ТТТТ77~ГТ7ТТТ

ТТТТГ7/ Г/ТТГ

S'

На рис. 2.9,а пока­зана угленосная муль­да, перекрытая водо­упорными покровны- -Рис. 2.9. Схемы закрытого водоносно-

хлы n-rnn,vswuaxMiA- иг» го пласта (а) и безнапорного пласта с ми отложениями, во- _{границей} обеспеченного питания (б)

доносныи пласт углей

и закрытая граница является линий тока. Отметим, что в этом примере гидродинамические границы области филь­трации совпадают с геологическими границами пласта.

На рис. 2.9,6 показан двухслойный безнапорный пласт вблизи реки. При работе инфильтрационного водозабора (речная вода просачивается через пески) его расходы

^/дН} д п

(2.40)

=0,

ограничен водоупорными аргиллитами. При расчете дре­нажных скважин, пройденных на угольный пласт, обла­стью фильтрации является весь этот пласт, гидродинами­ческими границами области фильтрации служат его не­проницаемые контакты с водоупорными породами, . Гра­ницы такого рода мы, кстати, будем называть закрыты­ми, на них фиксируется нулевое значение скорости филь­трации v_n по направлению, перпендикулярному к грани­це; следовательно, согласно закону Дарси

обычно пренебрежимо малы в сравнении с расходами реки. Поэтому можно полагать, что уровни воды в реке и, следовательно, напоры на контуре ее дна практически не зависят от рассчитываемого инженерного сооружения (водозабора) и могут задаваться заранее — исходя из наблюдаемого или расчетного гидрологического режима:

^Нг=/(^хг.Уг.²г, О- (2.41)

Границу такого вида мы будем называть границей обеспеченного питания (здесь — контур дна реки) . За­метим, что водоносный пласт распространяется и за эту границу, так что в данном примере область фильтрации не совпадает с (геологической) областью распространения водоносного пласта; так, для расчета водозабора, распо­ложенного справа от реки, нет необходимости рассматри­вать картину фильтрации слева от нее; влияние водозабо­ра распространится лишь до реки, а уровень подземных вод за рекой не будет зависеть от его работы.

Далее справа на рис. 2.9,6 никаких возможных границ не указано. Это означает, что водоносный пласт распро­страняется здесь «очень далеко», точнее, что за период работы водозабора его влияние не распространится до правой границы пласта. В этом смысле мы здесь имеет дело с полуограниченной (в плане) областью фильтра­ции (говоря формально-математическим языком, правая граница удалена в бесконечность).

Наконец, продолжая обсуждение этого примера, за­метим, что нижняя граница области фильтрации (водо­упорная почва пласта) является здесь закрытой, а верхней границей служит депрессионная поверхность, вдоль кото­рой имеет место свободная инфильтрация с интенсивно­стью е на единицу площади пласта. Следовательно, здесь задано условие

ЗАДАЧА. Показать (рассуждением от противного), что При от­сутствии инфильтрации депрессионная кривая стационарного пото­ка является линией тока.

Кроме того, на свободной поверхности избыточное гидростатическое давление равно нулю и напор равен геометрической высоте, т.е. здесь задано дополнительное условие

(2.43)

Н ~ z.

На рис. 2.10,а показана совершенная водопонижаю­щая скважина с радиусом г_с в неограниченном (в плане) напорном пласте. Однако в этом примере у области филь­трации имеется внутренняя граница — контур скважины радиуса г_с. Если скважина откачивает воду с постоянным расходом Q_c, то, согласно закону Дарси

^удН}

Зг

‘дФ

3 п

2 ж^щТ'Г_

О =ко)'1, — 2 К'Г'к'Ш

г ?. ?. г

где ш_{ и 1_г

(2.44)

соответственно площадь граничного сечения и градиент на границе;

п

нормаль к границе, совпадающая с направле­нием радиуса г.

3 п

2п-г-Т'

<3 Я^Х

Следовательно, на рассматриваемой внутренней гра­нице задана нормальная производная функции Н:

(2.45)

В этом примере границей области фильтрации являет­ся, таким образом, контур инженерного сооружения.

На рис. 2.10,6 показан контакт аллювиальных песков (1) в долине реки с известняками (2). Область фильтра­ции является полу ограниченной (внешней границей слева служит река), но имеет внутреннюю границу — контакт водоносных пород с различными фильтрационными свой­ствами (граница раздела). Из условия неразрывности потока через эту границу получаем равенство скоростей фильтрации v_nl и v_n2, нормальных ей, или, по закону Дарси

^/зн}

д П

^/вн} д п

а

_П-_ГГГГГ7-_ГГГ7^_Т^

г**

5

ушшр I ^ ri'-IU^y II

Рис. 2.10. Схемы совершенной скважины в неограниченном пласте (а) и области фильтрации, содержащей границу раздела — кон­такт водоносных пород с различными фильтрационными свойст­вами (б)

xpiE^iiEr:

(2.46а)

Кроме того,

Рис. 2.11. Преломление линий тока на границе двух зон с различной проницаемостью

(индексы 1 и 2 относятся к соответственным точкам по разные стороны от границы).

