Материал: Hydrogeodynamics101

времени, т.е. н**/(х, У, z). ^^ис- 2-5. Элементы сетки движе­ния:

1 - линии тока; 2 - линии равных напоров

Заканчивая на этом рассмотрение простейших эле­ментов гидродинамической типизации, заметим, что пока мы ничего не сказали о типизации границ фильтрацион­ных потоков и условий на них; этому вопросу будет по­священ раздел 2.4.

2. Построение основных дифференциальных уравнений геофильтрации и математические основы моделирования фильтрационных процессов

1. Дифференциальные представления исходных физических закономерностей

В основу построения математической теории движе­ния подземных вод должны, очевидно, лечь фундамен­тальные физические закономерности (частично уже отра­женные в гл. 1), которые могут быть формально представ­лены в виде некоторых — определяющих — уравнений. Первой из таких закономерностей является уравне­ние движения —- связь между потерей энергии и работой сил сопротивления, которая, как мы видели, для широко­го круга условий выражается законом Дарси (в диффе­ренциальной форме). Если бы мы учитывали в своей тео­рии и перемещения твердой фазы, то должны были бы записать уравнение движения и для минерального скеле­та.

Далее следуют уравнения состояния, отражающие возможный характер изменений физических свойств изу­чаемой нами среды по ходу фильтрационного процесса. К уравнениям состояния могут быть отнесены закон Гука

34. , отражающий зависимость плотности воды от гид­ростатического давления, и компрессионное уравнение

35. , описывающее связь пористости с эффективным давлением. В частных случаях несжимаемых фаз эти уравнения состояния принимают вид р = const и п = const.

Наконец, есть еще одна важнейшая закономерность (мы пока еще ее не касались) — условие сохранения массы жидкости, которое может быть выражено в матема­тической форме уравнением неразрывности. Для выво­да этого уравнения выделим в напорном водоносном ком-

л

У ' У*

>

у

'Ф

77Т7777Г

плексе некоторый малый элемент — кубик с ребра­ми dx, dy, dz (рис. 2.6,а) и составим баланс жидко­сти для этого элемента за некоторый малый отре­зок времени dt. Через за­днюю грань кубика выте- кает масса жидкости дМ_х =p-v_xdy dz dt, где v_x — составляющая ско­рости фильтрации в на­правлении оси х. Интен­сивность изменения мас­совой скорости pv_x при перемещении частиц в направлении х выражает­ся частной производнй

д (p'V ) Рис. 2.6. Схемы к выводу уравнений

—-—~ и, следовательно, неразрывности для напорного пла-

д х ста:

на отрезке dx ОТ задней я * общий случай; б - плановая фильтрация

грани до передней — мае- _г

dx\ че-

d(p-v_x)

совая скоростьр • v_x получит приращение —^—

рез переднюю грань из в^убика уходит масса жидкости

д (p-v_x)

^ ^{х) J}- dy dz dt.

pv_x +

dx

дМУ =

дх

Итак; разница между массами жидкости, вошедшей в кубик через заднюю грань и вытекшей из него через переднюю, равна

d(P'V_x)

(2.1)

dM=dMJ -дМУ = -

—г dx dy dz dt.

дх

Проводя аналогичные операции для направлений у и х, получаем разницу между массами вошедшей в кубик жидкости и вытекшей из него:

d(p-v_z)

dM =

— H -—X- н dx dy dt. ,ni «4

d x dy dz ^J (2.2)

Очевидно, что разница масс dM либо накапливается в пределах кубика (если dM положительна), либо получа­ется за счет уменьшения упругих запасов жидкости в нем (если dM отрицательна). Упомянутые упругие запасы, очевидно, равны дМ ~р-п dx dydz, а скорость из изме­нения во времени определяется частной производной

Следовательно, изменение упругих запасов жид­кости в кубике за время dt равно:

dM dx dy dz dt . ^ 3)

Приравнивая выражения (2.2) и (2.3), получим после сокращения

^dJ>:^v2 ._{= 0}

dx dy dz dt ' (2.4)

Это и есть конечное уравнение неразрывности.

