Материал: Hydrogeodynamics101

dz

дх

18)

д /„ д U \ . д /_г dU\ . д /„ д U

{^y*yJ

U

С

электрический потенциал; удельная электропроводность среды; координаты точек модели.

где

х„ z.

м, ^J м, м

В частном случае профильной двухмерной фильтра­ции, моделируемой на сплошной модели из электропро­водной бумаги, согласно (2.18) получаем

^У1 ди^х Pz dz

*1 ди

Рх дх

_д д х

= 0,

+

д z

(2.18а)

м

м

м

м

где р — удельное сопротивление бумаги.

Для уравнения нестационарной фильтрации (2.15) электрическим аналогом служит уравнение нестационар­ного электрического тока в проводящей среде, характе­ризующейся в каждой ее точке некоторой удельной элек­трической емкостью С:

эи

М \ ” "Л/ ” ^JМ \ ” ^Jм/ ” ~М \ ~ ~м/ д t_M

(2.19)

где t_M — модельное время.

Эквивалентность правых частей этих уравнений обес­печивается введением дополнительных масштабных ко­

эффициентов: ctfj = Ч; иа₍

' ^{С 1}м

t

ЗАДАЧА. Убедитесь прямой подстановкой, что уравнения (2.15) и (2.19) формально подобны при выполнении следующего критерия подобия, дополняющего ранее полученный критерий (1.78):

(2.19а)

a_K’Cc_t

. (_с .1Щ ₊ М. /_с . М\ + JL (с . М\

I * ^дхм) I ² 9zJ

= С

д х

Для полного подобия процессов аналогия приведен­ных здесь уравнений должна сопровождаться выполнени­ем других необходимых критериев:

(Т подобием строения рассматриваемых областей в смысле их геометрии и пространственного распределения показателей свойств среды;

[~2 подобием краевых условий (см. раздел 2.4). Бо­лее конкретно использование выявленной здесь аналогии будет отражено в последующих разделах, где мы убедим­ся также в целесообразности конечно-разностных апп­роксимаций приведенных уравнений, лежащих в основе применения дискретных аналоговых моделей и чисденно- го моделирования на ЭЦВМ.

Подчеркнем, вместе с тем, что каким бы мощным инструментом исследования не являлось моделирование, с наибольшим эффектом оно применяется в разумном сочетании с аналитическими методами. Именно поэтому методика моделирования будет в дальнейшем рассматри­ваться параллельно с аналитическими методами — без ее выделения в специальный раздел.

3. Основные дифференциальные уравнения плановой фильтрации

В разделе 2.2. мы занимались построением дифферен­циальных уравнений лишь для самого простого случая фильтрации в изолированном напорном пласте, не делая, правда, оговорок относительно структуры потока (мерно­сти движения). Более общие условия фильтрации мы ис­следуем применительно к схеме двухмерного планового потока; в частности, в данном разделе везде принимается,

д v

что в пределах водоносного пласта -г— = 0 (о правомер-

(У Z

ности этого допущения мы поговорим позднее — см. раз- дел 2.5). При этом мы будем исходить из уже изложенного случая изолированного напорного пласта, отмечая, во избежание повторов, лишь специфику вывода уравнений для других расчетных схем. Поэтому для удобства изло­жения материала запишем сначала выведенные ранее уравнения применительно к двухмерной фильтрации в пределах напорного пласта мощностью т.

1. Плановая фильтрация в изолированном напорном пласте

Используя уравнение неразрывности (2.5) для этого частного случая получим с учетом закона Дарси уравне­ние напорной фильтрации в жестком режиме:

дН\ ^х дх)

дН

д

дх

а

ду

О

+

(2.20)

У ду

а при T_X = T_V = T = const

О

дх² ду²

Здесь

(2.20а)

(2.21)

^тх=^кх^т’ Т_у=к_ут —

коэффициент водопроводимости пласта (или, короче, во- допроводимость пласта) в направлениях осей х и у (сов­падающих в общем случае с направлениями главных осей анизотропии).

В упругом режиме, аналогично (2.15), имеем:

*д Н dt

_а_

ду

(2.22)

д /_Т д Н\ дх I ^х дх}

+ ^17)="

-коэффициент упругой емкости пласта (см. раздел 1.4).

Для изотропного пласта с постоянной водопроводи- мостыо

I дН а

*dt

(2.22а)

у**

дх² ду²

где а* — коэффициент пьезопроводности (см. 2.17), который в данном случае может быть также выражен в виде

* т

fi* (2.23)

2. Плановая напорная фильтрация при наличии перетекания

Рассмотрим схему на рис. 2.7, где изображены два напорных пласта с напорами Н и Н’ соответственно. Вы­водя уравнение неразрывности для элементарного стол­бика в пределах нижнего пласта, мы должны учесть по­ступление воды не только через боковые грани столбика (как в случае изолированного пласта), но и через его верхнюю грань: здесь проходит вода, перетекающая из верхнего пласта через разделяющий относительный водО- упор. При расчетах подобных водоносных систем прини­маются следующие предположения, известные как пред­посылки перетекания (предпосылки Мятиева-Гирин- ского):

[Т1 движение в водоносных пластах является плано- вымТлинии тока параллельны напластованию);

\2 в разделяющем слое линии тока перпендикуляр­ны напластованию; физически эта предпосылка вполне объяснима: вода стремится пройти участок с большим сопротивлением (водоупорный слой) по кратчайшему пути.

