Материал: Diff_lektsii__1

Пусть Y1(x), ..., Yn(x) – ф.с.р. системы (3.3). Составим матрицу

Φ(x) = [Y1(x), ..., Yn(x)].

Это матрица размера n×n. Ее называют фундаментальной матрицей системы (3.3). Обозначим через W (x) определитель матрицы Φ(x) (его называют определителем Вронского системы решений Y1(x), ..., Yn(x), или вронскианом). По определению ф.с.р. существует точка x0 (a, b), такая, что векторы Y1(x0), ..., Yn(x0), т. е. столбцы матрицы Φ(x0), линейно независимы. Поэтому W (x0) = det(Φ(x0)) 6= 0. Покажем, что W (x) = det(Φ(x)) 6= 0

для всех x (a, b). Предположим противное: пусть в точке xe (a, b) W (xe) = 0. Тогда по известной теореме алгебры линейная однородная алгебраическая система

снеизвестным вектором C Rn имеет ненулевые решения.

ec1

Пусть Ce = ... – некоторое ненулевое решение системы (3.26). Рас-

ecn

смотрим вектор-функцию

ec1

Ye(x) = Φ(x)Ce = [Y1(x), ..., Yn(x)] ... = ec1Y1(x) + ... + ecnYn(x). ecn

Эта вектор-функция – линейная комбинация решений Y1(x), ..., Yn(x), поэтому она является решением системы (3.3). Ранее показано, что из равенства

Ye(xe) = Φ(xe)Ce = 0

следует Ye(x) ≡ 0 на (a, b). В частности,

Ye(x0) = ec1Y1(x0) + ... + ecnYn(x0) = 0,

а это противоречит линейной независимости векторов Y1(x0), ..., Yn(x0) и тому, что вектор Ce ненулевой.

Метод вариации произвольных постоянных для системы (3.2) состоит в следующем: будем искать решение Z(x) системы (3.2) в виде

α1(x) α(x) = ... ,

αn(x)

45

компоненты которой α1(x), ..., αn(x) непрерывно дифференцируемы на (a, b). Равенство (3.27) можно переписать в виде

Если бы функции α1, ..., αn были постоянными, то по теореме 3.2 при произвольных α1, ..., αn формула (3.28) содержала бы все решения однородной системы (3.3). Тот факт, что в (3.28) функции α1, ..., αn зависят от x (варьируются), и объясняет название метода. Подставим Z(x) в виде (3.27) в систему (3.2). Произведение матрицы на вектор дифференцируется по тем же правилам, что и произведение двух скалярных функций (проверьте!), поэтому

Вектор-функция Z(x) является решением системы (3.2) тогда и только тогда, когда

Приравнивая (3.29) и (3.31) и учитывая (3.30), получаем уравнение для

α(x):

P (x)Φ(x)α(x) + Q(x) = P (x)Φ(x)α(x) + Φ(x)α0(x),

Было показано, что функция W (x) (определитель матрицы Φ(x)) отлична от 0 на (a, b). Функция W (x) является комбинацией произведений элементов матрицы Φ(x), т. е. компонент решений системы (3.3). Поэтому W (x) дифференцируема и, следовательно, непрерывна. Так как W (x) 6= 0 при всех x (a, b), существует матрица Φ−1(x), обратная к Φ(x). По известной формуле элементы Φ−1(x) равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов транспонированной матрицы ΦT (x), деленным на W (x). Поэтому они непрерывны. Следовательно, матрица Φ−1(x) непрерывна на (a, b).

в (3.33) правая часть – непрерывная на (a, b) вектор-функция.

46

Отсюда находим

Z

α(x) = Φ−1(x)Q(x) dx. (3.34)

Теперь можно записать, используя теорему 3.3 , любое решение системы (3.2) в виде

Учитывая, что c1Y1(x) + ... + cnYn(x) = Φ(x)C, где C = ... , приводим cn

формулу (3.35) к виду

Z Z

Y(x) = Φ(x)C + Φ(x) Φ−1(x)Q(x) dx = Φ(x) C + Φ−1(x)Q(x) dx .

Эта формула дает общее решение системы (3.2).

При доказательстве существования ф.с.р. системы (3.3) выбиралась

получится ф.с.р. Y1(x), ..., Yn(x), обладающая следующим свойством: соответствующая фундаментальная матрица

Φ(x) = [Y1(x), ..., Yn(x)]

обращается в единичную матрицу при x = x0: Φ(x0) = I.

Такая фундаментальная матрица называется нормированной при x = x0. С ее помощью можно из полученной ранее формулы общего ре-

47

шения системы (3.2) получить формулу для решения задачи Коши с начальными данными Y(x0) = Y0:

где Φ(x0) = I.

Пример. Найти общее решение системы

Рассмотрим вначале однородную систему, соответствующую системе (3.36):

(

y10 = 5y1 − 3y2, y20 = y1 + y2.

Ф.с.р. для этой системы составляют вектор-функции (проверьте!)

Соответствующая фундаментальная матрица Φ(x) имеет вид

α(x) = α1(x) . α2(x)

Так как систему (3.36) можно переписать в виде

то вектор-функция

2e3x

Q(x) = 5e−x ,

поэтому система (3.32) запишется так:

(

e2xα01(x) + 3e4xα02(x) = 2e3x, e2xα01(x) + e4xα02(x) = 5e−x.

48