Материал: Diff_lektsii__1

Функция f: R → C называется функцией-оригиналом, если она обладает следующими свойствами:

1) f(x) = 0 при x < 0;

b

Приведем примеры функций-оригиналов. Во всех этих примерах условия 1 и 2 выполнены, будем проверять лишь условие 3 для x ≥ 0.

1. Функция Хевисайда

(

δ1(x) =

1, x ≥ 0;

0, x < 0.

Ясно, что неравенство (3.48) выполнено с M = 1 и σ = 0.

2.Функция f(x) = xnδ1(x), где n – положительное число. Из курса математического анализа известно, что если σ > 0, то xne−σx → 0 при x → +∞, поэтому существует такое M > 0, что xne−σx ≤ M при x ≥ 0 (почему?). Таким образом, условие 3 выполнено.

3.Функция f(x) = sin(kx + w)δ1(x). Так как | sin(kx + w)| ≤ 1, можно

взять M = 1 и σ = 0.

4. Функция f(x) = eaxδ1(x), где a = b + ic C. Из формулы Эйлера eax = ebx(cos(cx) + i sin(cx))

и из равенства

| cos(cx) + i sin(cx)| = 1

следует, что

|eax| ≤ ebx,

поэтому можно взять M = 1 и σ = Re a.

Отметим важные свойства функций-оригиналов (как и в примерах, будем проверять лишь условие 3 из определения функции-оригинала).

1. Для любого постоянного c, cf(x) – функция-оригинал. Проверка:

|cf(x)| ≤ |c|M1eσx.

2. Функции f(x) ± g(x) – функции-оригиналы. Проверка:

|f(x) ± g(x)| ≤ M1eσ1x + M2eσ2x ≤ (M1 + M2)emax(σ1,σ2)x.

55

3. Функция f(x) · g(x) – функция-оригинал. Проверка:

|f(x) · g(x)| = |f(x)| · |g(x)| ≤ M1M2e(σ1+σ2)x.

x

Z

4. Функция Φ(x) = f(s) ds – функция-оригинал (здесь обозначаем

0

переменную интегрирования буквой s, чтобы подчеркнуть, что аргумент x функции Φ – это верхний предел в рассматриваемом интеграле). Можно считать, что σ1 > 0 (почему?). Тогда

−∞

Теорема 3.8. Свертка (f g)(x) функций-оригиналов f(x) и g(x) является функцией-оригиналом, и верно равенство

0

Доказательство. Докажем сначала равенство (3.50). Из определения функции-оригинала следует, что f(s) = 0 при s < 0 и g(x − s) = 0 при x − s < 0 (т. е. при s > x). Таким образом, подынтегральная функция в выражении для свертки равна 0 при s < 0 и s > x, и (3.50) следует из соотношений

= 0 + f(s)g(x − s) ds + 0.

0

56

Докажем свойство 3. Если выполнены неравенства (3.49) и σ = max(σ1, σ2),

то

|f(s)g(x − s)| ≤ M1eσsM2eσ(x−s) = M1M2eσx.

Поэтому

x

Z

|(f g)(x)| ≤ M1M2eσx ds = xM1M2eσx

0

(функция M1M2eσx не зависит от переменной интегрирования s). При x ≥ 0 верно неравенство

ex = 1 + x + x2 + x3 + ... > x,

2 6

поэтому

|(f g)(x)| ≤ xM1M2eσx ≤ M1M2e(σ+1)x.

Теорема доказана.

Основным объектом операционного исчисления является преобразование Лапласа.

Пусть f(x) – функция-оригинал, для которой выполнено неравенство

|f(x)| ≤ Meσx.

Рассмотрим область D в комплексной плоскости:

D = {s C : Re s > σ}

и определим функцию (преобразование Лапласа функции f(x))

Функция F (s) называется изображением функции-оригинала f(x) при преобразовании Лапласа (или просто изображением f(x) по Лапласу). Будем писать

f(x) 7→F (s).

Теорема 3.9. Несобственный интеграл в (3.51) сходится.

Доказательство. Из курса анализа известно, что для доказательства сходимости несобственного интеграла в правой части равенства (3.51) достаточно найти такую неотрицательную функцию g(x), что

|f(x)e−sx| ≤ g(x)

57

и существует конечный предел

Так как b < 0, ebT → 0 при T → +∞. Поэтому предел (3.52) существует и равен −Mb . Теорема доказана.

Примеры.

Для нахождения большего числа изображений докажем две теоремы.

Теорема 3.10. Преобразование Лапласа линейно: если f1(x) 7→F1(s), Re s > σ1 и f2(x) 7→F2(s), Re s > σ2, а c1, c2 – постоянные, то

c1f1(x) + c2f2(x) 7→c1F1(s) + c2F2(s), Re s > max(σ1, σ2).

Доказательство. При Re s > max(σ1, σ2) в силу линейности интеграла верны равенства

Теорема доказана.

58

Это соотношение следует из формулы для изображения функции δ1(x) и

ванном σ > 0, для любого σ > 0 найдется такое M > 0, что x ≤ Meσx, x ≥ 0.

Поэтому интеграл (3.51) сходится при любом s D, где D = {s C : Re s > 0} (для любого s D можно найти такое σ, что 0 < σ < Re s).

Напишем формулу для соответствующего преобразования Лапласа:

+∞

Z

xδ1(x) 7→ xe−sx dx.

0

59