замечание. Обратим внимание, что данный здесь вы­вод уравнения неразрывности можно без изменений по­вторить для расчетного элемента планового потока, вы­сотой т и площадью dx dy в пределах напорного пласта (см. рис. 2.6,6). При этом будет получено уравнение

д(р т -у_х) д (p m v_v) .

дх ду St (2.5)

где оси х и у лежат в плоскости напластования; т — мощность пласта; расходы жидкости

через верхнюю и нижнюю грани расчет­ного элемента (а следовательно, и чле­ны уравнения неразрывности, отвечаю­щие координате z) здесь равны нулю.

ЗАДАЧА. Подумайте, почему полностью идентичный вывод уравнения неразрывности для безнапорного пласта окажется некор­ректным (для ответа на этот вопрос вспомните о процессах, сопро­вождающих изменение во времени положения депрессионной повер­хности) .

Перечисленные здесь исходные закономерности об­разуют системы определяющих уравнений, из которых можно получить результирующие (т.е. объединяющие всю информацию о процессе) дифференциальные урав­нения фильтрации, содержащие в качестве единственной неизвестно (искомой) функции напор Н; в общем случае функция Н зависит от трех пространственных координат и от времени: H=f(x, у, z, t). Коэффициентами и свобод­ными членами в этих уравнениях могут служить, в част­ности, гидрогеологические (фильтрационные) параметры (см. раздел 1.6) и показатели интенсивности питания или разгрузки потока.

Начинать представление дифференциальных уравне­ний фильтрации следует, естественно, с простейших гид­рогеологических условий; согласно проведенной в разде­ле 2.1 типизации расчетных моделей, таковыми являются условия движения в изолированном напорном пласте, в котором отсутствует дополнительное площадное питание и не проявляется гравитационная емкость.

2. Расчетная модель жесткого режима фильтрации

Сделаем дополнительные упрощения, предположив, что порода и вода несжимаемы, т.е. уравнения состояния имеют вид р = А и п- В, где А и В не зависят от времени. Тогда в уравнении неразрывности пропадает временная производная. Если, кроме того, считать, что интенсив­ность пространственной изменчивости плотности жидко-

/ dp & ^vx \

сти очень мала ^<</01Г.х’ "'г ^{т0 из вы}Р^ажения

4. получаем

д v_y д v_v д v

— -I -У- = о

дх ду dz ' (2.6)

Подставляя сюда закон Дарси (1.58), имеем резуль­тирующее уравнение для жесткого режима фильтрации :

/- +Г- +# (к¥) =о• „7,

дх\^хдх) ду\Уду} dz\^zdz) (2.7)

Если пласт является однородным и изотропным (к_х = к_у = k_z — к - const), то уравнение (2.7) принимает вид

V²tf= 0, (2.8)

где V²# = —^-~2 + —-—2 + -г—2 —обозначение суммы вторых

д²Н д²Н д²Н

дх² ду² dz^:

производных, именуемое оператором Лапласа для функции И.

Уравнение в частных производных вида (2.8), назы­ваемое уравнением Лапласа, широко исследовано в раз­личных отраслях математической физики. Так как в даль­нейшем нам потребуется уравнение Лапласа в основном для двухмерных и одномерных движений, то приведем соответствующие выражения оператора Лапласа:

[1Г в двухмерном случае, когда процесс описывается двумя пространственными координатами (х, у):

дх² ду² (2.9)

в одномерном случае плоскопараллельного дви­жения вдоль оси х:

V²// = 0JL •

дх²' (2.10)

[У] в одномерном случае плоскорадиального движе­ния, зависящего от одной координаты г:

v²tf=I. э (_ГМ\

(2.11)

т дт \ дт)

Уравнения жесткого режима фильтрации не содержат времени в явном виде. Следовательно, при неизменных во времени напорах на границах выделенного участка движение жидкости в пределах этого участка должно быть стационарным: Н=/(х, у, z). Физически это означает, что сам водоносный пласт воды не отдает и не принимает (вся вода проходит транзитом от контура питания к контуру стока). При этом реакция на любое возмущение на грани­це участка мгновенно распространяется по вещему пласту как в абсолютно жесткой физической системе .

