Материал: Diff_lektsii__1

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ”

Н. А. БОДУНОВ С. Ю. ПИЛЮГИН

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Санкт-Петербург 2011

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ”

Н. А. БОДУНОВ С. Ю. ПИЛЮГИН

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ “ЛЭТИ” 2011

УДК 517.9 (075) ББК В161.61я7 Б75

Бодунов Н. А., Пилюгин С. Ю. Дифференциальные уравнения: Учеб. Б75 пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2011. 71 с.

ISBN 978-5-7629-1183-2

Излагаются основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и примеры ее практического применения.

Предназначено для студентов нематематических специальностей.

УДК 517.9 (075) ББК В161.61я7

Рецензенты: кафедра высшей математики СПбГУТ; д-р физ.-мат. наук, проф. Я. И. Белопольская (СПбГАСУ).

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ВВЕДЕНИЕ

Многие физические законы устанавливают связь между искомыми функциями и их производными. При этом появляются уравнения вида

(F – заданная функция n + 2 вещественных переменных, x – независимая переменная, y – искомая функция), которые называют обыкновенными дифференциальными уравнениями n-го порядка.

Замечание. Рассматривают и такие дифференциальные уравнения, в которых искомая функция зависит от нескольких вещественных переменных, а уравнения содержат частные производные этой функции. Подобного рода уравнения называют дифференциальными уравнениями в частных производных и обычно рассматривают в курсах математической физики. В данном издании будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и в дальнейшем слово “обыкновенные” будем опускать.

Решением дифференциального уравнения (B.1) называется n раз дифференцируемая функция y(x), заданная на некотором интервале (α, β), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество по x:

F (x, y(x), y0(x), ..., y(n)(x)) ≡ 0, x (α, β).

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой этого уравнения. Впрочем, позволим себе вольность называть иногда решение дифференциального уравнения интегральной кривой, а интегральную кривую – решением. Отметим еще, что процесс поиска решений дифференциального уравнения часто, следуя традиции, называют его интегрированием.

Уравнения

могут служить примерами дифференциальных уравнений. Все они, очевидно, могут быть записаны в виде (B.1). Читатель без труда убедится, что функции y = Cex, x R, C – произвольная постоянная, служат решениями последнего из этих уравнений.

Не претендуя на изложение всей современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, ограничимся в дальнейшем рассмотрением случая, когда уравнение (B.1) может быть приведено к виду, разрешенному относительно старшей производной

Здесь f – заданная функция n + 1 вещественной переменной. Изучение таких уравнений начнем с простейшего случая, когда n = 1.

3

1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

где f : D R2 → R – функция двух вещественных переменных, заданная и непрерывная на некотором множестве D.

Непрерывно дифференцируемая на некотором интервале (α, β) функция y = y(x) является решением (интегральной кривой) уравнения (1.1), если для всех x (α, β) имеем: (x, y(x)) D и

Из геометрического смысла производной и равенства (1.2) следует, что угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке с абсциссой x равен f(x, y(x)). Если каждой точке (x, y) множества D сопоставить отрезок некоторой фиксированной длины с угловым коэффициентом f(x, y), то получим так называемое поле направлений дифференциального уравнения (1.1).

Таким образом, всякая интегральная кривая уравнения (1.1) в каждой своей точке касается соответствующего отрезка поля направлений. Этот геометрический смысл дифференциального уравнения 1-го порядка часто позволяет, не находя решений, создать представление о них.

Пример. Рассмотрим уравнение y0 = y. Как видно, угловой коэффициент отрезка поля направлений в точке (x, y) зависит только от ординаты y. Построим в различных точках плоскости отрезки с соответствующими углами к оси 0X (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Полученной картинки достаточно, чтобы надеяться на то, что интегральные кривые данного уравнения имеют примерный вид, изображенный

4