Материал: Hydrogeodynamics101

О С? О \ /° О

<? V* У О

О С? С?

^ о о ООО о О О с> о о

Рис. 3.5. Схема одномерной фильтрации в планово-неоднородном пласте

Но для однородного пласта с расчетной проводимостью Т_р и длиной L_p

Q

Н)-Н₂

Следовательно, расход неоднородного пласта равен расходу од­нородного при условии

(3.19)

L = V — ^р ih^Ti

Итак, неоднородный пласт можно заменить однородным с про­водимостью Т. если ввести расчетные значения длины пути фильт­рации по каждому участку:

Т

I =-£•/•

(3.20)

tp т. i ’

I

Такой прием, по имени его автора, носит название принципа виртуальных длин Павловского.

ЗАДАЧА. Получите методом фрагментов следующую зависи­мость Г.Н.Каменского для определения усредненного коэффициента фильтрации к слоистого разделяющего пласта мощностью т. через который идет перетекание:

m.

P n

E О A) / — 1

где m_i и k_i — мощность и коэффициент фильтрации отдельных сло­ев. Сравните полученную формулу с зависимостью п

к ~^2d m/m.), непосредственно вытекающей из первой форму-

i = 1

лы (2.53) для плановой фильтрации в слоистом пласте. Объясните различия в структурах формул с физических позиций.

7. Безнапорное движение между двумя бассейнами (реками) в однородном пласте с наклонным водоупором при отсутствии инфильтрации

Согласно выражению (2.32), дифференциальное уравнение, описывающее процесс (рис. 3.6), имеет вид

(3.21)

£«)= о-

где напор Я отсчитывается от горизонтальной плоскости сравнения ММ, проходящей через начало координат.

Рис. 3.6. Схема безнапорной фильтрации при наклонном водоупоре: 1 - депрессионная кривая; 2 - поверхность уровня расчетного равномерного потока

Безнапорная фильтрация обычно отмечается лишь при неболь­ших углах наклона пластов — порядка нескольких градусов, так как

при больших уклонах безнапорный режим с погружением пласта быстро сменяется напорным. Тогда

^н(х) = а£а +²в(*)~^Л(*) +z_e(x)=h(x) + ix,

где z_e — ордината водоупора, i = sin CL Уравнение (3.21) принимает вид

(3.22)

откуда

Отсюда видно, что при наклонном водоупоре градиент безнапор­ной фильтрации определяется не только изменением мощности по­тока, но и уклоном водоупора. Следовательно, движение в этом слу­чае возможно и при постоянной мощности потока — в отличие от случая горизонтального водоупора. При h = const скорости потока во всех сечениях остаются постоянными. Расход такого равномерно­го потока

(3.24)

q=k'h₀’i,

где через h₀ обозначена постоянная мощность равномерного потока с тем же расходом, что и исходный неравномерный поток, описывае­мый уравнением (3.21).

Тогда

h {dh/dx)+ih = i'h_D,

или

Разделим переменные:

Интегрируем по х в пределах от 0 до х и соответственно W в ^h2

пределах от — до Т]:

о

Jd_V-=

dx;

V

о 0

Ъ Vi

П. ₌ _

Ъ

t?-r?₂+ln_T

(3.25)

Для определения rf (x) и построения депрессионной кривой по

^hi

этому уравнению необходимо сначала, положив х = Lnrf =г). = -г-,

^h2

определить из него h_Q. Расход потока определяется формулой (3.24).

Анализируя уравнение (3.25), связанное с именем Н.Н.Павлов- ского, нетрудно показать, что его решения существуют и при TJ < 1, и при 7] > 1, т.е. для рассмотренного случая прямого уклона водоупо- ра (уклон совпадает с направлениями движения) возможны два типа депрессионной кривой (рис. 3.7):

jT] кривая спада (см. рис. 3.7,а), коща мощность потока убы­вает по направлению движения (rf< 1);

|~2 | кривая подпора (см. рис. 3.7,6), коща мощность растет по направлению движения 0] > 1).

При обратном уклоне водоупора (i < 0) возможна только кривая спада (см. рис. 3.7,в).

