Материал: Diff_lektsii__1

и т. д. Легко понять, что порядок уравнения (2.10) понизится на единицу. Если из полученного уравнения найти z(y), то придем к уравнению с разделяющимися переменными

y0 = z(y).

Пример. Решить уравнение

y00y = (y0)2

и найти для него решение задачи Коши с начальными условиями y(0) = 1, y0(0) = 2. Это уравнение вида (2.10). Найдем y0 = z(y). Тогда с учетом (2.11) получим

Очевидно, у уравнения (2.12) есть решение z ≡ 0. Ему соответствует y0 ≡ 0 или y ≡ C (C – произвольная постоянная). Разделив на z, получим

z0y = z.

Это уравнение с разделяющимися переменными, все решения которого содержатся в формуле

z = C1y,

где C1 – произвольная постоянная. Следовательно, приходим к уравнению

y0 = C1y

с разделяющимися переменными, множество решений которого имеет вид

где C – произвольная постоянная. Ясно, что решение y ≡ C включается в (2.13) при C1 = 0.

Для того чтобы решить задачу Коши, подставим начальные условия в (2.13) и в равенство y0 = CC1eC1x:

y(0) = C = 1, y0(0) = CC1 = 2.

Отсюда C = 1, C1 = 2, т. е. искомое решение задачи Коши имеет вид

y(x) = e2x.

30

3.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА

Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений с n неизвестными функциями y1, ..., yn следующего вида:

В этой системе функции p11(x), ..., pnn(x), q1(x), ..., qn(x) предполагаются заданными и непрерывными на одном и том же промежутке (a, b). Систему (3.1) называют системой линейных дифференциальных уравнений (или короче – линейной системой).

Введем матрицу размера n × n, зависящую от x:

p11(x), ..., p1n(x)

P (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . , pn1(x), ..., pnn(x)

и вектор-функцию

q1(x)

Q(x) = ... . qn(x)

Здесь, как и в (2.2),

y1

Y = ... yn

– вектор, компоненты которого – неизвестные функции. Запишем систему (3.2) в виде

Y0 = F(x, Y),

где

F(x, Y) = P (x)Y + Q(x).

Легко понять, что вектор-функция F определена и непрерывна в области D пространства переменных x, y1, ..., yn, задаваемой неравенствами

a < x < b, −∞ < y1 < +∞, ..., −∞ < yn < +∞.

31

При этом в области D существует и непрерывна матрица частных произ-

водных

∂F = P (x). ∂Y

Таким образом, в области D выполнены условия теоремы 2.1 о существовании и единственности решения любой задачи Коши для системы (3.2).

Оказывается, что линейная система (3.2) обладает дополнительно еще одним важным свойством – для любой задачи Коши с начальными данными (x0, Y0) D ее решение задано на том же промежутке (a, b), где заданы и непрерывны матрица P (x) и вектор-функция Q(x). Сформулируем отдельно теорему о существовании и единственности решений для линейных систем.

Теорема 3.1. Предположим, что матрица P (x) и вектор-функция Q(x) определены и непрерывны на интервале (a, b). Тогда:

1) для любой точки x0 (a, b) и для любого вектора Y0 Rn существует решение системы (3.2), определенное на (a, b) и такое, что

Y(x0) = Y0;

2)если Y1(x), Y2(x) – решения системы (3.2), определенные на (a, b),

исуществует точка x0 (a, b), такая, что Y1(x0) = Y2(x0), то Y1(x) ≡

≡ Y2(x) на (a, b).

Здесь и далее, говоря о решениях системы (3.2), будем иметь в виду решения, определенные на (a, b).

Изучение свойств линейных систем начнем с изучения линейной однородной системы, т. е. системы (3.2), в которой Q(x) ≡ 0. Итак, рассмотрим

(по-прежнему предполагаем, что матрица P (x) непрерывна на (a, b) ). Отметим, что систему (3.2) общего вида (с Q(x) 6≡0) называют линейной неоднородной системой.

Решения системы (3.3) обладают следующими важными свойствами:

1)если Y(x) – решение, а c – константа, то cY(x) – также решение;

2)если Y1(x), Y2(x) – решения, то Y1(x) + Y2(x) – также решение. Данные свойства проверяются непосредственной подстановкой функ-

ций cY(x) и Y1(x) + Y2(x) в систему (3.3).