С.Н.Нумеров показал, что погрешность в величине напора, обусловленная первой предпосылкой, имеет по­рядок [23]:

«0,1Я1пЯ, (2.24)

а погрешность от второй предпосылки:

4>«0,1Г, (2.24а)

к _

(здесь X = Я = (m/m_p) Я).

Следовательно, точность предпосылок перетекания зависит в первую очередь от соотношения проницаемо­стей пород водоносного и разделяющего слоев; очевидно,

//////'/ ТгГЖТТУ~7~ТТТ7 ГГ! Г7ТГГ*

Рис. 2.7. Схема к выводу уравнения неразрывности в пласте с перетеканием

эти предпосылки можно использовать при отношении k/k_p в несколько десятков и более.

Принимая теперь вторую предпосылку перетекания, т.е. считая, что длина пути фильтрации по слаоопроница- емому слою равна т_р, получаем, что градиент фильтрации здесь равен:

/ ₌^я> ~^н

^р (2.25)

замечание. Одновременно мы тем самым предполо­жили, что режим фильтрации в разделяющем слое явля­ется жестким, т.е. в этом слое мгновенно устанавливается распределение напоров в соответствии с напорами на его кровле Н’ и почве Н. Иначе говоря, мы пренебрегли упругими запасами воды в разделяющем слое.

Следовательно, через верхнюю грань столбика посту­пает дополнительное питание, равное

. Я' -Я

е„ = к_п •

^{п р} % (2.26)

— на единицу площади пласта в единицу времени

Показатель е_п входит в качестве дополнительного чле­на в уравнение неразрывности, так что вместо (2.5) полу­чаем

j^(p-m v_x) +j^(p-m v_y) -р% = 0 .

(2.27)

Соответственно преобразуются и дифференциальные уравнения фильтрации. Так, вместо результирующего уравнения (2.22а) получаем

а²я д²н w -я 1 вн

дх² ду² В² a* dt ’ (2.28)

где Б = уГТчПр/Jcp —так называемый параметр (фактор)

перетекания, имеющий размерность длины. Чем меньше величина В, тем интенсивнее, при прочих равных ус­ловиях, идет перетекание.

ЗАДАЧА. Для того, чтобы убедиться в значимости про­цессов перетекания даже при малой проницаемости раз­деляющего слоя (но при больших размерах системы), прикиньте расход перетекания из верхнего пласта (см. рис. 2.7) в нижележащий (эксплуатируемый) водоносный горизонт, если средняя величина разности напоров (Н'~ Н) в радиусе 25 км от водозабора составляет 5 м, к = 10'⁴ м/сут, т_р = 10 м. Считайте при этом, что требуемая производительность водозабора 100000 м³/сут.

3. Плановая фильтрация в безнапорном пласте

Особенность этого случая заключается в том, что при снижении депрессионной кривой мощность пласта h из-

меняется, и в расчетный элемент пласта (рис. 2.8) посту­пают дополнительные объемы воды, обусловленные гра­витационной водоотдачей. Если скорость снижения де-

прессионной кривой равна ^то объем дополнительного

О Г

питания на единицу площади пласта в единицу времени равен:

(2.29)

где fx — коэффициент гравитационной водоотдачи.

Соответственно вместо дифференциального уравне­ния фильтрации (2.20) получаем

п —

Рис. 2.8. Схема к выводу уравнения плановой фильтрации в безна­порном пласте

Кроме того, в базнапорный пласт сверху поступает вода за счет инфильтрации, удельную величину которой (в единицу времени на единицу площади) обозначим че­резе. Тогда уравнению неразрывности вида (2.5) отвечает уравнение

d и дН\ , d // и & Н\ *дН dh

J_x b^hT_x) ⁺Fv [^ky^hTу) ^{+ £=}" T, ^+fllT,’

(2.31)

где — упругая водоотдача безнапорного пласта.

Так как Я = Zp + h /cos «, или при малых углах «,

характерных для условий безнапорной фильтрации,

д Я д h * *_/

а также ввиду того, что обычно fi » ц (см.

Раздел 1.4), выражением р

можно пренебречь.

а_я 1

dt

Рассматривая далее случай горизонтального водоупо- ра, будем отсчитывать от него значения напоров; тогда Я = h, и уравнение (2.31) примет вид (уравнение Буссине- ска)

Э ■ /, , dh\ д л г. dh\ dh

dx (^kxh dx) dy { y dy) ^ dt ■ (2.32)

Искомой здесь является функция h(x, у, z, t), так что в левой части уравнения коэффициенты при производ­ных зависят от искомой функции, т.е. они заранее неиз­вестны (чего, кстати, не было в уравнениях напорной фильтрации, где мощность пласта задана и не зависит от снижения напоров). Уравнения такого типа называются нелинейными; они существенно сложнее для аналитиче­ского и модельного исследования и поэтому на практике уравнение Буссинеска часто заменяют приближенным линейным уравнением. Для этого делается допущение, что проводимость к h - Т с понижением напора меняется пренебрежимо мало и может быть заменена некоторой средней величиной Т_ср = (к h)_cp, не зависящей от h (лине­аризация по Буссинеску); такой подход вполне правоме­рен, в частности, для типичной схемы двухслойного пла­ста (см. раздел 2.5.2).

