Материал: Diff_lektsii__1

тех промежутках, на которых функции p1(x), p2(x) заданы и непрерывны.

π2 (0, b)

Так как эти векторы линейно независимы, y1(x), y2(x) – ф.с.р. уравнения (3.18).

Из теоремы 3.2 вытекает, что верно следующее утверждение.

Теорема 3.5. Пусть y1(x), ..., yn(x) – ф.с.р. уравнения (3.17). Тогда для любого решения y(x) этого уравнения найдется (и притом единственным образом) набор постоянных c1, ..., cn, такой, что

Формулу (3.20), содержащую при различных c1, ..., cn все решения уравнения (3.17), называют общим решением этого уравнения.

Для рассмотренного уравнения (3.18) общее решение имеет вид

y(x) = c1x + c2 sin(x).

40

Для неоднородного уравнения (3.14) справедливо следующее утверждение, вытекающее из теоремы 3.3 .

Теорема 3.6. Пусть y1(x), ..., yn(x) – ф.с.р. уравнения (3.17), а z(x)

– некоторое решение уравнения (3.14). Тогда для любого решения y(x) уравнения (3.14) найдется (и притом единственным образом) набор постоянных c1, ..., cn, такой, что

Формула (3.21) называется общим решением уравнения (3.14).

Как и в случае линейных однородных систем дифференциальных уравнений, общих методов нахождения ф.с.р. для уравнения вида (3.17) не существует. Ограничимся здесь рассмотрением частного, но очень важного класса – класса уравнений с постоянными коэффициентами вида

где a1, ..., an – постоянные вещественные числа.

Из теорем 3.1 и 3.4 следует, что все решения уравнения (3.22) заданы на промежутке −∞ < x < +∞. Поэтому в задаче Коши x0 может быть любым числом. Часто берут x0 = 0.

Для уравнения (3.22) ф.с.р. может быть найдена операционным методом, описанным далее, а также методом Эйлера (аналог которого для случая линейных систем с постоянными коэффициентами упомянут ранее).

Опишем схему применения метода Эйлера к уравнению (3.22). Для этого потребуется понятие комплексного решения.

Пусть u(x), v(x) – дифференцируемые функции вещественной переменной x и пусть ω(x) = u(x) + iv(x). Тогда

ω(x + x) = u(x + x) + iv(x + x),

Переход к пределу при x → 0 в последнем равенстве позволяет определить производную ω0(x) формулой

ω0(x) = u0(x) + iv0(x).

Аналогично, ω00(x) = u00(x) + iv00(x), ..., ω(n)(x) = u(n)(x) + iv(n)(x). Будем говорить, что функция ω(x) = u(x) + iv(x) является решением

(комплексным) уравнения (3.22), если при подстановке в это уравнение она обращает его в тождество по x:

ω(n)(x) + a1ω(n−1)(x) + ... + anω(x) ≡ 0.

41

Разделение вещественной и мнимой частей в нем приводит к равносильной ему системе двух тождеств:

(

u(n)(x) + a1u(n−1)(x) + ... + anu(x) ≡ 0, v(n)(x) + a1v(n−1)(x) + ... + anv(x) ≡ 0.

Таким образом, функция ω(x) = u(x) + iv(x) является комплексным решением уравнения (3.22) тогда и только тогда, когда ее вещественная и мнимая части (функции u(x) и v(x)) являются решениями этого уравнения. Указанные ранее свойства решений уравнения (3.22) сохраняются и для комплексных решений. В частности, линейная комбинация решений (с комплексными в общем случае коэффициентами) снова служит решением этого уравнения.

Пусть λ = a + bi. Рассмотрим функцию

eλx = e(a+bi)x = aax(cos(bx) + i sin(bx)) = eax cos(bx) + ieax sin(bx).

С учетом изложенного

eλx 0 = (eax cos(bx))0 + i (eax sin(bx))0 =

=(aeax cos(bx) − beax sin(bx)) + i (aeax sin(bx) + beax cos(bx)) =

=(a + bi) (eax cos(bx) + ieax sin(bx)) = λeλx.

Продолжая дифференцирование, получаем, что при комплексном λ, как и в вещественном случае,

eλx 00 = λ2eλx, ..., eλx (n) = λneλx.

Подставляя теперь функцию y(x) = eλx в левую часть уравнения (3.22), получим

y(n)(x) + a1y(n−1)(x) + ... + any(x) = λneλx + a1λn−1eλx + ... + aneλx = = λn + a1λn−1 + ... + an eλx.

Так как eλx 6= 0 (|eλx| = eax > 0), функция y(x) = eλx является решением уравнения (3.22) тогда и только тогда, когда λ – корень полинома Pn(λ) = λn + a1λn−1 + ... + an, который называется характеристическим полиномом уравнения (3.22). Можно показать, что если λ – корень характеристического полинома кратности k > 1, то решениями уравнения (3.22) являются k функций eλx, xeλx, ..., xk−1eλx.

На этом основан метод Эйлера построения ф.с.р. для уравнения (3.22), и состоит он в следующем.

Пусть λ1, λ2, ..., λm – корни характеристического полинома Pn(λ) с кратностями k1, k2, ..., km соответственно, т. е.

k1 + k2 + ... + km = n.

42

Характеристический полином уравнения (3.23) имеет вид λ3 − 1. Его

Эти решения и образуют ф.с.р. уравнения (3.23). Его общее решение есть

и найдем его решение y(x) с начальными данными y(0) = 2, y0(0) = −1.

Характеристический полином уравнения (3.25) имеет вид λ2 − 3λ + 2, его корни: λ1 = 1, λ2 = 2. Общее решение: y(x) = c1ex + c2e2x.

Подставляя начальные данные y(0) = 2, y0(0) = −1 в равенства

y(x) = c1ex + c2e2x, y0(x) = c1ex + 2c2e2x,

получим алгебраическую линейную систему с неизвестными c1, c2

(

c1 + c2 = 2, c1 + 2c2 = −1.

Отсюда c1 = 5, c2 = −3, а искомое решение имеет вид y(x) = 5ex − 3e2x. Ранее отмечено, что зная ф.с.р. системы (3.3), можно найти некоторое

частное решение Z(x) системы (3.2). Применим для этого метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

44