Материал: Diff_lektsii__1

где y1, ..., yn – искомые функции независимой переменной x. Будем предполагать, что функции f1, ..., fn, стоящие в правых частях уравнений системы (2.1), заданы в некоторой области D (n+1)-мерного пространства переменных x, y1, ..., yn. Упрощая изложение и несколько ограничивая общность, будем считать, что область D задается неравенствами

a0 < x < b0, a1 < y1 < b1,

. . . . . . . . . . . . .

an < yn < bn

(D = (a0, b0) × (a1, b1) × ... × (an, bn), где −∞ ≤ ai < bi ≤ +∞ для всех i = 0, 1, ..., n).

Решением системы (2.1) на промежутке (a, b) (a0, b0) называется набор n функций y1(x), ..., yn(x), определенных и дифференцируемых на (a, b), обладающих свойством

(x, y1(x), ..., yn(x)) D при x (a, b),

и обращающих все уравнения (2.1) в тождества для x (a, b). Геометрически решение системы (2.1) представляет собой кривую в

(n + 1)-мерном пространстве переменных (x, y1, ..., yn). Эта кривая называется интегральной кривой системы (2.1).

Рассмотрим, например, систему

В правых частях уравнений системы стоят функции

√ y1 f1(x, y1, y2) = 3 3 y1 y2, f2(x, y1, y2) = x3 ,

определенные в области D, задаваемой неравенствами

0 < x < +∞, −∞ < y1 < +∞, −∞ < y2 < +∞

˜

(можно рассматривать систему и в области D, заданной неравенствами −∞ < x < 0, −∞ < y1 < +∞, −∞ < y2 < +∞). Нетрудно убедиться, что решением этой системы является, например, пара функций y1(x) = x3, y2(x) = x при 0 < x < +∞.

Для удобства будем записывать систему (2.1) в векторном виде. Рассмотрим вектор

y1

Y = ... Rn. yn

25

Напомним, что его производной служит вектор

которое и будем называть векторной формой записи нормальной системы дифференциальных уравнений. Решением системы (2.2) на (a, b) является вектор-функция

y1(x)

Y(x) = . . . . . , yn(x)

компоненты которой – функции набора y1(x), ..., yn(x), служащие решением системы (2.1).

Как и в случае дифференциального уравнения первого порядка, система (2.2) имеет обычно бесконечное множество решений.

Для выделения из этого множества одного решения ставится задача Коши: фиксируется точка (x0, Y0) D и ищется решение Y(x) на проме-

Геометрически это означает, что ищем интегральную кривую, проходящую через точку (x0, Y0).

Если

y10

Y0 = ... , yn0

то нахождению решения Y(x) задачи Коши (2.2)–(2.3) соответствует нахождение решения y1(x), ..., yn(x) системы (2.1), обладающего свойством

y1(x0) = y10, ..., yn(x0) = yn0.

26

Вместе с уравнением (2.4) будем рассматривать нормальную систему

dzn

= f(x, z1, ..., zn),

dx

где функция f та же, что в правой части уравнения (2.4).

Рассмотрим некоторое решение y(x) уравнения (2.4) на (a, b) и постро-

Очевидно, что набор z1(x), ..., zn(x) является решением системы (2.5) на

(a, b).

Пусть теперь z1(x), ..., zn(x) – решение системы (2.5) на (a, b). Тогда функция y(x) = z1(x) – решение уравнения (2.4) на (a, b), при этом выполнены соотношения (2.6).

Говорят, что уравнение (2.4) сводится к нормальной системе (2.5). При этом неправильно утверждать, что уравнение (2.4) и система (2.5) эквивалентны, так как обычно в математике эквивалентность уравнений или систем означает, что множества их решений совпадают. В данном случае решения уравнения (2.4) и системы (2.5) имеют различную природу – решением (2.4) является одна функция, а решением (2.5) - набор n функций.

Приведем пример сведения уравнения вида (2.4) к системе. Уравнение второго порядка

Пусть

28

Из ранее изложенного следует, что задаче Коши с начальным условием Z(x0) = Z0 для системы (2.5) соответствует задача нахождения решения y(x) уравнения (2.4), для которого

(эта задача также называется задачей Коши). Таким образом, в задаче Коши для дифференциального уравнения порядка n задаются значения самого решения y и его производных y0, ..., y(n−1) в некоторой точке x0.

Сформулированная ранее теорема существования и единственности для нормальной системы позволяет доказать аналогичный результат для уравнения порядка n.

Теорема 2.2. Если функция f в правой части уравнения (2.4) непрерывна в области D вместе со своими частными производными по переменным y, y0, ..., y(n−1), то для любой точки (x0, y0, y00 , ..., y0(n−1)) D существует единственное решение задачи Коши (2.4)–(2.7), заданное на некотором интервале, содержащем точку x0.

В некоторых случаях удается понизить порядок уравнения (2.4). Отметим два из них.

Случай 1. Уравнение не содержит y, y0, ..., y(k), т. е. имеет вид

порядок которого равен n − k − 1. Если решение z(x) уравнения (2.9) найдено, y(x) получится из него последовательным интегрированием.

Случай 2. Уравнение не содержит x, т. е. имеет вид

Перейдем от переменных x, y к переменным y, z = y0 (y становится независимой переменной, т. е. ищется y0 = z(y) ). Пересчитаем производные:

29