ЗАМЕЧАНИЕ. Линеаризацию по Буссинеску можно применить и к более общему случаю безнапорной филь­трации при наклонном водоупоре, тогда уравнение (2.31)

дает:

JL {_T Мл ₊J_ (т M\₊c_=mM

dx dx) ⁺dy {*<** dy) ^+e P dt' (2.33)

что при e = О — формально идентично уравнению на­порной фильтрации (2.22).

Вторая возможность заключается в представлении

и .dh ,

правой части уравнения в виде h -^7, где п_ср — неко-

^Пср "^г

торая усредненная в пространстве и во времени мощность потока; тогда, введя новую функцию и = h /2, мы придем к линейному уравнению относительно и (линеаризация по Багрову-Веригину):

d /, d и\ . а /. а и\ и а и

dx ( х dx) dy ( з- dy) Kpdt' (2.33a)

На практике обычно исполльзуется линеаризация по Буссинеску, которая, как мы покажем позднее, дает хо­рошие результаты для широкого круга задач (см. раздел 2.5).

Для однородных и изотропных в плане пластов лине­аризованное уравнение Буссинеска может быть переписа­но в виде:

V²h+^-=-~,

Т_ср a dt' (2.34)

где

^й=7г* (2.35)

L

д

При линеаризации по второму способу

у2 1 д_и

^и к а dt' (2.36)

где

k-h

^a==-fi^C£-' (2.37)

Итак, в результате линеаризации уравнение безна­порной фильтрации становится формально идентичным

уравнению (2.22а) для напорной фильтрации . В связи с этим параметр а, по аналогии с коэффициентом пьезоп­роводности а¹, получил название коэффициента уров- непроводности; он отражает скорость распространения возмущений в безнапорных пластах. Так как обычно fi »fi, то из сравнения формул (2.35) и (2.23) следует, что в безнапорных пластах возмущения распространяют­ся существенно медленнее, чем в напорных системах (при одинаковых проводимостях примерно в Vfi/ц раз).

Полная математическая эквивалентность конечных уравнений напорного и безнапорного (при горизонталь­ном водоупоре и при отсутствии инфильтрации) движе­ния позволяет нам в дальнейшем приводить выводы и

обсуждения, главным образом, на примере решений для напорного режима. Соответствующие решения для безна­порной фильтрации можно получить, как это следует из приведенных уравнений, путем формальной замены

Н -*h (2.38)

для линеаризации по Буссинеску и бой задачи динамики подземных вод наряду с уравнения­ми, описывающими изучаемый процесс, необходимо за­ранее знать значения искомой функции или ее производ­ных на границах и в начальный момент времени — крае­вые условия для исследуемого дифференциального урав­нения . Благодаря наличию заданных краевых условий соблюдается требование однозначности решения: из множества решений дифференциального уравнения вы­бирается единственное, отвечающее исследуемой крае­вой задаче. Так как в наших задачах искомой функцией является напор Я, то краевые условия записываются для функции Я или ее производных.

Краевые условия задаются для конкретной обла­сти фильтрации — участка земной коры, приуроченного к водоносному горизонту (комплексу) и оконтуренного некоторыми гидродинамическими границами, причем применительно к данной задаче этот участок рассматри­вается как единая, гидравлически связанная система. Кра­евые условия делятся на начальные и граничные.

Начальные условия отвечают исходным напорам в пределах области фильтрации, т.е. напорам на начальный момент времени протекания изучаемого процесса. На­чальные условия должны быть заданы (обычно по резуль­татам измерения напоров в наблюдательных скважинах и их интерполяции) во всех точках области фильтрации в виде известной функции координат:

Я (х, у, Z, 0 |_{r =0} SЯ (х, у, 2, 0) =/_м (х, у, 2). ₍2 39)

Понятно, что начальные условия необходимы лишь при исследовании нестационарных процессов.

Граничныеусловия задаются для всех граничных то­чек области фильтрации (х_г, у_г, z_e) на весь период, рас­сматриваемый при решении данной задачи (основу для этого дают геологоструктурные представления, данные об орогидрографии, результаты опытно-фильтрационных работ и режимных гидрогеологических наблюдений). Как уже отмечено, речь здесь идет о гидродинамических гра­ницах, т.е. о некото­рых, вообще говоря, условных поверхно­стях, где фиксируют­ся те или иные иско­мые характеристики фильтрационного по­тока: скорости, напо­ры или связи между ними. Для того, чтобы лучше уяснить это не­сколько формализо­ванное определение, обратимся к приме­рам.