Из этих свойств легко выводится следующее свойство: если Y1(x), ..., Yk(x) – решения системы (3.3), а c1, ..., ck – постоянные числа, то функция

c1Y1(x) + ... + ckYk(x)

является решением системы (3.3). В математике любое множество, элементы которого можно умножать на числа и складывать, и такое, что линейная

32

комбинация его элементов есть снова его элемент, называется линейным пространством (здесь не указываем свойства, которыми должны обладать эти операции сложения элементов и умножения их на числа и которые перечисляются в аксиомах линейного пространства). Поэтому можно сказать, что множество решений однородной системы (3.3) является линейным пространством.

Отметим еще одно свойство решений системы (3.3): если для решения

утверждения теоремы 3.1 вытекает, что если выполнено равенство Y(x0) =

= ˜ (x ) = 0, то (x) ≡ ˜ (x) ≡ 0.

Y 0 Y Y

Покажем теперь, что все решения системы (3.3) могут быть найдены как линейные комбинации n решений, обладающих некоторым дополнительным свойством.

Будем говорить, что набор решений Y1(x), ..., Yn(x) является фундаментальной системой решений для (3.3) (далее сокращенно ф.с.р.), если существует точка x0 (a, b), такая, что векторы

Y1(x0), ..., Yn(x0)

линейно независимы (и, следовательно, образуют базис в Rn).

Покажем, что ф.с.р. всегда существует. Для этого возьмем произвольную точку x0 (a, b) и набор линейно независимых векторов Y01, ..., Y0nRn. Используя теорему 3.1 , построим решения системы (3.3) Y1(x), ..., Yn(x) на (a, b), такие, что

Y1(x0) = Y01, ..., Yn(x0) = Y0n.

Ясно, что набор Y1(x), ..., Yn(x) – ф.с.р. для системы (3.3).

1 x − 1 2 p11(x) = x, p12(x) = 0, p21(x) = x , p22(x) = x − 1,

q1(x) = 0, q2(x) = 0.

В качестве промежутка, на котором все функции p11, ..., p22 непрерывны, можно взять один из следующих:

(−∞, 0), (0, 1), (1, +∞).

33

Будем рассматривать систему (3.4) в области D, задаваемой неравенствами

1 < x < +∞, −∞ < y1 < +∞, −∞ < y2 < +∞.

Подстановка в систему (3.4) показывает, что вектор-функции

являются решениями системы (3.4) на (1, +∞) (проверьте!).

которые линейно независимы. Поэтому вектор-функции Y1(x), Y2(x) – ф.с.р. системы (3.4).

Теорема 3.2. Пусть Y1(x), ..., Yn(x) – ф.с.р. системы (3.3). Тогда для любого решения Y(x) системы (3.3) найдется (и притом единственным образом) набор постоянных c1, ..., cn, такой, что

Доказательство. Рассмотрим некоторое решение Y(x) системы (3.3). Пусть x0 – точка, в которой векторы Y1(x0), ..., Yn(x0) линейно независимы. Тогда по свойству базиса в Rn существуют такие числа c1, ..., cn, что

Функция Z(x) = Y(x) − c1Y1(x) − ... − cnYn(x) является линейной комбинацией решений, следовательно, Z(x) – решение системы (3.3). Из (3.6) получаем, что Z(x0) = 0, поэтому, как отмечено ранее, Z(x) ≡ 0, а это равносильно (3.5). Для доказательства единственности набора c1, ..., cn, удовлетворяющего равенству (3.5), отметим, что любой такой набор должен удовлетворять также и равенству (3.6), но так как векторы Y1(x0),

..., Yn(x0) образуют базис в Rn, набор c1, ..., cn, для которого выполнено (3.6), единственный. Теорема доказана.

Доказанная теорема означает, что ф.с.р. является базисом линейного пространства всех решений системы (3.3).

Таким образом, линейное пространство всех решений системы (3.3) имеет базис из n элементов и, следовательно, оно n-мерно. Конечно, ф.с.р. не единственна – в приведенном доказательстве существования ф.с.р. можно выбирать линейно независимые векторы Y01, ..., Y0n бесконечным множеством способов.

Формулу (3.5), содержащую при различных наборах c1, ..., cn все решения системы (3.3), называют общим решением системы (3.3).

34