ЗАДАЧА. Доказать аналогично известному закону преломления в оптике, что на контакте двух зон линии тока стационарного потока претерпевают излом (рис. 2.11) — в соответствии с формулой

tgO1 _k^

~ *2 ’ (2.47)

где 0J и $2— углы отклонения от нормали.

ЗАДАЧА. На рис. 2.12 показан карьер 2 вблизи реки 1, для защиты которого пройден ряд дренажных скважин 4. Нормально к реке проходят два непроницаемых сброса 3. Какова область фильт­рации: а) при прогнозах притоков в карьер, полностью вскрывающий водоносный пласт; б) при прогнозах работы дренажного ряда?

Приведенных примеров, очевидно, достаточно, чтобы мы могли далее оперировать понятиями область фильт­рации и гидродинамическая граница (далее —- просто граница). Одновременно мы познакомились с некоторы­ми видами граничных условий. Для более систематиче­ского использования граничных условий, при дальней­шем изложении введем следующую их классификацию, принятую в математической физике.

[Т] Граничные условия I рода — на границе задано значение напора (см. формулу (2.41)). Такие условия, в частности, характерны для (рис. 2.13,а-г) а — рек, водо­емов и других границ обеспеченного питания; б — естест­венных контуров стока, приуроченных к нижнему водо- vnopy водоносного пласта или определяемых уровнем в

водоеме; в — горных выработок, отметка выхода воды в которые также определяется отметкой нижнего водоупо- ра или отметкой дна выработки, или уровнем воды в затопленной выработке; г — скважин, работающих с за­данным на них напором (самоизливающих, поглощаю­щих и т.д.). Частным случаем границы I рода является граница с постоянным Напором.

Рис. 2.12. Схема области фильтрации

~2] Граничные условия II рода — на границе задано значение расхода или нормальной составляющей скоро­сти, точнее — нормальной производной . Такие

о п

* \ /^г условия наиболее характерны для закрытых границ (см.

формулу (2.40)) и для скважин, работающих с заданным

расходом, равным номинальной подаче установленного в

них насоса (см. формулу (2.45)); при этом расход Q_c

может быть и переменным во времени.

[71 Граничные условия III рода — на границе задана прямо-пропорциональная связь между расходом и напо­ром, точнее — между искомой функцией и ее нормальной производной:

'он'

д п

= а-Н_г+р,

где а и/? заданные постоянные.

-_Г^_Г-_Т~₇~уГ-.._/..у_{Г 7}«_Г-_?.^_Г

а

7"~7 " / ' *7—т—v—г

заранее не известны, то

-т~

"7““Г“Т“"Г~7—-} 7~Т

Рис. 2.13. Варианты границ пласта с условиями Iрода гг U

Так как значения Н_г и

д п

Н.-Н,

условие (2.48) является нелинейным (см. раздел 2,3). Условия третьего рода наиболее характерны для контак­тов водоносного пласта с относительным водоупором, че­рез который идет перетекание (см. рис. 2.7) или переток воды из открытого водоема (рис. 2.14), когда роль отно­сительного водоупора играет тонкий слой (мощностью т_п) илистых отложений с коэффициентом фильтрации к_п. Скорость перетекания, равная, по условию неразрывно­сти, нормальной компоненте скорости фильтрации в во­доносном пласте — на его границе с относительным воло- упором, — выражается в виде

(2.49)

где Н„ — заданный напор в водоеме,

Н_г — неизвестный напор в пласте, непосредственно под слабопроницаемым слоем).

Рис. 2.14. Схема разгрузки подземных вод в водоем с граничным условием III рода

Откуда получаем условие (2.48) при

к'т„ к-т„

К ft

Заметим, что граница водоема здесь не считается кон­туром обеспеченного питания и является, таким образом, примером границы, несовершенной не только по степени вскрытия, но и по характеру вскрытия: связь поверхно­стных вод с подземными вдоль границы не непосредствен­ная, не свободная, а усложненная наличием слабопрони­цаемых (экранирующих) отложений.

ЗАДАЧА. Покажите, с учетом выражения (2.26) для модуля питания на верхней границе нижнего водоносного пласта (см. рис.

