Материал: Diff_lektsii__1

Теорема 3.12 (о дифференцировании оригинала). Если у фун-

кции-оригинала f(x) есть производная f0(x),также являющаяся функци- ей-оригиналом, и f(x) 7→F (s), Re s > σ1, f0(s) 7→F1(s), Re s > σ2, то

Доказательство. Для интеграла в выражении

+∞

Z

f0(x) 7→ f0(x)e−sx dx

0

применим формулу интегрирования по частям (3.54), полагая v = e−sx и u = f(x) (тогда dv = −sesx dx, du = f0(x) dx):

Заметим, что

e−sxf(x) → f(0)

при x, стремящемся к 0 справа, и

e−sxf(x) → 0 при x → +∞

в силу определения области D для преобразования Лапласа. Таким образом,

+∞

Z

f0(x) 7→s f(x)e−sx dx − f(0) = sF (s) − f(0),

0

что и требовалось доказать.

Используя полученную формулу (3.55), можем находить изображения старших производных функций-оригиналов. Так, например, если

f(x) 7→F (s), f0(x) 7→F1(s),

то, дважды применяя формулу (3.55), получим

f00(x) = (f0(x))0 7→sF1(s) − f0(0) = s(sF (s) − f(0)) − f0(0) =

=s2F (s) − sf(0) − f0(0)

ит. д. Выведите самостоятельно формулу для изображения функции f000(x). Рассмотрим теперь задачу,обратную задаче нахождения изображения

по Лапласу для функций-оригиналов – нахождение функции-оригинала по

61

заданному изображению. Остановимся при этом на важном для приложений классе функций.

Оригиналы правильных рациональных дробей.

В математическом анализе рассматривают функции вида

где Pn(s) и Qm(s) – многочлены от s степеней n и m соответственно. Их называют дробно-рациональными функциями (или рациональными дробями). Если m > n, дробно-рациональная функция (3.56) называется правильной. Дробно-рациональные функции вида

где A, B, a, b – вещественные числа, называют простейшими.

Известно, что любую правильную дробно-рациональную функцию можно представить, и притом единственным способом, в виде суммы простейших дробей.

Из приведенных теорем и примеров следует, например, что

Aeax sin(bx)δ1(x) 7→ Ab

(s − a)2 + b2

(объясните!).

Примеры. Будем искать функции-оригиналы лишь при x ≥ 0, поэто-

му множитель δ1(x) будет опускаться.

3 1. F (s) = s − 2.

Так как e2x 7→s −1 1,

f(x) = 3e2x.

4s + 1

2. F (s) = (s − 2)2 + 4.

62

Представим

F (s) = F1(s) + F2(s),

где

s − 2

F1(s) = 4(s − 2)2 + 4,

Применение операционного метода позволяет сводить решение некоторых дифференциальных уравнений к решению простых алгебраических задач. Рассмотрим пример.

Пример. Найти решение задачи Коши с начальными данными y(0) = 1, y0(0) = −2 для дифференциального уравнения

y00 − 3y0 + 2y = e−3x.

Будем считать, что x ≥ 0, и обозначим через y(x) искомое решение. Пусть y(x) 7→Y (s),

тогда

y0(x) 7→sY (s) − y(0) = sY (s) − 1,

y00(x) 7→s2Y (s) − sy(0) − y0(0) = s2Y (s) − s + 2.

Применяя преобразование Лапласа к рассматриваемому дифференциальному уравнению и учитывая, что

e3x 7→s −1 3,

приходим к следующему (алгебраическому!) уравнению для Y (s):

s2Y (s) − s + 2 − 3sY (s) + 3 + 2Y (s) = 1 s − 3

или

(s2 − 3s + 2)Y (s) = s − 5 + s −1 3.

63

Приравняем (3.57) и (3.58), приведем выражения слева и справа к общему знаменателю и выпишем числители:

A(s − 2)(s − 3) + B(s − 1)(s − 3) + C(s − 1)(s − 2) = (s − 5)(s − 3) + 1.

Подставим в это равенство s = 1, 2, 3:

s = 1 : 2A = 9, A = 92;

s = 2 : −B = 4, B = −4;

s = 3 : 2C = 1, C = 12.

Следовательно,

откуда

y(x) = 92 ex − 4e2x + 12 e3x

(объясните!).

Рассмотрим теперь один важный класс линейных дифференциальных уравнений порядка n – линейные уравнения с аналитическими коэффициентами. Предположим, что в уравнении (3.14) коэффициенты p1(x), ..., pn(x) и функция q(x) разлагаются в степенные ряды:

k=0

сходящиеся в некоторой окрестности точки x0. Справедливо следующее утверждение.

64