Материал: Diff_lektsii__1

Вернемся к рассмотренной системе (3.4). Из теоремы 3.2 следует, что множество всех решений этой системы имеет вид

где c1, c2 – произвольные постоянные.

В общем случае задача построения ф.с.р. линейной однородной системы (3.3) в явном виде неразрешима. Она разрешима в том важном частном случае, когда матрица P (x) постоянна. Рассмотрим систему

где A – постоянная вещественная матрица размера n × n. Будем искать решение Y(x) системы (3.7) в виде

где γ – n-мерный вектор-столбец, а λ – постоянное (в общем случае комплексное) число.

Конечно, у системы (3.7) всегда есть решение Y(x) ≡ 0, поэтому имеет смысл искать только ненулевые решения. Таким образом, будем искать решение вида (3.8) с γ 6= 0.

Запишем вектор-функцию (3.8) так:

Так как eλx не обращается в 0, равенство (3.10) равносильно равенству

Aγ = λγ,

знакомому из курса алгебры [2]. Итак, показано, что вектор-функция вида (3.8) является решением системы (3.7) тогда и только тогда, когда λ – собственное число матрицы A, а γ – соответствующий собственный вектор.

Метод нахождения решений системы (3.7) в виде (3.8) называется методом Эйлера. Дальше подробно опишем применение метода Эйлера к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

35

Для систем вида (3.7) ограничимся лишь тем случаем, когда матрица A имеет n различных и вещественных собственных чисел λ1, ..., λn. Можно доказать, что соответствующие им собственные векторы γ1, ..., γn линейно независимы. Ранее показано, что система (3.7) в таком случае имеет n

решений

Y1(x) = γ1eλ1x, ..., Yn(x) = γneλnx.

Эти решения образуют ф.с.р. системы (3.7), так как

Y1(0) = γ1, ..., Yn(0) = γn,

а эти векторы линейно независимы.

Собственные числа матрицы

1 −1

24

равны λ1 = 2, λ2 = 3, а соответствующие им собственные векторы –

Таким образом, ф.с.р. системы (3.11) такова:

а ее общее решение имеет вид

Y(x) = c1e2x + c2e3x . −c1e2x − 2c2e3x

Рассмотрим теперь неоднородную линейную систему (3.2).

Теорема 3.3. Пусть Y1(x), ..., Yn(x) – ф.с.р. системы (3.3), а Z(x) – некоторое решение системы (3.2). Тогда для любого решения Y(x) системы (3.2) найдется (и притом единственным образом) набор постоянных c1, ..., cn, такой, что

Доказательство. Так как Y(x) и Z(x) – решения системы (3.2), выполнены равенства:

Y0(x) = P (x)Y(x) + Q(x),

Z0(x) = P (x)Z(x) + Q(x).

36

Введем функцию U(x) = Y(x) − Z(x). Вычитая второе равенство из первого, получаем

U0(x) = Y0(x) − Z0(x) = P (x)(Y(x) − Z(x)) = P (x)U(x).

Таким образом, U(x) – решение однородной системы (3.3). По теореме 3.2

Понятно, что формула (3.12) получается из равенства (3.13) переносом Z(x) в правую часть. Теорема доказана.

Формула (3.12) называется общим решением системы (3.2). Далее покажем, что, зная ф.с.р. системы (3.3), всегда можно найти некоторое решение Z(x) системы (3.2) и, следовательно, построить ее общее решение.

К системе вида (3.1) сводится линейное дифференциальное уравнение

Предполагаем, что функции p1(x), ..., pn(x), q(x) заданы и непрерывны на одном и том же промежутке (a, b). Применяя описанный в гл. 2 процесс сведения дифференциального уравнения порядка n к нормальной системе, получаем систему с неизвестными функциями z1(x), ..., zn(x) вида

37

Тогда система (3.15) запишется в виде

Z0 = P (x)Z + Q(x).

В гл. 2 было показано, что если y(x) – решение уравнения (3.14), то набор

– решение системы (3.15), и наоборот, если z1(x), ..., zn(x) – решение системы (3.15), то функция y(x) = z1(x) – решение уравнения (3.14), для которого выполнены соотношения (3.16).

Из теоремы 3.1 следует, что для уравнения вида (3.14) справедлива следующая теорема существования и единственности.

Теорема 3.4. Предположим, что функции p1(x), ..., pn(x), q(x) заданы и непрерывны на одном и том же промежутке (a, b). Тогда:

1) для любой точки x0 (a, b) и для любого набора чисел y0, y00 , ..., y0(n−1) существует решение y(x) уравнения (3.14), определенное на (a, b) и такое, что

y(x0) = y0, y0(x0) = y0, ..., y(n−1)(x0) = y0(n−1);

2)если y1(x), y2(x) – решения уравнения (3.14), определенные на (a, b),

исуществует точка x0 (a, b), такая, что

y1(x0) = y2(x0), y10 (x0) = y20 (x0), ..., y1(n−1)(x0) = y2(n−1)(x0),

то y1(x) ≡ y2(x) на (a, b).

Далее, говоря о решениях уравнения (3.14), будем иметь в виду решения, определенные на (a, b).

Уравнение (3.14) называется однородным, если q(x) ≡ 0 на (a, b), т. е.

Если q(x) 6≡0, то уравнение (3.14) называется неоднородным. Понятно, что однородному уравнению (3.17) соответствует однородная система (3.15), у которой q(x) ≡ 0, неоднородному – неоднородная.

Из описанных ранее свойств линейных однородных систем вытекает, что любая линейная комбинация решений уравнения (3.17) является его решением, а все множество решений уравнения (3.17) является линейным пространством.

Будем говорить, что набор n решений y1(x), ..., yn(x) уравнения (3.17) является его фундаментальной системой решений (дальше – ф.с.р.), если

38