Материал: Diff_lektsii__1

1.1. Уравнение с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называют дифференциальное уравнение первого порядка вида

в котором функция p(x) предполагается непрерывной на интервале (a, b), а q(y) – непрерывно дифференцируемой на интервале (c, d). В прямоугольнике

D = {(x, y) | a < x < b, c < y < d}

для уравнения (1.6) выполнены все условия теоремы 1.1 и, следовательно, через каждую точку (x0, y0) D проходит единственная интегральная кривая этого уравнения.

Нетрудно видеть, что если q(y0) = 0, то решением уравнения (1.6) является функция

Поэтому при поиске решений уравнения (1.6) прежде всего находят нули функции q(y) и соответствующие им решения данного уравнения вида (1.7).

Например, такими решениями уравнения

y0 = x cos(y)

являются функции y(x) ≡ π2 + πk, k Z, x R.

Предположим теперь, что q(y0) 6= 0, и рассмотрим задачу Коши

(

y0 = p(x)q(y),

(1.8)

y(x0) = y0

10

(разумеется, x0 (a, b), y0 (c, d)). Пусть y = y(x), x (α, β) – решение этой задачи (его существование и единственность гарантируются теоремой 1.1 ), т. е.

Ясно, что при всех x (α, β) q(y(x)) 6= 0, ибо в противном случае рассматриваемое решение в некоторой точке совпало бы с решением вида (1.7), что невозможно в силу единственности. Поэтому (1.9) можно разделить на q(y(x)):

y0(x)

q(y(x))

= p(x).

Из равенства функций следует равенство интегралов от них (x (α, β)):

Производя в первом интеграле замену y = y(x) с учетом y(x0) = y0, получаем

p(x). Тогда (1.10) с учетом формулы Ньютона–Лейбница можно переписать в виде

Поскольку Q(y0) и P (x0) – постоянные, из (1.11) следует, что решение любой задачи Коши (1.8) при q(y0) 6= 0 должно удовлетворять уравнению

где C – некоторая постоянная. Уравнение (1.12) задает решения уравнения (1.6) неявно. Желательно искомую переменную y выразить через x, что в общем случае не всегда возможно. Вспоминая, что Q и P – это первооб-

разные функций 1q и p, можем понять, почему иногда (1.12) записывают в виде

Заметим, что иногда и решения y(x) ≡ y0, q(y0) = 0 также содержатся в формуле (1.12) при некоторых значениях C.

11

имеет единственный нуль y = 0, и, следовательно, данное уравнение имеет единственное решение вида (1.7), а именно

y(x) ≡ 0, x R.

Теперь найдем остальные решения этого уравнения. Записывая для него (1.13):

и находя первообразные подынтегральных функций, получаем уравнение вида (1.12):

где C – произвольная постоянная.

Заметим, что интервал (α, β) задания любого решения из найденного семейства зависит от C и может быть определен только по начальным условиям для этого решения.

Рассмотрим, например, решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1. Подставляя это условие в (1.14), находим:

y(0) = −C1 = 1,

т. е. C = −1. Следовательно, искомое решение определяется функцией

1

y(x) = ,

1 − 12 ln(x2 + 1)

12

которая задана в трех интервалах (из R исключаются нули знаменателя):

Поскольку любое решение дифференциального уравнения по определению задано на некотором интервале числовой оси, из трех интервалов I1, I2, I3 выбирается тот, которому принадлежит x0 = 0 из начального условия, т. е. I2. Итак, установлено, что решением задачи Коши

Рассмотрим еще один пример, относящийся к электротехнике, а именно процесс исчезновения тока при размыкании цепи, изображенной на рис. 1.4 (ключ K при этом переводится из положения 1 в положение 2).

...

... .

.

RL

..•.

Рис. 1.4

Размыкание цепи приводит к уменьшению силы тока и, следовательно, к возникновению ЭДС самоиндукции UL в катушке индуктивности L. Будем считать, что мгновенные значения силы тока на всех участках цепи одинаковы и подчиняются законам постоянного тока. В этом случае сила тока J может быть найдена из закона Ома:

dJ JR = UL = −L dt .

13

Считая, что в момент размыкания сила тока равнялась J0, приходим к следующей задаче Коши:

−LdJdt = JR,

J(0) = J0.

Для ее решения воспользуемся формулой (1.10):

Отсюда

R ln(J(t)) − ln(J0) = −L t

и, следовательно,

−R t

J(t) = J0e L .

Это так называемый экстраток размыкания (ток, проходящий в цепи при отсутствии в ней напряжения, т. е. под действием одной лишь электродвижущей силы самоиндукции). С возрастанием t он стремится к нулю (рис. 1.5).

J . .

J0

Рис. 1.5

Замечание. При решении дифференциальных уравнений бывает удобно записывать произвольную постоянную, принимающую все действительные значения, в виде некоторой функции g(C), C (a1, a2), множество значений которой на интервале (a1, a2) совпадает с множеством R. В качестве такой функции можно взять, например, ln(C), C (0, +∞) или tg(C),

C −π2 , π2 , либо другую с указанием соответствующего интервала.

Пример. Найти кривые y = y(x), для которых отрезок касательной,

14