ср

ЗАМЕЧАНИЕ. Для приближен­ных оценок расхода можно получить решение рассмотренной задачи как для напорного пласта с усредненной мощностью т = (h_{ +h^)l 2 и усред­ненным градиентом I _п - (Я, — Н₂)1Ь:

д=к‘т_ср-1_ср

2L

В

(3.26)

Рис. 3.7. Схемы безнапорной филь­трации при наклонном водоупоре

2. Плоскорадиальная (одномерная) стационарная фильтрация

Плоскорадиальная фильтрация наиболее характерна для участков вблизи водопонижающих скважин.

1. Задача о фильтрации к скважине в круговом пласте

^7^/777/7X7777,

На рис. 3.8 по­казана скважина, откачивающая воду с постоян­ным расходом Q_c и расположенная в центре круглого острова, по всей площади которо­го распространен

Рис. 3.8. Схема напорной фильтрации к изолированный скважине в круговом пласте однородный на­

порный пласт.

ВОПРОС. Чем вызвана столь идеализированная постановка за­дачи? Почему, например, не сместить скважину относительно цент­ра острова?

Вода из бассейна поступает в скважину по радиальным траекториям, т.е. движение носит одномерный характер (зависит от одной координаты г).

Уравнение (2.20а), с учетом выражения (2.11) для оператора Лапласа в плоскорадиальном случае приводит к исходному дифференциальному уравнению:

dH

а / ап\ _л

7r(^rW>=⁰’

(3.27) где Н * Н(г).

Граничные условия с учетом формулы (2.45) имеют

вид

гг (п \ — IS dH I

V д) о; dr Iг-г_с 2 71'Т'Г_С ’ (3.28)

где г_с — радиус скважины.

Решение:

[Т] интегрируем уравнение (3.27) по г:

dH _п ^r4F^=C''

разделяем переменные и еще раз интегрируем:

<Я/=С, —,

1 _г

с Q-.

¹ 2 л-7”

dH — Cj In г + С₂ — общее решение уравнения; используем граничные условия:

н₀ = б-l 1» R, + с₂;

Q_c

С,

In Я,

2п-Т-г'

^С2 ^Яо 2яТ

а

подставляем Cj и С₂ в общее решение:

Qr г Н (г) = In ~ + Я₀ —

^w 2л-Т R_d ⁰ (3.29)

искомое решение задачи (пьезометрическая кривая явля­ется логарифмической линией). В частности, напор на контуре скважины

Q ^г

H,.=Tr^~ln-i£- +н_а,

' 2 л-Т Я_д (3,30)

т.е. формулу для Н(г) можно записать также в виде

Я(г) = Yjff^1пг ~ ^{1п г}о^+Нс~ 2л Т^{1п г + С} ’

(3.31)

где С зависит от условий на скважине. Последнее выраже­ние дает наиболее общую структуру решения задач пло­скорадиальной фильтрации вблизи скважин, работающих с постоянным расходом; оно удовлетворяет и уравнению

27. , и второму граничному условию в (3.28).

Если, наоборот, скважина работает в режиме заданно­го напора Н_с, то из формулы (3.30) получаем

_л _2яТ(Я₀-Я_с)_27tT S_c

^Qc In (Л/^Гс) In (^RAc) ’ (3.32)

где S_C⁼=H₀ — H_c — понижение напора в скважине.

ЗАДАЧА. Найти аналитическое выражение для оценки зависи­мости скорости фильтрации от расстояния до скважины.

Подстановкой (2.38а) получаем аналог последней формулы для безнапорного режима движения:

In (R_s /г_с) (3.33)

выражение, известное как формула Дюпюи для скважи­ны. Для этой формулы можно повторить все, что говори­лось о формуле Дюпюи и о промежутке высачивания в плоскопалаллельном случае (см. раздел 3.1.3).

ЗАМЕЧАНИЕ. Для реальных скважин дополнительный разрыв уровней на стенке скважины может быть обуслов­лен сопротивлением фильтра. Этот фактор мы пока не рассматриваем.

ВОПРОС. Почему приведенные здесь формулы нельзя исполь­зовать для расчета работы скважины в неограниченном пласте, когда вокруг скважины образуется круговая зона влияния радиуса №