Материал: Diff_lektsii__1

с помощью формулы (1.30) любую задачу Коши (1.18)–(1.19). Заметим, что из (1.30) y(x0) = C. Поэтому достаточно подставить в (1.30) C = y0 и решение задачи Коши (1.18)–(1.19) примет вид

Таким образом, формула (1.30) (или (1.31)) дает при любом C R (или y0 R) решение уравнения (1.18), заданное на всем (a, b). С другой стороны, любое решение уравнения (1.18) может рассматриваться как решение некоторой задачи Коши и в силу этого содержится в формуле (1.31) (или (1.30) при C = y0). Поэтому запись решений уравнения (1.18) в виде (1.30) или (1.31) называют его общим решением. Решение же конкретной задачи Коши (т. е. соответствующее какому-то фиксированному значению

Cили y0) называют его частным решением. Сравнивая (1.31) с (1.22) (или (1.29) с (1.24)), можем заключить, что общее решение линейного неоднородного уравнения (1.18) равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения (1.20) и некоторого частного решения этого уравнения (получающегося из (1.31) при y0 = 0 или из (1.29) при

C= 0).

Пример. Найдем закон изменения тока в цепи (см. рис. 1.4) при переводе ключа K из положения 2 в положение 1 (считаем, что это происходит в момент времени t = 0, а начальное значение тока J(t) в этой цепи равно нулю).

По второму закону Кирхгофа суммарное падение напряжения в замкнутом контуре равно сумме электродвижущих сил

Таким образом, получили линейное неоднородное уравнение вида (1.18), в котором t – независимая переменная, p(t) = RL, q(t) = UL . Для уравнения (1.32) решаем начальную задачу J(0) = 0. С учетом формулы (1.31)

20

получаем

Это так называемый экстраток замыкания. С возрастанием t он стремится к величине UR (рис. 1.7).

J . .

U

. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ... . .

R

Рис. 1.7

К линейному дифференциальному уравнению приводится уравнение Бернулли – уравнение вида

y0 + p(x)y = q(x)ym,

где q(x) 6≡0, m 6= 0, m 6= 1 (при m = 0 получаем линейное неоднородное уравнение, а при m = 1 – линейное однородное).

Упражнение. Показать, что с помощью замены переменной u = y1−m уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.

1.3. Численное решение задачи Коши методом Эйлера

Рассмотрим задачу Коши

(

y0 = f(x, y),

(1.33)

y(x0) = y0.

Ее решение (предполагается, что оно существует и единственно) далеко не всегда удается найти в явном виде. Следует отметить, что на практике в основном и не требуется точное решение, а допускается некоторая погрешность. Кроме того, иногда и само дифференциальное уравнение (функция f(x, y)) известно лишь с некоторой точностью.

21

Эйлер предложил замену точного решения (точнее, его интегральной кривой) некоторой ломаной линией. Для этого промежуток [x0, X], на котором ищется решение задачи (1.33), делится на n равных частей точками x0, x1, ..., xn = X. На отрезке [x0, x1] в качестве приближенного значения производной искомой функции y0(x) берется ее значение в точке x0:

y0(x) ≈ y0(x0) = f(x0, y0).

Тогда для всех x [x0, x1]

ZZ

что если в (1.34) поставить знак точного равенства, то получим уравнение касательной к искомой интегральной кривой в точке (x0, y0). Часть этой касательной, а именно отрезок с концами в точках (x0, y0), (x1, y1), можно

рассматривать как отрезок поля направлений, определяемого уравнением y0 = f(x, y) в точке (x0, y0).

На отрезке [x1, x2] производная y0(x) заменяется на f(x1, y1) и тогда для всех x [x1, x2]

x x

ZZ

y(x2) ≈ y(x1) + f(x1, y1)h ≈ y1 + f(x1, y1)h = y2.

В результате на этом этапе получаем точку (x2, y2), причем отрезок с концами в точках (x1, y1) и (x2, y2) вновь представляет поле направлений уравнения y0 = f(x, y), но теперь в точке (x1, y1). Продолжая этот процесс, получим набор точек (xk, yk), k = 0, 1, ..., n, где

Каждый отрезок, соединяющий точки (xk−1, yk−1) и (xk, yk), совпадает с отрезком поля направлений рассматриваемого дифференциального уравнения в точке (xk−1, yk−1). Ломаная, составленная из этих отрезков (ломаная

22

Эйлера), и служит приближением искомой интегральной кривой (рис. 1.8), а числа y0, y1, ..., yn служат приближенными значениями искомого решения в точках x0, x1, ..., xn.

Y. .

Рис. 1.8

Замечание. Для последовательных вычислений по формуле (1.35) необходимо, разумеется, чтобы каждая новая точка (xk, yk) лежала в области определения функции f(x, y). Можно показать, что в случае малого h (или большого n) это всегда выполняется, если только решение задачи (1.33) существует и единственно.

Оценка погрешности метода Эйлера и достижение требуемой точности производятся способом последовательного деления пополам шага h. Для этого вычисляют приближенные значения решения с некоторым ша-

нужном числе значащих цифр. Пример. Рассмотрим задачу Коши

(

y0 = xy, y(0) = 1.

Требуется найти приближенное значение решения на отрезке [0; 0.3]. Возь-

23

мем h1 = 0.1. Все вычисления по формуле (1.35) занесем в табл. 1.1 (f(x, y) = = xy, вычисления проводят с четырьмя знаками после точки).

Таблица 1.1

Возьмем теперь h2 = 0.05. Получаем новую табл. 1.2.

Убеждаемся, что найденные приближенные значения решения с шагами h1 и h2 в общих точках 0.1, 0.2 и 0.3 совпадают с тремя значащими цифрами.

Для рассмотренной задачи Коши известно точное решение

x2

y = e 2 .

Вычислим его значение в крайней точке заданного отрезка:

y(0.3) = e0.09 = e0.045 = 1.046027...

2

Как видно, ошибка (абсолютная погрешность) “ручных” приближенных вычислений с шагом h2 менее 0.01. Теоретически, уменьшая шаг h, можно добиться любой наперед заданной точности вычислений.

2.СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ)

Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2.1)

dyn

= fn(x, y1, .., yn),

dx

24