Понятно, что модель жесткого режима фильтрации, будучи приближенной, дает приемлемые результаты, ког­да транзитный поток резко превышает объемы воды, по­ступающие за счет упругих запасов пласта. Поэтому в целом точность этой модели оказывается обычно тем меньшей, чем больше размеры изучаемой водоносной системы, т.е. модель может быть приемлемой для расчетов систем с близко расположенными границами питания.

3. Расчетная модель упругого режима фильтрации

Эта, более общая, модель учитывает сжимаемость пласта и воды, т.е. уравнения состояния имеют вид (1.34) и (1.35). Будем по-прежнему считать, что ввиду малости значений скорости фильтрации (v_x, v_y, v_z) и пространст­во др др\

венной изменчивости плотности произведе­

нием соответствующих величин можно пренебречь: d(p-v_x) dv_{x др} dv_x

дх ^р дх ^Хдх ^р дх (2.12)

И т.д.

Уравнения состояния находят свое суммарное отра­жение в зависимости (1.38), включающей коэффициент упругоемкости; переписывая ее для единичного кубика, содержащего массу жидкости М₀ —рп, получим

dM_n * _п-—= w^tf,

К ¹ (2.13)

откуда

dip п) ~prj*dH, (2.13а)

т.е.

д(рп) *д Н dt ~Р*¹ ~dt' (2.136)

Подставляя выражения (2.12) и (2.13,6) в уравнение неразрывности (2.4), после сокращения на р получим

дх dy dz ^ dt ’ (2.14)

а с учетом закона Дарси приходим к результирующему уравнению:

JL /_{к +} А. (_к , А. (_к !Л\ =„А^Н

д дс ( * дх) dy \ ? dy) dz\^zdz) У dt

(2.15)

Для однородного изотропного пласта

Vfr = i~r,

a At (2.16)

где

* к а = —*

t)* (2.17)

Уравнение вида (2.16), называемое уравнением Фурье, широко исследовано в теории теплопроводности.

Таким образом, в отличие от жесткого режима движе­ния в напорном пласте, уравнения упругого режима на­порной фильтрации содержат приозводную по времени, т.е. в этом случае Н = Н(х, у, z, t) и движение является нестационарным. Физически это означает, что по мере уменьшения напоров во времени в водоносном пласте постепенно срабатываются его упругие запасы. Высво­бождающиеся при этом объемы воды «вкладываются» в общий баланс фильтрационного потока в водоносном пласте. Реакция от возмущения напоров на границе или в какой-либо области рассматриваемого пласта распрост­раняется от этой границы (области) по пласту постепенно, причем скорость распространения тем больше, чем выше проницаемость и чем меньше упругоемкость горной по­роды. Следовательно, отношение а =~¹ является пока­зателем скорости изменения напора (гидростатического

давления) в пласте. Соответственно величина а* полупи­ла название [36] коэффициента пьезопроводностй; ее размерность (L²/T): м/сут, см /с. Например, для напор­ного пласта, сложенного песком с характерными значени­ями к- 10 м/сут, r}*= 10"⁴ м'¹, получаем а* = 10⁵ м²/сут, для глинистых пород с характерными значениями к =

0,001 м/сут, rj*= 10~³ м'¹ имеем а = 1 м²/сут.

В дальнейшем мы узнаем, что размещл области влияния того или иного возмущения пропорциональны УаЧ. Следовательно, из при­веденного примера понятно, что в водоносных слоях фильтрацион­ное возмущение передается со скоростями на несколько порядков большими, чем в водоупорных.

3. Подобие дифференциальных уравнений

как основа математического моделирования фильтрации

Так как исходные уравнения состояния, движения и неразрывности лежат в основе математического описания фильтрационного процесса, то формальная идентичность полученных в этом параграфе уравнений дифференци­альным уравнениям какого-либо иного процесса может рассматриваться необходимым признаком для математи­ческой аналогии (наряду с идентичностью краевых усло­вий — см. раздел 2.4)*. Так, применительно к электромо­делированию стационарных фильтрационных процессов эта аналогия ясна из сопоставления уравнения жесткого

режима фильтрации (2.7) и уравнения стационарного электрического тока:

(^с-т

(C_z~~\ = 0 \^zdz_M) (2.

+ с„ ду,

+