких минимальных объемов горных пород могут быть построены дифференциальные уравнения фильтрации?

I 5 I Изменяется ли расход фильтрационного потока от одного поперечного сечения к другому в случае жесткой фильтрации в изоли­рованном напорном водоносном пласте? Что вы можете сказать о воз­можности изменения скорости фильтрации от одного сечения к друго­му? Используя закон Дарси, покажите, что при стационарной плоско­радиальной фильтрации к скважине градиент фильтрационного потока обратно пропорционален расстоянию от скважины до расчетной точки.

|~б] Какие основные условия подобия должны соблюдаться на аналоговой модели, описывающей конкретную геофильтрационную ситуацию?

17 I Перечислите основные допущения, сделанные нами при построении дифференциальных уравнений фильтрации для напор­ного потока. Подумайте, к возникновению каких физически ано­мальных эффектов могут привести эти допущения? Ответьте на ана­логичные вопросы применительно к безнапорному потоку.

[~8~] К чему сводятся предпосылки перетекания? От каких фак­торов зависит степень их соответствия реальной фильтрационной картине?

Каков характер изменения напоров по вертикали в одно­родном разделяющем слое при перетекании? Как качественно разли­чаются эпюры изменения напоров вдоль мощности разделяющего слоя в случаях выполнения и невыполнения предпосылки о жестком характере фильтрации в нем? Отдает ли разделяющий слой воду при жестком и упругом режимах перетекания?

Как изменяется скорость перетекания вдоль мощности однород­ного слабопроницаемого слоя в случаях упругого и жесткого режимов движения в его пределах?

10 При задании граничных условий первого рода: а) зависит ли расход через границу от изменения напоров в пределах области фильтрации, б) зависит ли напор на границе от изменения напоров в пределах области фильтрации, в) зависит ли напор в пределах обла­сти фильтрации от изменения напоров на границе?

Каковы ваши ответы на вопросы «о» и «б» в случае граничных условий второго рода? Зависит ли в этом случае напор в пределах области фильтрации от изменения расхода на границе?

11 Может ли граница с условием первого рода быть одновре­менно и границей с условием второго рода? Если да, то привести примеры таких границ.

|12| При задании граничных условий третьего рода: а) зависит ли расход через границу от изменения напора в пределах области фильтрации, б) зависит ли напор на границе от изменений напора в пределах области фильтрации, в) зависит ли напор в пределах обла­сти фильтрации от изменений расхода через границу или напоров на ней?

Может ли граница третьего рода в частных случаях рассматри­ваться: а) как граница с условием первого рода, б) как граница с условием второго рода? Приведите примеры.

13

Какие типовые расчетные схемы плановой фильтрации вы знаете? Где — на каких участках пласта — следует ожидать, при прочих равных условиях, максимальных нарушений предпосылки о плановом характере потока?

14

В чем основные отличия расчетных моделей напорного и безнапорного слоистых пластов для условий плановой фильтрации?

[Тб] В условиях неограниченного планово-анизотропного водо­носного пласта (к_х> к_у) работает скважина, на одинаковых расстоя­ниях от нее в направлениях осей х и у находятся наблюдательные скважины 1 и 2. В какой из этих скважин будет отмечаться большее понижение уровней? Приведите характерные генетические типы анизотропных водоносных комплексов.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ПЛАНОВОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Глава 3

В предыдущей главе нами подчеркнуто исключитель­ное практическое значение математической модели пла­новой геофильтрации. Поэтому теперь мы переходим к систематическому изучению задач в плановой постановке и методов их решения (см. также гл. 4). Изложение будет вестись по линии постепенного усложнения материала. В данной главе рассматриваются стационарные процессы, которые не учитывают изменений емкостных запасов во­ды в пласте и описываются более просстыми уравнениями не содержащими временной производной. Искомой вели­чиной является напор как функция координат Н(х, у). Основным фильтрационным параметром пласта (извест­ным коэффициентом уравнения) в этих задачах служит коэффициент фильтрации или проводимость. Для безна­порной фильтрации дополнительным параметром являет­ся удельная инфильтрация е, а для пластов с перетекани­ем — параметр перетекания В.

В гл. 4 будут рассмотрены нестационарные процессы, сопровождаемые изменениями емкостных запасов воды в пласте и описываемые более сложными в целом уравне­ниями, содержащими временную производную.

В рамках рассмотрения стационарных и нестационар­ных процессов постепенное усложнение излагаемых за­дач связано со структурой потоков: сначала изучаются более простые одномерные задачи, а затем — двухмер­ные.

Нужно подчеркнуть, что на начальных этапах исс­ледования плановой фильтрации мы будем часто ре­шать задачи в настолько идеализированной, упрощен­ной постановке, что их практическое значение может показаться, на первый взгляд, ничтожно малым. Пре­дупредим поэтому читателя заранее, что это — отнюдь не так: на самом деле, — и мы это докажем, — у пол­учаемых таким образом простейших решений имеется весьма широкое поле практических приложений — при условии целенаправленного применения надлежащих принципов схематизации. А так как эти принципы во многом опираются не только на физические идеи, но и на соответствующий им формально-математический аппа­рат, то именно постепенное усложнение и развитие по­следнего существенно предопределяют логику последую­щего изложения.

В целом гл. 3, как и гл. 4, должна научить нас тесно увязывать физические представления о процессе с ма­тематическим аппаратом решения задач динамики под­земных вод, а также с простейшими идеями схематиза­ции. При этом будем исходить из того, что при изложе­нии фундаментальных дисциплин (а для гидрогеологов «Динамика подземных вод» является именно такой дисциплиной) промежуточные выводы и рассуждения, пожалуй, не менее важны, чем результат; поэтому мы будем стремиться к тому, чтобы изложение подавляю­щей части задач не имело логических провалов.

Выбранные для анализа задачи имеют достаточно ши­рокое практическое звучание. Чтобы оттенить последнее обстоятельство, название задач будет даваться не только по формально-математическому признаку, но и исходя из их гидрогеологической направленности.

1. Плоскопараллельная (одномерная) стационарная фильтрация

Приводимые здесь и в следующем разделе задачи мог­ли бы быть решены и без аппарата дифференциальных уравнений. Представляется, однако, полезным рассмот­реть их именно с привлечением этого аппарата, с тем чтобы усвоить логику постановки и решения краевых задач — дифференциальных уравнений при тех или иных краевых условиях.

1. Задача о напорной фильтрации между двумя бассейнами (реками)

На рис. 3.1 ,а показаны два бассейна с параллельными берегами. Напор в правом бассейне (Н_х) выше, чем в левом (Я₂), так что между бассейнами имеет место ста­ционарный напорный поток, направленный противопо­ложно оси х. Если расстояние между бассейнами L суще­ственно меньше их протяженности в плане d, то линии тока оказываются практически параллельными друг другу, т.е. мы имеем дело с одномерным плоскопарал­лельным движением, зависящим лишь от одной коорди­наты х, т.е. Н — Н(х).

Соответствующее дифференциальное уравнение по­лучаем из выражения (2.8):

d²H