Материал: Diff_lektsii__1

Теорема 3.13. Если ряды (3.59), (3.60) сходятся при |x−x0| < r, где r > 0, то для любых чисел y0, y00 , ..., y0(n−1) решение y(x) уравнения (3.14), удовлетворяющее начальным условиям

y(x0) = y0, y0(x0) = y00 , ..., y(n−1)(x0) = y0(n−1),

разлагается в степенной ряд

k=0

который сходится при |x − x0| < r.

Эту теорему часто используют для нахождения решений уравнения (3.14). Для определения коэффициентов Ak в разложении (3.61) используют следующие 2 метода. Заметим, во-первых, что вследствие формулы Тейлора

Поэтому коэффициенты A0, ..., An−1 определяются сразу из начальных условий:

Первый метод состоит в следующем: ряд (3.61) подставляется в уравнение (3.14), приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях (x− −x0) и из полученных уравнений последовательно находятся коэффициенты An, An+1, ... .

Пример. Найдем разложение в степенной ряд в окрестности x0 = 0 (с точностью до x4) общего решения уравнения

Известно, что для нахождения общего решения достаточно отыскать ф.с.р. В данном случае будем искать ф.с.р. y1(x), y2(x) как решения, удовлетворяющие следующим начальным условиям:

ствительно будут составлять ф.с.р.

65

разлагаются в ряды по степеням x, сходящиеся при |x| < 1. По теореме 3.13 решения y1(x), y2(x) будут разлагаться в ряды по степеням x, также сходящиеся при |x| < 1:

k=0

Из начальных условий находим:

A(1)0 = 1, A(1)1 = 0, A(2)0 = 0, A(2)1 = 1.

Продифференцируем ряды (3.63), (3.64) и подставим их в уравнение

(1 − x)y00 − 2y0 + y = 0,

равносильное уравнению (3.62) при x 6= 1:

Приравниваем коэффициент при x0 в левой части равенства (3.65) нулю:

2A(2i) − 2A(1i) + A(0i) = 0.

Отсюда

66

Таким образом, разложения для функций y1(x), y2(x) имеют вид:

где многоточиями обозначены члены степенных рядов, содержащие x5, x6,

... .

Теперь получаем требуемое разложение общего решения уравнения

вытекающих из формулы Тейлора. Как было показано, коэффициенты A0,

..., An−1 ряда (3.61) определяются из начальных условий. Так как искомая функция y(x) – решение уравнения (3.14), получаем равенство

y(n)(x0) = q(x0) − p1(x0)y(n−1)(x0) − ... − pn(x0)y(x0),

из которого находим y(n)(x0), а следовательно, и An. Дифференцируем уравнение (3.14) по x и подставляем x = x0:

y(n+1)(x0) = q0(x0) − p01(x0)y(n−1)(x0) − p1(x0)y(n)(x0) − ...

... − p0n(x0)y(x0) − pn(x0)y0(x0).

Все числа, входящие в правую часть этого равенства, уже известны. Из него находим y(n+1)(x0) и An+1. Продолжая дифференцировать уравнение (3.14), последовательно определим An+2, ... .

Пример. Найдем разложение в степенной ряд в окрестности x0 = 0 (с точностью до x5) общего решения уравнения

Как и в предыдущем примере, будем искать ф.с.р. y1(x), y2(x) как решения, удовлетворяющие начальным условиям

67

Функции p1(x) = 0, p2(x) = x разлагаются в ряды по степеням x, сходящиеся при |x| < ∞, т. е. при |x| < R для любого R > 0. Поэтому по теореме 3.13 функции y1(x), y2(x) разлагаются в ряды, сходящиеся при |x| < R для любого R > 0, т. е. в ряды, сходящиеся при |x| < ∞.

Запишем представления (3.63), (3.64) для функций y1(x), y2(x). Из начальных условий следует, что

A(1)0 = 1, A(1)1 = 0, A(2)0 = 0, A(2)1 = 1.

Из (3.66) получаем при x = 0

y00(0) = 0.

Отсюда A(1)2 = 0, A(2)2 = 0. Дифференцируем равенство

При x = 0

y(v)(0) = 3y00(0) = 0.

Отсюда A(1)5 = A(2)5 = 0 и функции y1(x), y2(x) представляются рядами

x3 y1(x) = 1 + 6 + ... ,

x4 y2(x) = x + 12 + ... ,

где многоточиями обозначены члены рядов, содержащие x6, x7, ... Общее решение уравнения (3.66), таким образом, имеет вид

y(x) = c1 + c2x + c1x3 + c2x4 + ... .

6 12

68

Список литературы

1.Бондарев А. С., Доценко М. Л., Фролова Е. В. Математический анализ (функции одной вещественной переменной): Учеб. пособие / Под ред.

А.Л. Белопольского; СПбГЭТУ. СПб., 1988. 100 с.

2.Колбина С. А., Пилюгин С. Ю. Линейная алгебра (дополнительные главы): Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ“, 2009. 60 с.

3.Белопольский А. Л., Бодунов Н. А., Червинская Н. М. Типовые расчеты по курсу “Алгебра и геометрия“: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ“, 2008. 92 c.

69