Материал: Diff_lektsii__1

на рис. 1.2.

Y

. . . . .

Рис. 1.2

Заметим, что для рассматриваемого уравнения на всех прямых y = const углы наклона отрезков поля направлений сохраняют постоянное значение, равное arctg(y).

Определение . Множество точек D, для которых угол наклона отрезков поля направлений один и тот же, называется изоклиной дифференциального уравнения (1.1) (или его поля направлений).

Таким образом, все прямые, параллельные оси абсцисс, служат изоклинами поля направлений уравнения y0 = y.

Зная изоклины дифференциального уравнения, иногда бывает нетрудно нарисовать эскиз его интегральных кривых.

Замечание. Множество D плоскости R2 называется областью определения (задания) дифференциального уравнения (1.1). Если область D не указана, то считается, что она совпадает с “естественной” областью определения функции f(x, y). Например, для уравнения

y0 = xy

областью определения служит вся плоскость R2, а для уравнения

y0 = ln(y) x

область определения задается условиями x 6= 0, y > 0, т. е. состоит из объединения двух множеств

D1 = {−∞ < x < 0, 0 < y < +∞},

D2 = {0 < x < +∞, 0 < y < +∞}.

Поскольку интегральная кривая всегда задана на некотором интервале (α, β) вещественной оси, любая интегральная кривая последнего уравнения лежит либо в D1, либо в D2 (“перескочить” из D1 в D2, минуя прямую

5

x = 0, на которой уравнение не определено, интегральная кривая не может). Поэтому при изучении данного уравнения в общем случае его следует рассматривать по отдельности в каждой из областей D1, D2. Это относится ко всем уравнениям с подобными “разрывными” областями определения.

Далее будем предполагать, что область определения D уравнения (1.1) является открытым прямоугольником (a, b) ×(c, d) плоскости R2, т. е. множеством вида

D = {a < x < b, c < y < d}.

При этом a и c могут принимать значение (−∞), а b и d – (+∞) (как, например, в только что рассмотренном примере).

Одним из простейших типов дифференциальных уравнений 1-го порядка является уравнение

Из курса математического анализа следует, что решениями уравнения (1.3) служат все первообразные функции f(x) и только они.

Пример. Рассмотрим уравнение

y0 = cos(x).

Его решения есть y(x) = sin(x) + C, где C – любая постоянная.

Уже разобранные примеры показывают, что дифференциальное уравнение (1.1) имеет в общем случае бесконечно много различных решений. Можно поставить задачу: найти все решения дифференциального уравнения, однако чаще из всего множества решений требуется найти одно, удовлетворяющее определенным условиям.

Зафиксируем в области D определения дифференциального уравнения (1.1) некоторую точку (x0, y0). Поставим задачу: найти такое решение

Данную задачу называют задачей Коши для уравнения (1.1) с начальным условием (1.4). Таким образом, решению задачи Коши (1.1)–(1.4) (указываются дифференциальное уравнение и начальное условие) соответствует та интегральная кривая, которая проходит через точку (x0, y0) (рис. 1.3).

Y. .

...

D

.

y0 . . . . . . . .. . . . .

.

.

.

...

. .

..... .

.

0 x0 X

Рис. 1.3

6

(

y0 = f(x),

y(x0) = y0, y0 R

служит функция

x

Z

y(x) = y0 + f(t) dt, x (a, b).

x0

Используя свойства первообразных непрерывной функции, докажите, что других решений эта задача Коши не имеет.

В разобранном примере задача Коши корректна, т. е. у нее есть решение и притом единственное. В теории дифференциальных уравнений корректность задачи Коши устанавливается с помощью специальных теорем. Сформулируем без доказательства одну из наиболее общих теорем этого класса.

Теорема 1.1 (существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка).

Пусть в области D непрерывны функции f(x, y) и fy0(x, y). Тогда для любой точки (x0, y0) D существует единственное решение y = y(x) задачи Коши (1.1)–(1.4), заданное на некотором интервале (α, β), содержащем точку x0.

Теорема означает, что при выполнении ее условий через каждую точку области D проходит одна и только одна интегральная кривая дифференциального уравнения (1.1).

Заметим, что теорема 1.1 носит локальный характер, т. е. гарантирует существование решения лишь в некоторой окрестности точки x0. Проблема оценки величины промежутка (α, β) существования решения достаточно сложна и выходит за рамки изучаемого курса. Важно, что промежуток этот в общем случае зависит от точки (x0, y0). Например, решением задачи Коши

(

y0 = y2, y(0) = 1

1

является функция y(x) = 1 − x, x (−∞, 1), а решением задачи Коши

(

y0 = y2, y(0) = −1

7

– функция y(x) = −1 +1 x, x (−1, +∞) (проверьте!).

Проверка условий теоремы 1.1 в большинстве случаев достаточно проста, а сами условия существенны. Покажем, например, важность непрерыв-

непрерывность нарушается во всех точках вида (x, 0). Таким образом, в окрестности начальной точки (0, 0) условия теоремы 1.1 не выполняются. При этом поставленная задача Коши имеет два решения y1(x) ≡ 0 и y2(x) =

= 271 x3 (нет единственности решения!).

Теорема 1.1 используется не только как обоснование корректности задачи Коши. Во многих случаях она может дать дополнительную информацию о свойствах решений дифференциальных уравнений. Например, рас-

В данном случае функция f(x, y) = sin(y) и ее частная производная по y, равная cos(y), непрерывны в окрестности любой точки (x0, y0) R2, т. е. через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая уравнения (1.5). Очевидно, что это уравнение имеет семейство решений y(x) = kπ, k Z, которые разбивают всю плоскость на полосы шириной π, параллельные оси абсцисс. При этом, если начальная точка (x0, y0) принадлежит некоторой полосе, т. е. kπ < y0 < (k + 1)π, то решение y = y(x) задачи Коши

(

y0 = sin(y), y(x0) = y0

остается в этой полосе при всех x, т. е. kπ < y(x) < (k + 1)π (ни одну из прямых – решений y(x) = kπ, k Z, никакая другая интегральная кривая пересечь не может). Таким образом, установлена ограниченность любого решения дифференциального уравнения (1.5). Кроме того, поскольку в каждой из указанных полос sin(y) сохраняет знак, любое решение уравнения (1.5), отличное от постоянной, является строго монотонной функцией.

Сформулированная теорема существования и единственности решения задачи Коши может быть доказана с помощью так называемого метода последовательных приближений. Идея его состоит в следующем.

8

Возьмем произвольную дифференцируемую функцию y1(x), удовлетворяющую условию y1(x0) = y0, и решим задачу Коши

(

y0 = f(x, y1(x)), y(x0) = y0.

Как следует из разобранного ранее примера, ее решением служит функция

После этого решается задача Коши

(

y0 = f(x, y2(x)), y(x0) = y0.

Ее решение обозначим y3(x) и т. д. На n-м шаге решается задача Коши

(

y0 = f(x, yn(x)), y(x0) = y0.

Таким образом, получается последовательность функций {y1(x), y2(x), ..., yn(x),...}. Доказывается, что в некотором интервале |x −x0| < h эта последовательность сходится к функции, являющейся решением задачи Коши (1.1)–(1.4), и что это решение задано и единственно на указанном интервале.

Пример. Рассмотрим задачу Коши

(

y0 = y, y(0) = 1.

Ее решением является функция y(x) = ex. Применим описанный ранее метод последовательных приближений. Пусть y1(x) ≡ 1 (начальное условие y(0) = 1 удовлетворено). Решаем задачу Коши

(

y0 = 1, y(0) = 1.

Ее решение

9