К ~К'^Н

поп 1

московский 2

ДИНАМИКА ПОДЗЕМНЫХ 4

вод 4

О, = о_с-G„ =(Д„ — Д₀)(1 -n)-z=y,-z, 44

_/=^^а«.._с._й, ш 85

шшшш 145

^(4^)⁺f,(^r'5)^+£=°- 176

¹±шл ' 280

ДШш§ 443

[Т] Граничными условиями IV рода называют сово­купность условий (2.46) и (2.46а) на поверхности разде­ла.

В заключение напомним, что наряду с подобием диф­ференциальных уравнений (см. раздел 2.2.4) подобие краевых условий является необходимым признаком для математической аналогии, лежащей в основе моделирова­

ния геофильтрационных процессов. Отметим в этой свя­зи, что принципы обеспечения такого подобия для выде­ленных типов граничных условий на электрических мо­делях в большинстве своем достаточно очевидны из при­нятой аналогии (см. раздел 1.7). Так, условие первого рода моделируется заданным потенциалом на границе, условие второго рода — током заданной силы, подавае­мым на соответствующие участки границы , условия чет­вертого рода выполняются автоматически. Несколько сложнее обстоит дело с нелинейными условиями третьего рода, которые, согласно формуле (2.48), требуют подбора заданного соотношения между потенциалом и силой тока. Наконец, при моделировании профильных безнапорных потоков также приходится сталкиваться с нелинейностью на границе: само положение верхней границы потока - депрессионной кривой — оказывается зависящим от ис­комой функции; поэтому границу модели подбирают в процессе моделирования согласно условию (2.43). На­пример, на профильной бумажной модели бумагу посте­пенно подрезают до тех пор, пока во всех точках линий обреза не окажется выполненным условие (2.43).

5. Математическая модель плановой фильтрации — условия применимости и основные расчетные схемы

1. Об условиях применимости расчетной модели плановой фильтрации

Рассмотрим несколько характерных примеров, приве­денных на рис. 2.15. Все они выбраны нами потому, что характер граничных условий обусловливает существен­ное проявление вертикальных составляющих скорости (вкрест напластования), т.е. физически ясно, что фильт­рация в этих примерах, вообще говоря, неплановая.

Рис. 2.15. Схематическое представление линий тока и линий рав­ных напоров на участках, прилежащих к границам водоносных пла­стов:

а-в напорном пласте, вблизи открытого водоема; б-в безнапорном пласте, вблизи карьера; в - в напорном пласте, вблизи несовершенной скважины; г-в безнапорном пласте, вблизи совершенной скважины

Не будем, однако, торопиться с выводами и построим для этих примеров сетки движения (считая движение ста­ционарным). Проще всего это сделать на профильных моделях из электропроводной бумаги. При анализе по­строенных сеток мы убеждаемся в одной общей особенно­сти: с удалением от границ области фильтрации линии равных напоров становятся все ближе к вертикалям, а линии тока — к горизонталям; иначе говоря, фильтрация на удаленных от границ участках оказывается практиче­ски плановой. И эмпирически - на электрических моде­лях, и аналитически [27] можно показать, что даже в самых крайних случаях заметное проявление вертикаль­ных составляющих скорости в профильно однородных и изотропных пластах отмечается лишь на удалениях I х I от границ порядка мощности пласта. Итак, предпосылка о плановом характере фильтрации будет выполнена прак­тически всегда в области, где

Для профильно анизотропных пластов условия (2.50) принимают вид

Ixl > т VX/^7’ или Ixl >hVTT_x7к^ , (2.51)

где к_хик_г — коэффициенты фильтрации вдоль и вкрест напластования.

ЗАДАЧА. Для того чтобы уяснить смысл множителя Vk_y/k_z в фор­мулах (2.51), преобразуйте уравнение фильтрации в анизотроп­ной среде (уравнение (2.7)) к уравнению движения в изотропном

> _ X , у пласте; для этого введите новые переменные: х = ——; у =

, _ Z

²

Как мы знаем, в гидрогеологии чаще всего приходится сталкиваться со структурами, площадное распростране­ние которых во много раз превышает их мощность. Это позволяет считать расчетную модель плановой фильтра­ции практически удовлетворительной в подавляющем большинстве случаев. Польза этой модели для нас несом­ненна: благодаря ей мы вместо реальной трехмерной кар­тины фильтрации рассматриваем более простую двухмер­ную картину (или вместо профильной двухмерной — одномерную); соответственно, в дифференциальных уравнениях устраняется одна из независимых простран­ственных переменных, что, как правило, заметно облег­чает аналитическое или модельное исследование.

Вместе с тем, можно ожидать, что для точек вблизи границ водоносного пласта (особенно несовершенных по степени вскрытия) применение модели плановой фильтра­ции потребует каких-то корректирующих процедур.